初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)論文線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型

1、線性回歸分析的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際問(wèn)題中常常遇到簡(jiǎn)單的變量之間的關(guān)系，我們會(huì)遇到多個(gè)變量同處于一個(gè)過(guò)程之中， 它們之間互相聯(lián)系、 互相制約.這些問(wèn)題中最簡(jiǎn)單的是線性回歸.線性回歸分析是對(duì)客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析方法，被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的 影響因素和關(guān)聯(lián)的研究.由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往用一個(gè)變量無(wú)法 描述，故本篇論文在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下，又詳細(xì)地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)和其顯著性檢驗(yàn)等.全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系，準(zhǔn)確測(cè)定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動(dòng).以提高預(yù)測(cè)和控制的準(zhǔn)確度.本文中詳細(xì)的闡述了線性回歸的定義及其線性模型的簡(jiǎn)單

2、分析并應(yīng)用了最小二乘法原理.具體介紹了線性回歸分析方程參數(shù)估計(jì)辦法和其顯著性檢驗(yàn).并充分利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè).但復(fù)雜的計(jì)算給分析方法推廣帶來(lái)了困難， 需要相應(yīng)的操作軟件來(lái)計(jì)算回歸分析求解操作過(guò) 程中的數(shù)據(jù).以提高預(yù)測(cè)和控制的準(zhǔn)確度. 從而為工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及研究起到強(qiáng)有力的推動(dòng)作用.關(guān)鍵詞：線性回歸；最小二乘法；數(shù)學(xué)模型目錄第一章前言1第二章線性模型2第一節(jié)一元線性模型2第二節(jié)多元線性模型4第三章參數(shù)估計(jì) 5第一節(jié)一元線性回歸方程中的未知參數(shù)的估計(jì)5第二節(jié)多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)8第四章顯著性檢驗(yàn) 13第一節(jié)一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 13第二節(jié)多元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 20第五

3、章利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)21第六章總結(jié) 26致謝 27參考文獻(xiàn) 第一章 前 言回歸分析是對(duì)客觀事物數(shù)量依存關(guān)系的分析.是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)常用的方法.是處理多個(gè)變量之間相互關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.在現(xiàn)實(shí)世界中，我們常與各種變量打交道， 在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中， 我們常常會(huì)遇到多個(gè)變 量同處于一個(gè)過(guò)程之中，它們之間互相聯(lián)系、 互相制約.常見(jiàn)的關(guān)系有兩種：一類為“確定的關(guān)系”即變量間有確定性關(guān)系，其關(guān)系可用函數(shù)表達(dá)式表示.例如：路程 s,時(shí)間t,與速 度v之間有關(guān)系式：s=vt在圓體給與半徑r之間有關(guān)系式v=另外還有一些變量.他們之 間也有一定的關(guān)系， 然而這種關(guān)系并不完全確定，不能用函數(shù)的形式

4、來(lái)表達(dá)， 在這種關(guān)系中至少有一個(gè)變量是隨機(jī)的.例如：人的身高與體重有一定的關(guān)系，一般來(lái)講身高高的人體重相對(duì)大一些.但是它們之間不能用一個(gè)確定的表達(dá)式表示出來(lái).這次變量（或至少其中有一個(gè)是隨機(jī)變量）之間的關(guān)系.我們稱之為相關(guān)關(guān)系. 又如環(huán)境因素與農(nóng)作物的產(chǎn)量也有相關(guān) 關(guān)系，因?yàn)樵谙嗤h(huán)境條件下農(nóng)作物的產(chǎn)量也有區(qū)別，這也就是說(shuō)農(nóng)作物的產(chǎn)量是一個(gè)隨機(jī)變量.回歸分析就是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，是尋找不完全確定的變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的一種方法.它能幫助我們從一個(gè)變量取得的值去估計(jì)另一個(gè)變量的 值.在這種關(guān)系中最簡(jiǎn)單的是線性回歸.線性回歸分析是對(duì)客觀事物數(shù)量關(guān)系的分析，是一種重要的統(tǒng)計(jì)分析

