草原生態(tài)平衡的建模分析

1、第X期 王青: 草原生態(tài)平衡的建模分析3 草原生態(tài)平衡的建模分析王X（西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，陜西 西安 710071）摘要: 本文研究了草原生態(tài)系統(tǒng)中黃羊，狼群和草場(chǎng)之間的制約與促進(jìn)的關(guān)系.文章首先把草原生態(tài)系統(tǒng)看作是一個(gè)離散型動(dòng)力系統(tǒng)，并將其因素簡(jiǎn)化為黃羊，狼群和草場(chǎng).再運(yùn)用Logistic 模型和Volterra 模型對(duì)該動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行建模，分析其三個(gè)因素之間的具體關(guān)系，進(jìn)而對(duì)草原生態(tài)系統(tǒng)的平衡進(jìn)行評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè).關(guān)鍵詞: 動(dòng)力系統(tǒng)；Logistic模型；Volterra 模型Modeling and analysis of grassland ecosystemQING Wang（S

2、chool of Electronic Engineering, Xidian Univ., Xian 710071, China;）Abstract: This paper studies the relationship and advance grassland ecosystems Mongolian gazelle, wolves and pasture between article first prairie ecosystem as a discrete dynamical systems, and simplify their factors Mongolian gazell

3、e, wolves and pasture Logistic model and then use the power system Volterra model to model, analyze the specific relationship between the three factors, and thus balance the prairie ecosystem evaluation and forecasting.Key words: Power systems; Logistic model; Volterra model高原草原生態(tài)環(huán)境中主要生活著黃羊群和狼群.黃羊的過

4、度繁殖會(huì)引起草原退化和狼群數(shù)量增加，狼群的增多又會(huì)導(dǎo)致黃羊群數(shù)量減少.草原，黃羊群，狼群這三者之間有著相互制約又相互促進(jìn)的關(guān)系.試建立草原上“草場(chǎng)黃羊狼群”的生態(tài)模型，并給出保持生態(tài)平衡的建議.1 問題假設(shè)1.1草場(chǎng)的基本假設(shè)a.草場(chǎng)總面積為1000 平方公里.b.每平方公里的草場(chǎng)在供養(yǎng)50 只以下的黃羊時(shí)，草場(chǎng)不退化.當(dāng)黃羊數(shù)量超過每平方公里50 只時(shí)，草場(chǎng)衰減，衰減率與黃羊超過50 只的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為0.0001.1.2黃羊種群基本假設(shè)a.當(dāng)前黃羊種群數(shù)量為60000 只.b.草場(chǎng)充足，沒有狼群的情況下，黃羊凈增長(zhǎng)率為0.1.c.草場(chǎng)不充足會(huì)導(dǎo)致黃羊種群的繁殖率下降，下降率與每平方

5、公里平均黃羊數(shù)量減50 只成正比，比例系數(shù)為0.001.d.狼群會(huì)減少黃羊的數(shù)量.1.3狼群的基本假定a.當(dāng)前狼群總量為100 只.b.黃羊總?cè)簲?shù)量與狼群數(shù)量之比超過300/1 時(shí)，狼群的凈增長(zhǎng)率為0.01.低于300/1 時(shí)，狼群的繁殖率下降，下降率與狼群總量與黃羊總量的比值成比例，比例系數(shù)為0.5.c.每只狼平均每年吃掉20 只黃羊.2 符號(hào)說明n 年份.S(n) 第n 年草場(chǎng)的總面積.X(n) 第n 年黃羊的種群數(shù)量.Y(n) 第n 年狼群的種群數(shù)量.r 草場(chǎng)面積減少率與每平方公里平均黃羊數(shù)量減50 只的數(shù)量的比例系數(shù).m 草場(chǎng)充足，沒有狼群的情況下，黃羊凈增長(zhǎng)率.t 黃羊總?cè)簲?shù)量與狼群

6、數(shù)量之比超過300/1 時(shí)，狼群的凈增長(zhǎng)率.a 每只狼平均每年吃掉的黃羊數(shù).3 問題分析與建模第一步：按照對(duì)草場(chǎng)的基本假設(shè)，易知當(dāng) xnsn50 時(shí)，有sn+1=sn;當(dāng)xnsn>50時(shí),sn+1=sn*1-rxnsn-50;第二步：按照對(duì)黃羊種群的假設(shè)，利用Logistic 模型和Volterra 模型，可以得出黃羊數(shù)量的狀態(tài)方程為:當(dāng)xnsn50 時(shí)，有xn+1=1+m*xn-a*Yn當(dāng)xnsn>50 時(shí)，有xn+1=xn*1-0.001*xnsn-50其中，Logistic 模型刻畫了草場(chǎng)的退化對(duì)黃羊數(shù)量增長(zhǎng)率的影響，0.001*xnsn-50就是Logistic 模型的一項(xiàng)

