《集合與常用邏輯用語(yǔ)函數(shù)》知識(shí)總結(jié)大全

1、集合與常用邏輯用語(yǔ)-函數(shù) 知識(shí)總結(jié)大全作者: 日期:第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)【知識(shí)概要】一、集合的概念、關(guān)系與運(yùn)算1. 集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性.在應(yīng)用集合的概念求解集合問(wèn)題時(shí)， 要特別注意這三個(gè)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，元素的互異性往往就是檢驗(yàn)的重要依據(jù)。2. 集合的表示方法：列舉法、描述法.有的集合還可用Venn圖表示，用專(zhuān)用符號(hào)表示, 如 N. M,N+,Z. R、0.0 等。3. 元素與集合的關(guān)系：我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合, 若元素X是集合A的元素，則疋A,否則XgAO4. 集合與集合之間的關(guān)系： 子集：若A,則疋此時(shí)稱(chēng)集合A是集合B的

2、子集，記作ABu 真子集：若AB>且存在元素xeB.且A-e,則稱(chēng)A是B的真子集，記作：AB. 相等：若AB,且AB,則稱(chēng)集合A與B相等，記作A=B.o5. 集合的基本運(yùn)算：交集：AB=x.rA并集：AUB=UlX"或怕B 補(bǔ)集：C=xIw(,且應(yīng)A,其中(/為全集，AUO6. 集合運(yùn)算中常用結(jié)論：A=A, AC=, ACB=BA, AB=A<>AB ®AJA=A, AJ=A,AUB=AoBuA。 AJ(CuA)=U , (CUArA=，Q(ApB)=(Q1A)U(CrB), Ct,.(AB)=(QA)(CLrB)。 由"個(gè)元素所組成的集合，苴子

3、集個(gè)數(shù)為2"個(gè)。 空集是任何集合的子集，即Ao在解題中要特別留意空集的特殊性，它往往 就是導(dǎo)致我們?cè)诮忸}中出現(xiàn)錯(cuò)誤的一個(gè)對(duì) 象，避免因忽視空集而出現(xiàn)錯(cuò)誤。7.含參數(shù)的集合問(wèn)題是本部分的一個(gè) 重要題型，應(yīng)多根據(jù)集合元素的互異性挖掘 題目的隱含條件，并注意分類(lèi)討論思想、數(shù) 形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用。二、命題及其關(guān)系 1.命題的概念：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子 表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。2.四種命題的相互關(guān)系：3.“若P則q”是真命題，即尸7； “若"則（廠是假命題，則/8"4.在判斷命題真假的問(wèn)題中，一方而可以直接寫(xiě)岀命題進(jìn)行判斷，也可以通過(guò)命題的 等價(jià)性進(jìn)行判斷

4、，即原命題與逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)。5.充分必要條件的判斷是本部分的一個(gè)重要題型，在解題中應(yīng)注意：（1）注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式，我們知道，"是q的充分不必要條件是指PGq且p<" "的必要不充分條件是Q是指Pnq且q書(shū)p°這兩種說(shuō)法是在充分必要條件推理判斷中 經(jīng)常出現(xiàn)且容易混淆的說(shuō)法，在解題中一左要注意問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式，弄淸它們的區(qū)別，以免 出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤。（2）要善于舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。（3）恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行轉(zhuǎn)化，由原命題與逆否命題等價(jià)可知：若“是q的充分不必要條件， 則r，是T7的必要不充分條件：若"是G的必要不充分條件

5、，則予是r7的充分不必要條 件。6.證明"是Q的充要條件（1）充分性：把當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推出4；（2）必要性：把q當(dāng)作已知條件，結(jié)合命題的前提條件，推岀三、邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞 1.含有“且（人）”“或（V）非（嚴(yán)命題的真假性:PYqPP貞、q負(fù)A-A-假P貞、Q假假貞.假假、q貞假允真"假、Q假假假真2.全稱(chēng)量詞與存在量詞：命題中的“對(duì)所有J “任意一個(gè)”等短語(yǔ)叫做全稱(chēng)量詞， 用符號(hào)“V”表示，“存在二“至少有一個(gè)”等短語(yǔ)叫做存在量詞，用符號(hào)“盯 表示。含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)命題，全稱(chēng)命題：“對(duì)M中任意一個(gè)有P（X）成立”可 用符號(hào)簡(jiǎn)記為VM,Xx） O