5、方法，被廣泛的應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象變量之間的影響因素和關(guān)聯(lián)的研究.由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往用一個(gè)變量無(wú)法描述，故本篇論文在深入分析一元線性回歸及數(shù)學(xué)模型的情況下，又詳細(xì)地介紹了多元線性回歸方程的參數(shù)估計(jì)和其顯著性檢驗(yàn)等.全面揭示了這種復(fù)雜的依存關(guān)系，準(zhǔn)確測(cè)定現(xiàn)象之間的數(shù)量變動(dòng).以提高預(yù)測(cè)和控制的準(zhǔn)確度.第二章線性模型第一節(jié)一元線性模型在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科研中最常遇到的配直線問(wèn)題，就是回歸分析的統(tǒng)計(jì)推斷方法來(lái)求經(jīng)驗(yàn)公式（線性回歸）的問(wèn)題.如：例1今有某種大豆脂肪含量 x （衿與蛋白質(zhì)含量y （衿的測(cè)定結(jié)果如下表所示：試求它們之間的關(guān)系（檢驗(yàn)公式）.x16. 517. 518. 51

6、9. 520. 521. . 522. 5y43. 542. 642. 640. 640. 338. 737. 2首先將這組數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系上描成點(diǎn)，如下圖：一般的，按此方法描點(diǎn)所得的圖成為散點(diǎn)圖.從圖上可以看出：這些數(shù)據(jù)描出的點(diǎn)分布在一條直線附近.于是推出他們大致可以表示為線性關(guān)系這里再y上加“人”是為了區(qū)別于他的實(shí)際值 y,因?yàn)閥與x 一般不具有確定的函數(shù)關(guān)系， 這樣，在散點(diǎn)圖的啟發(fā)下，我們選定了回歸方程是線性的. 然后根據(jù)統(tǒng)計(jì)推斷方法來(lái)估計(jì)出 未知數(shù) 和 從而確定所求的經(jīng)驗(yàn)公式. 一般的，設(shè)隨機(jī)變量y與x之間的相關(guān)關(guān)系可以用 線性模型N（0,）（1）來(lái)表示.這里x是試驗(yàn)或觀察中可以控制或

7、精確觀測(cè)的變量.即非隨機(jī)變量,y是可觀測(cè)的隨機(jī)變量是不可觀測(cè)的隨機(jī)變量 （它表示模型誤差， 是除去x對(duì)Y的先行影響之外的且不能測(cè)出的其它各個(gè)隨機(jī)因素對(duì)Y的影響的總和）通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)可得到關(guān)于變量x和Y的一組數(shù)據(jù)（，），（，），（，）因?yàn)閷?duì)于任意一個(gè)（i=1,2,n）,在的觀測(cè)值在取定前不能精確預(yù)言它一定能取什么值，故把 看作是隨機(jī)變量 Y的觀測(cè)值.而相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 為Y的樣本.我們知道，樣本與樣本觀測(cè)值之間的區(qū)別是：前者是隨機(jī)變量，后者為取定的數(shù)值， 但為了敘述方便，今后把樣本觀察值也成為樣本.在符號(hào)上均用， 來(lái)表示.具體表示的意義也可由上下文分析清楚，設(shè)觀測(cè)值與樣本 之間滿足關(guān)系式：=（

8、i =1,2,n）（2）其中 （i=1,2, ,n ）且相互獨(dú)立.如果兩個(gè)變量間的關(guān)系用上述線性模型描述，則它們之間存在線性相關(guān)關(guān)系由（1）有：E（Y）=我們希望根據(jù)觀測(cè)的數(shù)據(jù)，求出，的估計(jì)量， 這樣就可以利用方程（3）去估計(jì)隨機(jī)變量 Y的數(shù)學(xué)期望E（Y）.也就是說(shuō)，將 ，代入方程 （1）并略去誤差，就得到了隨機(jī)變量 Y和變量x的線性關(guān)系式（3） .方程（3）通常稱為Y對(duì)x的線性回歸方 程或回歸方程，其圖形稱為回歸直線.對(duì)于（1）和（2）所確定的線性模型，所考慮的統(tǒng)計(jì)推斷主要問(wèn)題是：未知參數(shù)和 的估計(jì)：檢驗(yàn)x和Y之間的關(guān)系是否可確信是線性關(guān)系，即對(duì)假設(shè)（1）進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì) Y進(jìn)行預(yù)測(cè)等.第二節(jié)多

