空間立體幾何講義

1、空間立體幾何講義一、基本概念1 .空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示2,向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模 .記為|兩|, ：C特別地：M 規(guī)左長(zhǎng)度為o的向量為零向星，記作 6:L少 模為1的向量叫做單位向量：A3,相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量4.負(fù)向疑：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量,如：的相反向量記為二,5,共線與共而向量（1） 共線向量：與平而向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些 向量叫做共線向量或平行向量，記作：必（2） 共而向量：平行于同一平而的向量叫做共而向量，共而向量定理：如果（X

2、, v），使得 P一向量或相等向（3） 定理 共線向量宦理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向的充要條件是存在實(shí)數(shù)八使得二疝兩個(gè)向量二3不共線，則向量7與向量二6共面的充要條件是存在唯一的有序史書對(duì)=xa + yb.6.注意: 零向量的方向是任意的，規(guī)左與任何向就平行: 單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1 ； 方向相同且模相等的向量稱為相等向疑，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同量： 空間任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移成為共而向呈：； 一般來(lái)說(shuō)，向量不能比較大小，1 /129/ 12空間立體幾何講義語(yǔ)百抽述共線向里（平行向里）裘示空間向蚩的掃向統(tǒng)所在的言線平行或至仕共而向疑平行十伺一半而口勺向

3、盎.共處向蚯理對(duì)空間任S:意個(gè)向重二了訂砂，方“了壞在;E R?使A廟?共而向窒走理若兩個(gè)問(wèn)宙？ ? 了不共線，則向野與向瑩了共麗u存在唯一的有序竣對(duì) v）.空間向魚(yú)基本定理（。定理，如果三個(gè)向堂二系"F共面，那么對(duì)空間任一向蛋 ？.存在知7翊組口 y.可便得產(chǎn)矗 吊皿?<2）血論，設(shè)6 A B-. C罡不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)耶存在臨一的二個(gè)有序買馥X y.旗二卅尸z且 x+y*z=l ?二、空間向量的運(yùn)算1、加減法（1）空間任意兩個(gè)向量都是共而的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向呈的加減法OB = 0A + AB = a + 方加法的三角形法則加法的平行四邊形法則（2）加法

4、運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律 .交換律：結(jié)合律：（3）推廣4 4 * T TBA = 0A - OB = a - b減達(dá)的三角周以法則*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量 閉圖形，則它們的和為：零向量2 ?空間向量的數(shù)乘運(yùn)算*首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封（1）實(shí)數(shù)入與空間向量：的乘枳仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)入>0時(shí)，入：與方的方向相同:2）當(dāng)入V0時(shí),入：與：的方向相反:當(dāng)入二0時(shí)，X?=o.A<02/129/ 12空間立體幾何講義?|A? r|A|.p|,的長(zhǎng)度是:的長(zhǎng)度的|入|倍.（2）運(yùn)算律空間向疑的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)

5、合律分酉I律：2（ "項(xiàng)=2 " +久&(A + f.i) a = Art + /.ib結(jié)合律：2 （ f ）=（弘）： 3.空間向量的數(shù)疑積和坐標(biāo)運(yùn)算1 .兩個(gè)向蜃的數(shù)堂積（1） a?方二 la lb icosv q,（2） 7,？耳？，0 （: > ?為非零向堡）；lalS?力口坐標(biāo)運(yùn)算二屏+舁+<a= ( 8i> 82> 83 )>(Op g向量和八+5=&2+如33+八3八向重差a -ft=(ai? Q, &2 2)&3? 03)數(shù)重積a*6=a1-1 *32-2 +a3-3共線:匚na二人6> 二

6、人二人S （人W R ）垂直:，了 oa 6 +32八+33八3=0夾角,t t、ab + aibi+cAb3cos Q7巫我+必松我+力口三. 直 線 的 方 向 向 量仁 直 線 的 方 向 向 量空間中任意一條直線I的位置可以由 I上一個(gè)左點(diǎn)A以及一個(gè)左方向確立.直線I上的 向量；以及與；共線的向 量叫做直線I的方向向量 注意： 一條直線I有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行 直線I的方向向量也是所有與I平行的直線的方向向量.3/129/ 12空間立體幾何講義2、方向向量的求法：可根拯直線I上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線 I的一個(gè)方向向蚩：.3、 平而的法向呈：由于垂直于同一平而的直