6、含有存在疑詞的命題叫做特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題：“存在M中任意一個(gè)X ,使P（X）成立” 可用符號(hào)簡(jiǎn)記為3xf.p（x）。3.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的關(guān)系：P"的否泄全稱(chēng)命題：fxeM.p（x）特稱(chēng)命題:HrWM, -p(x)特稱(chēng)命題:BXeM9 p(x)全稱(chēng)命題：XfXeMP（X）第二章函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)一函數(shù)的概念及其表示（1）函數(shù)的概念 設(shè)A、3是兩個(gè)非空的數(shù)集.如果按照某種對(duì)應(yīng)法則對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集 合B中都有唯定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A B以及人到B的對(duì)應(yīng)法則f叫做集合A到3的一個(gè)函數(shù).記作fAB 函數(shù)的三婆素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則. 只有定義域相同.

7、且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).(2) 區(qū)間的概念及表示法 設(shè)么“是兩個(gè)實(shí)數(shù).且a<b,滿(mǎn)足a<x<b的實(shí)數(shù)X的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b滿(mǎn)足a<x<b的實(shí)數(shù)X的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做("#)：滿(mǎn)足ax<b.或a<xb的實(shí)數(shù)X的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做a,b). (“"：滿(mǎn)足xa,x>a,xb,x<b的實(shí)數(shù)X的集合分別記做ay +s), (/ 2), (8, b, (>0)注意：對(duì)于集合x(chóng)a<x<h與區(qū)間(a.b)9前者"可以大于或等于b而后者必須a<b(3) 求函數(shù)的定義域

8、時(shí)，一般遵循以下原則： /(X)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù). /(X)是分式函數(shù)時(shí)定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù). /(X)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合. 對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零.十對(duì)數(shù)或抬數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變址時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1 y = Umx 中，x k + (k Z). 零(負(fù))指數(shù)幕的底數(shù)不能為零. 若/(X)是由有限個(gè)基木初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí).則其定義域一般是備基木初等函數(shù)的定義域的交集. 對(duì)干求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題.一般步驟是：若已知/(x)的定義域?yàn)閍,b.其復(fù)合函數(shù)/g(x)的定義域應(yīng)由不等式 < g(x)b解出. 對(duì)于含字母參數(shù)的

9、函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論 由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外.還要符合問(wèn)題的實(shí)際總義.(4) 求函數(shù)的值域或辰值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基木上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中 存在一個(gè)最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.閃此求函數(shù)的最值與值域.其實(shí)質(zhì)是 相同的，只是提問(wèn)的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)做的函數(shù)我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值. 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變址的平方式與常數(shù)的和然后根據(jù)變雖的取值范困確定函數(shù)的值域或最值 判別式法若函數(shù)y = f(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于

10、X的二次方程a(y)x2 +b(y)x+c(y) =Q ,則在ay)O時(shí)由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有 = F(y)-4"(y) c(y) O,從而確定函數(shù)的值域或最值 不等式法：利用基木不等式確定函數(shù)的值域或最值. 換元法：通過(guò)變雖:代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題. 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值. 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖欽或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值. 函數(shù)的瑕涮性法(5) 函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法.列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的

11、對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變雖之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖彖法：就是用圖毀表示兩個(gè)變址之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(6) 映射的概念 設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素.在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng).那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A. B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則/ )叫做集合A到B的映射，記作f-.AB. 給定一個(gè)集合A到集合B的映射且UWAXB如果元素"和元素對(duì)應(yīng)，那么我們把 元素D叫做元素G的象，元素G叫做元素“的丿京象.二.函數(shù)的基木性質(zhì)仁單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定艾域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢(shì)，是研 究函數(shù)圖象在定艾域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。(

12、1) 函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)y = (x)的定狡域?yàn)锳 ,區(qū)間ZA如呆對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的兩個(gè)值1, X2,當(dāng)1<2時(shí)，都有/3)/(X2),那么y = /(-)在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù)，/稱(chēng)為y =于(兀)的單調(diào)區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的兩個(gè)值X, X2,當(dāng)召<兀時(shí)，都有/3)/U2),那么y = /(X)在區(qū)間/上是單調(diào)減函數(shù)，/稱(chēng)為),=/()的單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)y = /(x)在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)y = f(x)在區(qū)間I上具有點(diǎn)評(píng)單調(diào)性的等價(jià)定義： f(X)在區(qū)間 M 上是增函數(shù) <> VA-I,x2 e M,當(dāng) 1 < X2 時(shí)，有