9、元線性模型一般來(lái)講，影響結(jié)果Y的因素往往不止一個(gè). 設(shè)有， 共p個(gè)元素.這時(shí)要用圖來(lái)確定它們的關(guān)系是困難的.?？筛鶕?jù)經(jīng)驗(yàn)做出假設(shè).其中最簡(jiǎn)單的是假設(shè)它們之間有線性關(guān)系：（4）式中， 都是可精確測(cè)量或可控制的一般變量，Y是可觀測(cè)的隨機(jī)變量，都是未知參數(shù)，是服從 分布的不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差.我們對(duì)（4）獲得了 n組相互獨(dú)立的觀測(cè)值（樣本）.（；,）（i=1,2,n）（5）于是由（4）式可知具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：i=1,2,n（6）其中各個(gè) （i=1,2,n）相互獨(dú)立，且均服從 .這就是p元線性回歸模型.對(duì)于（4）所確定的模型.統(tǒng)計(jì)推斷的主要問(wèn)題是：根據(jù)樣本去估計(jì)未知參數(shù)，、，從而建立Y與，間的數(shù)量關(guān)系式和

10、對(duì)比得到的數(shù)量關(guān)系式的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；檢驗(yàn)各變量 ，分別對(duì)指標(biāo)是否有顯著影響.2第二章 參數(shù)的估計(jì)第一節(jié) 一元線性回歸方程參數(shù)的估計(jì)有多種確定回歸方程也就是確定未知參數(shù) 小二乘法”.我們將采用“最小二乘法原理”來(lái)求出 的平方和Q=為最小的，值作為參數(shù)，的估計(jì)量.由（7）知Q是，的二元函數(shù).即 Q=Q（ 組：的估計(jì)量，的方法其中最常用的是“最,也就是求，使誤差 （i=1,2, ,n ）.按二元函數(shù)求極值的方法可得聯(lián)立方程（8）這個(gè)方程組稱為正規(guī)方程組 即：（9）解此方程組.由（9）的第一式得因此的估計(jì)量為：（10）其中將（10）式代入（9）中的第二式可解得的估計(jì)量為（11）這樣：利用（10）

11、和（11）確定的 ，使平方和Q達(dá)到最小，從而求出回歸方 程這里 ， 分別表示由（10）和（11）確定的，的值并稱 為經(jīng)驗(yàn)截距；為經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)，簡(jiǎn)稱為回歸系數(shù)，而 是 的無(wú)偏估計(jì)量.由（10）可得回歸方程的另一種形式：（12）由此可知，回歸直線通過(guò)點(diǎn)（，），即通過(guò)由館測(cè)值的平均值組成的點(diǎn)，并且回歸方程由回歸系數(shù)完全確定.一般的，把由回歸方程確定的x的對(duì)應(yīng)值 稱為回歸值.根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，利用（10）和（11）來(lái)求回歸直線時(shí)，常把（11）中的分子和分母分別記為和，且按下面的公式計(jì)算：所以（10）和 （11）兩式可記作：（13）又有公式：=然而，對(duì)總體中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其主要目的還是建立一元線性回歸

12、方程.正規(guī)方程組存在實(shí)際上并不研究它.以下是建立一元線性回歸方程的具體步驟：(1)計(jì)算，；(2 )計(jì)算 ，(在回歸方程作顯著性檢驗(yàn)時(shí)用)；(3 )計(jì)算 和 寫出一元線性回歸方程.3序號(hào)116. 543. 5272. 251892. 25717. 75217. 542. 6306. 251814. 76745. 50318. 542. 6342. 251814. 76788. 10419. 540. 6380. 251648. 36791 . 70520. 540. 3420. 251624. 09826. 15621 . 538. 7462. 251497. 69832. 05(15)雖然有一

13、個(gè)722. 537. 2506. 251383. 84837. 00823. 536. 0552. 251296. 00846. 00924. 534. 0600. 251156. 00833. 00184. 5355. 53842. 2514127. 757217. 25從而可求得=20. 5,=39. 5,=60,=-70. 5,-1 . 175,= -=63. 588所求回歸方程為63. 588-1 . 175x例2設(shè)兩個(gè)變量x與Y由某種相關(guān)關(guān)系，測(cè)得它的一組數(shù)據(jù)如下表所示，試求其回歸方程.x49. 250. 049. 349. 049. 049. 549. 849. 950. 250.