7、線是互相平行的，所以，可以用垂直于平而的直線的方向向屋來(lái)刻畫平而的”方向如果表示向量；的有向線段所在直線垂直于平而a,則稱這個(gè)向量垂直于平而，記作;± a,如果；± a,那么向呈：；叫做平面a的法向量.注意： 法向雖一定是非零向量： 一個(gè)平而a有無(wú)窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行； 向量7是平而的法向雖：，向量萬(wàn)是與平而平行或在平面內(nèi)，則有；？需=0. 一個(gè)平而a的法向量也是所有與平而 a平行的平面的法向量.4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為"=：（2） 歹U：根據(jù):？花0,匚？ ； =0,列出方程組：（3） 解：把U （或V或W）看作常數(shù)，用

8、U （或V或W）表示另外兩個(gè)搭：（4） 取：取U為任意一個(gè)數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向屋；的坐標(biāo) 四、用向量證明平行1 .直線與直起平行設(shè)直娃11和2的芳向廟宣分別為y 和乜，則由可蚩共線的條件得？I/I2 （或H與I?重合）月云“云2 .直統(tǒng)與平面平行（1）已知兩個(gè)菲零向蚩丁和 g與a共麗，直線的一個(gè)方向則蟲(chóng)共面向坐定理可以篝I"誡I在炳e存在兩個(gè)有序買數(shù)（x? y）憋=.Y可-）石（2）蟲(chóng)共面同遂定理還可以H 如里久B, C三點(diǎn)不共余帛則點(diǎn)N在平面ABC內(nèi)的充更條件是，耳在一對(duì)有序慈W y）侯向童丟 達(dá)式方二訪-皿鬼.3 .平而與平面平行設(shè)平面6 B的法向量分別為“

9、1 "2 ,貝ha 越。與月重合C看“懇Q存左實(shí)瓠使并二厲五、用向屋證明垂直（1） 線紅垂宜：逡宜線1卜？的萬(wàn)向幣蛋分別為 a、b9則1|，baq ±（2） iO垂巨 設(shè)臣線I的肓向向址為；平面 a的法向II為7則I，ao : Ru > :二k,由線面垂克的判定定理？只要證朋已知亙線田方向向魚(yú)與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向堇垂直（3）面面垂亙：4/129/ 12空間立體幾何講義 U明兩個(gè)平頁(yè)的法向星垂自RIW個(gè)平面的法向星 R X 7A-7 =0 ; 由面面垂直的判定定理可知，只要證明一個(gè)平面內(nèi)的一條醪的方向向墮和一個(gè)平面內(nèi)的兩條燒交醪的方向向SO.5/129/ 12空間立體幾

10、何講義選擇題(共11小題)1 .已知直線I的一般方程式為x+y+"O，貝91的一個(gè)方向向量為()A. (1, 1) B? (1,- 1) C. (1, 2) D. (1, - 2)2 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且S2=ll? Ss=5CfiW過(guò)點(diǎn)P (n, a)和Q (n+2, an-2) (nGN*)的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是()A? (? 1, - 3) B? (1,? 3) C- (1, 1) D. (1, - 1)3 .若直線11, 12的方向向量分別為二(2, 4, - 4) , b= ( - 6, 9, 6)則()A. I1/I2 B. Ii±

11、I2C. k與12相交但不垂直D.以上均不正確(-2,? 3,2)則 a與b的位置關(guān)系是(A.平行B.重合5-若 A 9' 2、罟)設(shè)平面a的法向量呂4?直線a, b的方向向量分別為二(- 2, - 2),)C垂直D.夾角等于善B (1,? 1, 1) , C ( - 2, 1且)是平面a內(nèi)的三點(diǎn), 8 8(x, y, z), 則 x： y：1 D? 3: 2: 4A? 2: 3: ( - 4) B? 1: 1: 1C.6.已知 AB 二(1, 5, - 2) , BC=3, 1, z),若忑，BC, BP= (x- 1, y, - 3),2, 40. 4，罟能使l a的是(3, 5)

12、 n= (1,0, 1)且BP,平面ABC則實(shí)數(shù)x、v、 z分別為A.(阻?些，4 B.型7777.若直線I的方向向量為0平面a的法向量為mA. a= ( 1> 0, 0), n= ( " 2? 0, 0) B? a= (1,C. a=( 0? 2, 1) , n=( " IT 0,- 1) 1)D? a=(l,3)口 一 3,&設(shè)：二a 3),:在電上的投影為竺2,電在x軸上的投影為2,且|b|<i4,26/129/ 12空間立體幾何講義A. (2,14) B. (2,C. (一 2,D. (2, 8)9.如圖，在正方體ABCD - AxBiCiD中，