13、 f (xl)- f (x2) < OO (州一心)/(M) - /g) > O 0 " J 一 / E) > O o 竺 > O ：x/(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)OVXI宀W M,當(dāng)“ < X2時(shí)，有/(x1)-(x2) > 0Og 一羽)/3)-/(旳)< 0 o /(、)_ / N)V 0 o 豈 V 0 ；Xl -X2ZkV(2) 函數(shù)單調(diào)性的判定方法 定義法：圖像法：復(fù)合函數(shù)法；導(dǎo)數(shù)法：特值法(用于小題)，結(jié)論法等. 注意： 定義法(取值作差變形定號(hào)結(jié)論)：設(shè)勺 X2 Cb切且XI X2 ,那 么(E-XJIfM一/Cd) >0

14、o ""73 >0o f(x)在區(qū)間S"上是增函兀|_兀2數(shù)：(“ 一羽) l(Xl) 一 /(,)<o<> ' m(七)V o o /(X)在區(qū)間“上上是減函 “一兀2數(shù)。 導(dǎo)數(shù)法(選修)：在/(X)區(qū)間(Gb)內(nèi)處處可導(dǎo)，若總有/(X) >O (/(x)<0),則 (x)在區(qū)間(“，方)內(nèi)為增(減)函數(shù)；反之，/(x)在區(qū)間("，b)內(nèi)為增(減)函數(shù)，且 處處可導(dǎo)，f (X) O ( / (x)0)o請(qǐng)注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。點(diǎn)評(píng) 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子/(X1)-/(X2)進(jìn)行因

15、式分解、配方、通分、分子 (分母)有理化處理，以利于判斷符號(hào)；證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定狡法和導(dǎo)數(shù)法。提醒 求單調(diào)區(qū)間吋，不忘定狡域：多個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號(hào)“U ”連接： 單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)，可舉反例。(3) 與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論 若/()與g(x)同增(減)，則f(x) + g(x)為增(減)函數(shù)，f(g(x)為增函數(shù)： 若y(x)增,g(x)為減,則f(x) - g(x)為增函數(shù),g(x) - /()為滅函數(shù)，(x) 為減函數(shù)； 若函數(shù)y = f (%)在某一范國(guó)內(nèi)恒為正值或恒為負(fù)值，則y = /()與y = !在相同fM

16、的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反； 函數(shù)y = f (X)與函數(shù)y = f(x) + k伙HO)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間； 函數(shù)y = f(x)與函數(shù)y = A()( >0)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，函數(shù)y = f(x) 與函數(shù)y = kf-(X)伙< 0)具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。2.奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，還是關(guān)于y軸成軸 對(duì)稱(chēng)，是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的定義一般地，設(shè)函數(shù)y = f(x)的定艾域?yàn)锳 如果對(duì)于的xA,都有f(-x) =,那么函數(shù)y = f(x)是偶函數(shù).一般地，設(shè)函數(shù)y = /(%)的定狡域?yàn)?.如果對(duì)于

17、的XeA9都有/(-X)=,那么函數(shù)y = f(x)是奇函數(shù).如果函數(shù)y = f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么函數(shù)y = f(x)具有注意 具有奇偶性的函數(shù)的定艾域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，確定函數(shù)奇偶性時(shí)，務(wù)必先 判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。圖象特征函數(shù)y = ()為奇(偶)函數(shù)o函數(shù)y = fW的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)成中心(軸) 對(duì)稱(chēng)圖形。注意 定艾域含O的偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn)；定Sl域含O的奇函數(shù)圖象一定過(guò)原點(diǎn)：利 用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問(wèn)題。點(diǎn)評(píng) 的數(shù)的定狡域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件. /(X)是奇函數(shù) O f(-x) = -f(x)

18、 O f(-x) + /(x) = Oo 丄匸衛(wèi)= -1.J M /(X)是偶函數(shù) O f(-x) = /(X) o f(-x) -/(X) =OO 32 = 1 JM 奇函數(shù)/()在原點(diǎn)有定義,則/(0) = 0. 在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：(i )奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；(ii )奇函數(shù)有相反的最值(極值)，偶函數(shù)有相同的最值(極值)。(§)/(%)是偶函數(shù) <=> /(I XI) = /()奇偶性的判定方法若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先考慮其定義域并等價(jià)變形化簡(jiǎn)后，再判斷其奇偶性.如判斷函數(shù)f(x)=lx 21+2的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法