14、 2Y16. 717. 016. 816. 616. 716. 816. 817. 017. 017. 1解：根據(jù)計(jì)算得=49. 61,=16. 85,=24613. 51,=8359. 94=0. 3293,= - =0. 5129所以回歸方程為0. 5129+0. 3293x .第二節(jié) 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)設(shè)，Y有一組觀測(cè)值（樣本）；（，）（i=1, 2,n）.我們希望由估計(jì) ，所決定出的回歸方程能使一切與 之間的偏差達(dá)到最小.根據(jù)最小二乘法的原理即：要求所以只要求偏離平方和達(dá)到最小的為書寫方便以下把“”書寫成“”根據(jù)微積分中值原理和最小二乘法估計(jì)是下列方程組的解（j=1,2,，n）

15、（16）經(jīng)整理即得關(guān)于的一個(gè)線性方程組（17）此方程組（17）稱為正規(guī)方程組.借此方程組就可求得參數(shù)的回歸值為了求解方便我們將（17）是寫成矩陣的形式，令1X=1，丫=, B=1記（17）式的系數(shù)矩陣為 A,常數(shù)項(xiàng)矩陣為 B,則A恰為，B恰為 即：111=1=A111=B因此用矩陣的形式可表式為=在回歸分析中通常存在這時(shí)最小二乘估計(jì) 可表式為：=(18)當(dāng)我們求出了的最小二乘估計(jì)后，就可以建立多元回歸方程.5例3某地區(qū)所產(chǎn)原棉的纖維能力Y與纖維的公制支數(shù)，纖維的成熟度有關(guān)，現(xiàn)實(shí)測(cè)得28組數(shù)據(jù)(見(jiàn)下表)試建立 Y關(guān)于 ，的二元線性回歸方程.i154151. 584. 031562081 . 70

16、3. 81257001 . 384. 011657981 . 594. 00356741 . 574. 001755511 . 614. 19456981 . 554. 091860591 . 573. 81561651 . 523. 731960601 . 533. 96659291 . 604. 092060591 . 553. 93775051. . 142. 952163701 . 453. 72859201 . 503. 902261021 . 493. 84976461. . 182. 892362451 . 503. 881065561 . 273. 482466441 . 45

17、3. 381164751 . 503. 602561911 . 583. 761259071 . 503. 772663521 . 503. 791356971 . 543. 942759991 . 593. 791466181 . 23. 662858151 . 74. 09解：先求出方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)向量，再求=172388=6156. 7143=41. 84=1. 4943=106. 09=3. 7889=1068433202=7089539. 72=63. 0632=0. 5423=256087. 04=-1509 . 8857=649111 . 28=-4054 . 5386=1

18、59. 4481=0. 9193=404, 5287求，的正規(guī)方程組為7089539. 72 -1509 . 8857 =-4054 . 5386-1509 . 8857 +0. 5423 =0. 9193解得=-0 . 0005181 ,=0. 2527 ,= =6. 6011所以 Y的關(guān)于 ，的二元線性回歸方程為=6. 6011-0 . 0005181 +0. 2527第四章顯著性檢驗(yàn)第一節(jié)一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)由上面的討論知，對(duì)于任何的兩個(gè)變量x和Y的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（）（i=1,2,n）按公式（10）和（11）都可以確定一個(gè)回歸方程然而事前并不知道 Y和x之間是否存在線性關(guān)系，如果兩

19、個(gè)變量 Y和x之間并不存在顯著的 線性相關(guān)關(guān)系，那么這樣確定的回歸方程顯然是毫無(wú)實(shí)際意義的.因此，我們首先要判斷Y和x是否線性相關(guān)，也就是要來(lái)檢驗(yàn)線性假設(shè)是否可信，顯然，如果Y和x之間無(wú)線性關(guān)系，則線性模型的一次項(xiàng)系數(shù)=0;否則0.所以檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，歸根到底是要檢驗(yàn)假設(shè) 根據(jù)現(xiàn)行假設(shè)對(duì)數(shù)據(jù)所提的要求可知，觀察值， 之間的差異，是有兩個(gè)方面的原因引起的：（1）自變量x的值不相同；（2）其它因素的影響，檢驗(yàn)是否成立的問(wèn)題，也就是檢驗(yàn)這兩方面的影響哪一個(gè)是主要的問(wèn)題.因此，就必須把他們引起的差異從Y的總的差異中分解出來(lái).也就是說(shuō)，為了選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，先導(dǎo)出離差平方和的分

20、解因 式.6一、離差平方和的分解公式觀察值 （i=1,2,n）,與其平均值 的離差平方和，稱為總的離差平方和，記作 因?yàn)槠渲校?2=2=2=2所以由于 中的， 為（10）和（11）所確定.即它們滿足正規(guī)方程組（9）的解.因此定義項(xiàng)于是得到了總離差平方和的分解公式：其中（19）是回歸直線 上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并且的平均值為，是這n個(gè)數(shù)的偏差平方和，它描述了的離散程度，還說(shuō)明它是來(lái)源于的分散性，并且是通過(guò)x對(duì)于Y的線性影響而反映出來(lái)的，所以，稱為回歸平方和而=它正是前面討論的的最小值，在假設(shè)（1）式的條件下它是由不可觀察的隨機(jī)變量引起的，也就是說(shuō)，它是由其它未控制的因素及試驗(yàn)誤差引起的，它的大