13、P為對(duì)角線BD】的三等分點(diǎn)，P到各頂 點(diǎn)訪距制的不同取值行f ）C, 71 1/ /Vii 、I ' （ 1。尸 ，. 1 "j C、1* ' /Lij/CABA. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D,6個(gè) 10?已知直二面角 a-1-p,點(diǎn)AWa, AC± I, C為垂足，Bept BD± I, D為垂 足，若AB=2, AC=BD=1如D至U平面ABC的距離等于（）A.亞B.血C起D. 1 33311.在正四棱柱 ABCD- AiBiC止中，頂點(diǎn)Bi到對(duì)角線BD1和到平面AiBCDi的距離分別為h和d,則下列命題中正確的是（）A.B.若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面

14、的邊長(zhǎng)若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)則旦的取值范圍為（0,1） d貝呼勺取值范圉為（乎，卑3） 則等的取值范圍為（卑3, V2）則旦的取值范圉為 d，+8）C.若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)D?若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)二.填空題（共12小題）15. 如圖，在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCD - AiBiCiD中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線 段DiE上，點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為 .16. 若 3=(1, 0, 2), b=(0, 1,2),貝,J I a-2b 1=7/129/ 12空間立體幾何講義17?已知A (1, 2, - 1慶于面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為B,則AB二18?如圖，在三棱錐 D - ABC中，

15、已知 AB=AD=2, BC=1, ACBD=-3 T 則 CD=19.如圖，在四棱錐 S? ABCD中，底面 ABCD為矩形，SD,底面 ABCD, AD=V2, DC=SD=2點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ZABM=60°.若以DA, DC, D的別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D - xyz貝JM的坐標(biāo)為 ?20?如圖，為一個(gè)正方體截下的一角 P? ABC, PA =a, PB =b, PC超立 如圖坐標(biāo)系，求ZABC的重心G的坐標(biāo)?IJh 21 . 下列關(guān)于空間向量的命題 中，正確的有 若向量三電與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則 a/7b;若非零向量£ b,:

16、滿足T,電，；則有了；若$,麗，55是空間的一組基底，且喬，355+，麗+，56,貝I A, B, C, D?33點(diǎn)共面;若向冢hb, b+o是空間一組基底，則呂，b,c也是空間的一組基底.8/129/ 12空間立體幾何講義22 . 由空間向量二(1, 2, 3) , b= (1, - 1, 1)構(gòu)成的向量集合 A=x x=Akb,kez,則向量匚的模£|的最小值為.23?已知點(diǎn) A (1, 2, 1) , B ( - 2,4) , D (1, 1, 1)若菖 2 瓦，則PD的值是?24 .已知空間四點(diǎn) A (0, 1, 0) , B (1, 0rL), C (0, 0, 1) ,

17、D (1,1，)，2 2則異面直線AB, CD所成的角的余弦值為?A B25 . 如圖ABCD? AiBiCiDi是正方體,則BEi與DFi所成角的余弦值是'pi ¥ J 匚人B26 .已知向h'", b滿足b =2,方與b的夾角為60。，則b在已上的投影是 三.解答題(共9小題)27 .如圖，三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形 ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6, BC=3.(1)證明：BC平面PDA(2)證明：BC± PD;(3)求點(diǎn)C到平面PDA的距離.28 .如圖，已知四棱錐P? ABCD, PB 士珊面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角

18、形，底面ABCD為菱形，側(cè)面 PAD與底面ABCD所成的二面角為1201(I) 求點(diǎn)P到平面ABCD的距離，(II) 求面APB與面CPB所成二面角的大小.9/129/ 12空間立體幾何講義29 . 如圖，在四棱錐 P - ABC計(jì)，PD，平面 ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB DC,ZBCD=901(1)求證：PC± BC:(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離?30 .如圖所示，在四棱錐P? ABCD中，底面ABCD為矩形，PA,平面ABCD點(diǎn)E 在線段 PC ± , PC平面 BDE設(shè) PA=1, AD二 2.(1)求平面BPC的法向量；(2)求二面角B

19、- PC - A勺正切值.31 ?女口圖，在四棱卡隹 P - ABC葉，PAdJ 龍面 ABCD, AD ± AB, AB/7DC,AD=DC=AP=2, AB"點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(I )證明：BE, DC;(H)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(DI)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFAC,求二面角F? AB - P的余弦值.10 / 129 /12空間立體幾何講義32?如題圖，三棱錐 P? ABC中，PC，平面ABC, PC=3, ZACB=? D, E分別 2為線段 AB, BC上的點(diǎn)，且 CD=DE=V2, CE=2EB=2.(I )證明：DE，平面PCD(n)求二面角A - PD-C的余弦值？33?如圖，在三棱臺(tái) ABC - DEF4,已知平面 BCFE±¥面 ABC, ZACB=9QBE=EF=FC=1, BC=2, AC=3,(I )求證：BF