19、如下：定義(等價(jià)定艾)法；圖像法；結(jié)論法等.點(diǎn)評(píng) 定狡法判定函數(shù)的奇偶性先求定狡域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì)稱(chēng)，再求 /(-X),接著考察/(-X)與/W的關(guān)系，最后得結(jié)論判斷函數(shù)不具有奇偶性時(shí)，可用反 例。與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論若/(X)與g(x)同奇(偶)，則f(x) ± g(x)為奇(偶)函數(shù)，f(x) g(x)和丄®為 g() 偶函數(shù)，f(gM)為奇(偶)函數(shù)； 若/(X)與g(x) 奇一偶，則/(x)g(x)和仏丄為奇函數(shù)，f(gW)為偶函數(shù)；g() 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和的形式。函數(shù)按奇偶性分類(lèi)奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非

20、奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)。點(diǎn)評(píng)既奇又偶的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。如/(X) = 0定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可。如函數(shù)/()=l-x2 +Vx2-I o3.周期性函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有菜種一定的周期變化規(guī)律：函數(shù)周期性的定義一般地，對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè)的常數(shù)7使得定艾域內(nèi)的X值,都滿(mǎn)足/(x + T) =那么函數(shù)/(x)稱(chēng)為周期函數(shù)，常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)周期函數(shù)/(X)的所有的周期中存在一個(gè)的 數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做函數(shù)/(x)的最小周期正周期。如沒(méi)有特別說(shuō)明，遇到的周期都指最小正周期。點(diǎn)評(píng)非零常數(shù)T是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì)，與自變量X的取值無(wú)關(guān)；若

21、非零常 數(shù)T是函數(shù)/(x)的周期，則非零常數(shù)T的非零整數(shù)倍(Pr Z,且n0)也是函數(shù) /(x)的周期：若函數(shù)/(x)的周期為7則函數(shù)y = Af(x + )(其中A, , 0為常T數(shù)，且A09 0)的周期為：定艾中的等式f(x + T) = f(x)是恒等式；函數(shù)/(x)的周期是To f(x + T) = fx) O三角函數(shù)的周期(I) y = six: T = 2r : (Dy = COSX: T = 2 ； ()y = tan xT = V = Asin(x + y = ACOS(QV+ 0): T = : y = tanoiv : 7T =:I 6?I函數(shù)周期的判定定乂法(試值)圖像法

22、 公式法(利用(2)中結(jié)論)結(jié)論法。與周期有關(guān)的一些結(jié)論 /(x + U) = f (x-a)或 f(x-2a) = f (x)(a > 0) => /(x)的周期為 2d ； /(X)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)x = a對(duì)稱(chēng)二>/(x)的周期為2ldl : /(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線(xiàn)x = a對(duì)稱(chēng)二> /(x)的周期為4ll : f(x)關(guān)于點(diǎn)(,0), (b,0) (ab)對(duì)稱(chēng)二> /(x)的周期為 2a-b /(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)X = " , = b(ab)對(duì)稱(chēng)二>函數(shù)f ()的周期為 2l-bl;®f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(&

23、quot;,0)中心對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)x = b軸對(duì)稱(chēng)=>(x)周期為4a-b: /Xx) XeRBt, f(x+a)=-f(x)或/(x+) = -L => f(x)的周期為 2ll :/() 函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f( + fl)=u z( V),且G為非零常數(shù)=>(x)的周期為4ll:1-/U) 函數(shù)/滿(mǎn)足f(x+2d) = f(x+a)-f(x)("為非零常數(shù))=> fx)的周期6o 點(diǎn)評(píng)注意對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系。4. 對(duì)稱(chēng)性函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(即函數(shù)圖象關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形或關(guān) 于某一條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)圖形)；(1) 函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的定義如果函數(shù)y

24、= f()的圖象關(guān)于直線(xiàn)X = Q成對(duì)稱(chēng)或點(diǎn)(d, Z?)成對(duì)稱(chēng)，那么y = /(x)具有對(duì)稱(chēng)性。注意 利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可以把研究整個(gè)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問(wèn)題。(2) 函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的證明證明函數(shù)y = ()圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(對(duì)稱(chēng)軸)的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上；(3) 與對(duì)稱(chēng)性性有關(guān)的一些結(jié)論 函數(shù)y = (x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x = a成軸對(duì)稱(chēng)O/(t-) = /(t + x)o特別地，當(dāng) G = O時(shí)，函數(shù)y = f(x)為偶函數(shù)。 函數(shù)y = /(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(G Z?)成中心對(duì)稱(chēng)<=> f(a-x) + fa + x = 2b t>特