21、小反映了其它因素以及試驗(yàn)誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得影響.我們稱為剩余平方和或殘差平方和.7二、的性質(zhì)及其分布 由以上分析可知，要解決判斷Y和x之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題，需要通過(guò)比較回歸平方和和剩余平方和來(lái)實(shí)現(xiàn).為了更清楚地說(shuō)明這一點(diǎn)，并尋求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，考察估計(jì) 量，的性質(zhì)及其分布.（一） 的分布 由（14）式可知在相互獨(dú)立且服從同一分布的假定下由（2）知，是P個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且（i=1,2,，n）所以他們的平均值的數(shù)學(xué)期望為：因?yàn)槭堑木€性函數(shù)，且有： 這說(shuō)明是的無(wú)偏估計(jì)量且的方差為所以 即：同樣可證，對(duì)于任意給定的其對(duì)應(yīng)的回歸值（它是 的點(diǎn)估計(jì)）適合（二）方差的估計(jì)及分布 因?yàn)榧翱傻糜钟捎?/p>

22、 及E(L) , E(U)得=E(L) +E(U) = (n-2)從而，說(shuō)明了 =是 的無(wú)偏估計(jì)量，由此可見(jiàn)，不論假設(shè)成立與否， 是 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，而 僅當(dāng)假設(shè)成立時(shí)，才是 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，否則它的期望值大于.說(shuō)明比值(20)在假設(shè)成立時(shí)有偏大傾向， 也就是說(shuō)，如果F取得值相當(dāng)大，則沒(méi)有理由認(rèn)為x和Y之間有 線性相關(guān)關(guān)系，也就是下面我們將采用 F作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的原因. 另外，由于 ，是的 最小二乘估計(jì)，由(8)式可知=0,=0的自由度為n-2這表明 中的n個(gè)變量 ，之間有兩個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，故三、F檢驗(yàn)由以上討論可知，當(dāng) 因此可用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量 對(duì)給定的顯著性水平 際觀察值計(jì)算所得的成立

23、時(shí) ；F作為檢驗(yàn)假設(shè),查自由度為F則否定假設(shè)因此 8 且二者相互獨(dú)立，由此可得的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.1, n-2)的F分布的臨值表，得臨界值，如果由實(shí),即認(rèn)為x,Y之間線性相關(guān)關(guān)系顯著.否則不能否,而認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系不顯著.這種采用F檢驗(yàn)法來(lái)對(duì)回歸方程來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法稱為方差分析.在F檢驗(yàn)中，的計(jì)算公式如下(21)其中=例4對(duì)例1進(jìn)行線性關(guān)系顯著性檢驗(yàn).解：n=9=-1 . 175X ( -70 . 5)=82 . 84=85. 50-81 . 84=2. 66具體檢驗(yàn)在如下的方差分析表上進(jìn)行方差來(lái)源平方和自由度平均平方和F值回歸82. 84182. 84218. 00剩余2. 6670. 38

24、總和85. 48查下表對(duì) =0. 01 ,今說(shuō)明線性關(guān)系極顯著，即回歸方程是有意義的.9例5某種物質(zhì)在不同的溫度下可以吸附另一種物質(zhì)，如果溫度x （單位：C）與吸附重量（單位：m的觀測(cè)值如下表所示：溫度1. 52. 83. 44. 05. 56. 97. 48. 89. 0 重量4. 85. 77. 08. 310. 912. 413. 113. 615. 3試求其回歸方程并作顯著性檢驗(yàn).解：根據(jù)上述觀測(cè)值得到n=9=30. 3=91. 11=115. 11=345. 09=1036. 65=13. 100=38. 387=114, 516=3. 367=10. 122= =2. 9303=0

25、. 2569所求線性回歸方程為=0. 2569+2. 9303x因?yàn)?=114. 516=112 , 485 所以 =2. 031由 n-2=7=12. 2=387, 69F>12 , 2所以回歸方程極顯著第二節(jié)多元線性回歸方程的相關(guān)性檢驗(yàn)由于的無(wú)偏估計(jì)量為將總的離差平方和進(jìn)行分解可得到 +其中這里叫做殘差平方和，其自由度為 n, 叫做回歸平方和，自由度為 n-p-1 .檢驗(yàn)假設(shè)是否成立在成立時(shí)因此可利用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)線性相關(guān)關(guān)系的顯著性如果F>,則可認(rèn)為 與， 之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著；如果則可以認(rèn)為 與， 之間的線性相關(guān)關(guān)系特別顯著.否則可認(rèn)為與， 之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，所建立的