25、別 地，當(dāng) = 0且b = 0時(shí)，函數(shù)y = (x)為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng) 函數(shù)奇偶性是函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的特殊請(qǐng)況。 若 y = /(x)對(duì)/(« + %) = /(/?-A)恒成立，則 y = f(x)圖像關(guān)于直線(xiàn)X =對(duì)稱(chēng)；9 函數(shù)y = b + -kO)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, Z?)中心對(duì)稱(chēng)。5. 有界性函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下界情況，重點(diǎn)是通過(guò)研究函數(shù) 的最大(小)值(值域)來(lái)研究有界性問(wèn)題。函數(shù)最大(小)值的定義一般地，設(shè)函數(shù)y = ()的定狡域?yàn)锳如果存在 A ,使得對(duì)于的xA,都有/(x) f (X0)9那么稱(chēng)/(心)為y = (Q的置大值，記為:如果存在A,使

26、得對(duì)于的xeA9都有/W /(),那么稱(chēng)/(x(J為y = f(x)的最小 值，記為L(zhǎng)注意 函數(shù)最大(小)值應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值：函數(shù)董大(小)值應(yīng)該是所有函數(shù)值 中靈大(小)的，最大(小)值不同于極大(小)值。值域與最值注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系，理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問(wèn)題。(3) 與函數(shù)最值有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 若函數(shù)y = /(x)在區(qū)間M 若函數(shù)y = /(X)在區(qū)間S， 若函數(shù)y = /(X)在區(qū)間G, Jmax = /(C ； 若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間伽飼上為單調(diào)增函數(shù), b上為單調(diào)城函數(shù), C上為單調(diào)增函數(shù).c上為單調(diào)減函數(shù).則兒in =(d) Jmax = f

27、(b): 則),min = /(b) , >'ux = /(«): 在區(qū)間切上為單調(diào)減函數(shù).則在區(qū)間切上為單調(diào)增函數(shù)，則Amin = /(C。恒成立問(wèn)題的處理方法恒成立問(wèn)題的處理方法：(1)分離參數(shù)法(就值法)：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題。 如:方程k=f(x)有解O keD(D為/(x)的值域)：不等式af(x)恒成立Oanl/(A)JwXffi »不等式dS(x)恒成立OdS/(血小值。6.極值函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定狡域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問(wèn) 題角度有所不同。極值的定義 設(shè)函數(shù)y = fM 在X=Xo及其附近有定狡，如果/(

28、°)的值比心附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大(小)，則稱(chēng)/(°)是函數(shù)y = (x)的一個(gè)極大(小)值。極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極 值。取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn).極值點(diǎn)是自變董的取值，極值是指函數(shù)值。極值的求法圖像法：導(dǎo)數(shù)法。7.零點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)Ll函數(shù)的零點(diǎn)定義 一般地，我們把使函數(shù)y = f (x)的值為的實(shí)數(shù)X稱(chēng)為函數(shù)y = f (x)的零點(diǎn)點(diǎn)評(píng)函數(shù)y = f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x) = 0的實(shí)數(shù)根。從圖象上看，函數(shù)y = /(兀)的零點(diǎn)， 就是它的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根.函數(shù)的圖象與X軸交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系，可以解決很多函數(shù)與方程的問(wèn)題

29、。這就是爲(wèi)考的熱點(diǎn)內(nèi)容函 數(shù)與方程的思想運(yùn)用。函數(shù)零點(diǎn)的存在性一般地，若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間g 6上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn)，且f(a) f(b)<,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)cw(, ZJ),使得/(C) = 0,此時(shí)實(shí)數(shù)C為函數(shù)y = f(X)的零點(diǎn).點(diǎn)評(píng)若函數(shù)y = ()在區(qū)間4切上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線(xiàn)，且/(«) fb)< 0,則有惟一的實(shí)數(shù)CW(Ch b),使得/(c) = 0 7.2不動(dòng)點(diǎn)方程/(x) = X的根叫做函數(shù)y = f W 的不動(dòng)點(diǎn)，也是函數(shù)y = (x)-x的零點(diǎn)。7.3函數(shù).方程與不等式三者之間的關(guān)系一般地，不等式f(x)>

30、 0的解集為函數(shù)y = (x)的圖象在X軸上方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo) 組成的集合：不等式f(x) < O的解集為函數(shù)y = /(x)的圖象在X軸下方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo) 組成的集合；/點(diǎn)評(píng)利用函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，可求不等式/(x)<O或/(x)>O的解集；利用函數(shù)圖 象并結(jié)合相應(yīng)方程的解，可求不等式/(X)Vg(X)或/(x)>g(x)的解集等；7. 4基本方法求函數(shù)零點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)的方法直接法(通過(guò)解方程(組)；(2)圖像法：二分法。點(diǎn)評(píng) 注意函數(shù)上述幾大性質(zhì)相互之間的聯(lián)系O 三.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)(I)根式的概念 亦叫做根式這里叫做根指數(shù) d叫做被開(kāi)方數(shù).

31、 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)."為任意實(shí)數(shù):為偶數(shù)時(shí).d»0 根式的性質(zhì):(時(shí) = ：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，ya = a:當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，暢 =IaI= "(I O)-« (U < 0)(2)分?jǐn)?shù)抬數(shù)拆的概念正數(shù)的正分?jǐn)?shù)抬數(shù)幕的總義是：亦=0(a>gnjwN.,且?guī)?gt;1)O的正分?jǐn)?shù)描數(shù)幕等于0.- 1 - 1 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：a fl =(-y =n (-),tr (a > Ojnjie N9且>1)0的負(fù)分?jǐn)?shù) CI V a指數(shù)幕沒(méi)有總義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，抬數(shù)取相反數(shù).分?jǐn)?shù)指數(shù)慕的運(yùn)算性質(zhì) a «' = UrS(a &

32、gt; 0,r,5 /?)(o')' = ClrS(Ci >0,s w R) (Uby= arbr(a >O,b>O,r w R)(4)抬數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)抬數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y = axa > 0且a)叫做扌數(shù)函數(shù)a>OvdvlIX /J = «/八宀k t y圖歛J = I2.(Oa)J = IKM(OJ)OXOX定義域R值域(0, +8)過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)K=O時(shí)，y=l奇偶性非奇非偶在/?上是増函數(shù)在7?上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況y>l (x>0), y=l (X=O), O<y<l (x<0

33、)y>l(x<O), y=l (X=O), O<y<l(x>O)a變化對(duì) 圖象的影 響在第一象限內(nèi)，“越大圖彖越越靠近y軸： 在第二象限內(nèi)，"越大圖象越低，越靠近X軸.在第一歛限內(nèi).越小圖彖越高越釜近y軸： 在第二彖限內(nèi).越小圖象越低越整近X軸.2.對(duì)數(shù)函數(shù)(1)對(duì)數(shù)的定義 若ax = N(U > 0,且a H 1),則X叫做以"為底N的對(duì)數(shù)，記作X = IOgfl N ,其中。叫做底數(shù).N叫做真數(shù). 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化： = IOg NOaK=N( > 0, h 1, N0)(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：lgN即IOgIo

34、 TV :自然對(duì)數(shù)：InN ,即IOgrN (其中e = 2.71828-).(3) 幾個(gè)垂要的對(duì)數(shù)恒等式：IogdI = 0log/ = 】，IOjd= b(4) 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果t>OzL/ >0,7>0,那么加法：IOgU M + IOgU N = Iogrr(MZV)M 減法：IOgn M 一 IOgn N = IOga NZ=N換底公式： 數(shù)乘：n IOgd M = IOgn MH (,? R) IOg II Mn = -1Ogr M (b O5 H R) a b iIOe NIOgfl N = E (b > 0,且b 1)1。鬲d(5)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)對(duì)數(shù)

35、函數(shù)定義函數(shù)J = IOgfl x(a > O且a)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a>OVdVlOI ky -1°為兀H x = 1 y=log rO； (S)j°,X定義域(0,S值域R過(guò)定點(diǎn)圖彖過(guò)定點(diǎn)(1,0),即TX = 1時(shí),y = 0.奇偶性非奇非偶在(0,+s)上是增函數(shù)在(0, +<s)上是減函數(shù)IOgd X > 0(Ql)IOgdX < O (X > 1)函數(shù)值的 變化情況IOgd x = 0(X = I)IOga X = O (X = I)Iogd XVo(0<x<l)IognX>0 (0<x< 1)G變化對(duì)圖在第一彖限內(nèi)，G越大圖縱越靠低，越靠近X軸在第一彖限內(nèi)，。越小圖彖越靠低.越靠近X軸象的影響在第四象限內(nèi)，G越大圖縱越靠高，越靠近y軸在第四象限內(nèi)，G越小圖線(xiàn)越案融 越靠近y軸(6)反函數(shù)的