26、線性回歸方程是不顯著的.例6對(duì)例1的回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn).解：經(jīng)過(guò)計(jì)算得=23510 ,= =4734. 6=248284>(2, 10) =7. 56所以所求二元線性回歸方程線性極其顯著.10第五章 利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè)若線性回歸方程作顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果是拒絕，也就是拒絕回歸系數(shù)=0的假設(shè)，便可以利用回歸方程進(jìn)行點(diǎn)預(yù)測(cè)和區(qū)間預(yù)測(cè).這是人們關(guān)注線性回歸的主要原因之一.(1)當(dāng)x= 時(shí)用 預(yù)測(cè) 的觀測(cè)值 稱為點(diǎn)預(yù)測(cè)，根據(jù)得的觀測(cè)值 的點(diǎn)預(yù)測(cè)是無(wú)偏的(2)當(dāng)乂=時(shí)用適合不等式的統(tǒng)計(jì)量G和H所確定的隨機(jī)區(qū)間預(yù)測(cè) 的取值范圍稱為區(qū)間預(yù)測(cè)，而稱為的預(yù)測(cè)區(qū)間若 與樣本的各相互獨(dú)立，則根據(jù)

27、 服從正態(tài)分布，Z與Q相互獨(dú)立可以導(dǎo)出因此的預(yù)測(cè)區(qū)間為與一元線性回歸一樣，當(dāng)給定時(shí)，可求出相應(yīng)的的點(diǎn)估計(jì).亦可求出區(qū)間估計(jì)，還可以給出相應(yīng)的的預(yù)測(cè)區(qū)間. 11影響預(yù)測(cè)精度的主要因素有：(1)，但是不可改變的.一般的，越小精度越高.(2)n, n越大精度越高.因此，要盡量擴(kuò)大樣本容量.(3)自變量取值不要太集中；預(yù)測(cè)點(diǎn) 離 越近精度越高.例7 一些夏季害蟲的盛發(fā)期與春季溫度有關(guān)，現(xiàn)有 1956-1964年間3月下旬至4月中旬平均溫度的累計(jì)數(shù) x和一代三螟蛾盛發(fā)期 丫(以5月10日為0)的觀測(cè)值如下： 溫度35. 534. 131 . 740. 336. 840. 231 . 739. 244.

28、2盛發(fā)期12.169273139-1試求線性回歸方程并進(jìn)行F檢驗(yàn)；若 =40 ,求 的0. 95預(yù)測(cè)區(qū)間解：根據(jù)上述觀測(cè)值得到的n=9=333. 7=70=12517. 49=2436. 4=794=144. 6356=-159 . 0444=149. 5556=37. 077=7. 7778=-1 . 0996=4835493所以所求的線性回歸方程為=48.5-1.1 x當(dāng) =40 時(shí) =4. 56 ,=8. 36 ,所以 的 0. 95 預(yù)測(cè)區(qū)間為(-3 . 80, 12. 92)檢驗(yàn)說(shuō)明當(dāng)3月下旬至4月下旬平均溫度的累計(jì)數(shù)為40時(shí)，應(yīng)該預(yù)測(cè)一代螟蛾盛發(fā)期為5月6日5月23日之間，并且預(yù)測(cè)

29、 100次將有95次是正確的.例8下表列出在不同掛重 x下，彈簧長(zhǎng)度y的測(cè)量值，設(shè)測(cè)量值 y對(duì)給定的x服從正態(tài)分布.掛物的重量 (牛)50100150200250300 彈簧的長(zhǎng)度(厘米)7. 25 8. 12 8. 95 9. 90 10. 9 11. 8(1)求線形回歸法方程；(2)檢驗(yàn)假設(shè) ；(3)若回歸效果顯著，求b的置信度為95%的置信區(qū)間；(4)求在x=160 (牛)時(shí)，y的置信度為0. 95的預(yù)測(cè)區(qū)間.解：(1)=175,=227500,=9. 4867=554. 6594n=6,=10762=27500-6X =43750 =10762-6X 175X9. 4867=800, 965 =554. 6594-6X =14, 6745 =0. 01831 =