7、.而a*Yn則刻畫了狼群對(duì)黃羊數(shù)量增長(zhǎng)的影響.第三步：按照對(duì)狼群的假設(shè)，利用Logistic 模型和Volterra模型，可以得出狼群的狀態(tài)方程為:當(dāng)Ynxn<1300 時(shí)，Yn+1=1+t*Yn ,在食物充足時(shí)，狼群將呈一次函數(shù)的形式增長(zhǎng).當(dāng)Ynxn1300 時(shí)，Yn+1=1-0.5*xnYn*Yn ,其中，0.5*xnYn是食物對(duì)狼群增長(zhǎng)率的影響.到此，得到了描述“草原黃羊狼群”生態(tài)系統(tǒng)模型的完整數(shù)學(xué)表達(dá)式.用Matlab 畫出各個(gè)量之間的關(guān)系圖形.Matlab 編程如下：clc;clear;s(1)=1000;x(1)=60000;y(1)=100;i=1;k=200;t=1:1:

8、k;while i<kx1=x(i);x2=y(i);x0=s(i);if x1/x0<=50x(i+1)=1.1*x1-20*x2;s(i+1)=x0;elsex(i+1)=(1-0.001*(x1/x0-50)*x1-20*x2;s(i+1)=(1-0.0001*(x1/x0-50)*x0;endif x1/x2>=300y(i+1)=(1+0.01)*x2;elsey(i+1)=(1-0.5*x2/x1)*x2;endi=i+1;endfigure(1);plot(x,y,'b');grid on;title('羊和狼的數(shù)量變化');xl

9、abel('羊的數(shù)量/只');ylabel('狼的數(shù)量/只');axis(40000 70000 100 175);figure(2);plot(t,x,'b');grid on;title('羊的數(shù)量變化');xlabel('時(shí)間/年');ylabel('羊的數(shù)量/只');axis(0 200 0 60000);figure(3);plot(t,y,'b');grid on;title('狼的數(shù)量變化');xlabel('時(shí)間/年');ylabel(

10、'狼的數(shù)量/只');figure(4);第X期 王青: 草原生態(tài)平衡的建模分析 7 plot(t,s,'b');grid on;title('草場(chǎng)的數(shù)量變化');xlabel('時(shí)間/年');ylabel('草場(chǎng)的數(shù)量/平方公里');figure(5);plot(s,x);grid on;title('草原和羊的關(guān)系');xlabel('草原的數(shù)量/平方公里');ylabel('羊的數(shù)量/只');figure(6)plot(s,y);grid on;title(

11、9;草原和狼的關(guān)系');xlabel('草原的數(shù)量/平方公里');ylabel('狼的數(shù)量/只');4 模型分析4.1 由程序得到的圖形如下圖（1） 圖（2） 圖（3） 圖（4） 圖（5）由圖（1）可以看出，在大約前8 年的時(shí)間里，黃羊數(shù)量較快下降，具體原因可以有圖（3）看出，在大約前8 年里，草原退化較快.在n=8 時(shí)，黃羊數(shù)量達(dá)到穩(wěn)定，X(8)在5 萬左右波動(dòng)，而且一直持續(xù)到n=200 年.由圖（2）可以看出，在大約n=57 年之前，狼群數(shù)量快速增長(zhǎng)，隨后就和羊群一樣，保持?jǐn)?shù)量穩(wěn)定，一直在Y(n)=169左右變化.由圖（3）可以看出，草原一直在退化.

12、4.2 假設(shè)分析1.假如羊遭到捕殺，數(shù)量急降至X(0)=10000 則得到如下圖形 從圖中可以看出：(1)羊的種群數(shù)量下降至10000 后，羊群在10 年之內(nèi)就滅.這說明該生態(tài)系統(tǒng)對(duì)養(yǎng)的恢復(fù)能力較差.(2)草原不會(huì)受到羊群的消耗，沒有退化，但也沒有增長(zhǎng).這說明該生態(tài)系統(tǒng)草原的生命力并不強(qiáng).(3)狼群在羊群消亡的前10 年內(nèi)，由于食物受限，其數(shù)量急降，但很快又恢復(fù)到大約98 只.這說明該生態(tài)系統(tǒng)對(duì)狼的恢復(fù)能力較強(qiáng).2.若狼遭到捕殺，假設(shè)Y(0)=40，得到如下圖形 由上圖可見，狼群的減少，對(duì)羊群和草場(chǎng)基本無影響.而狼群自身也能很快恢復(fù)原來的數(shù)量水平.可見，該生態(tài)系統(tǒng)對(duì)狼群的穩(wěn)定性和恢復(fù)能力很強(qiáng).

13、3.若草原遭到人為破壞，設(shè)S(0)=300,則得到以下圖形 從上圖可見，草原嚴(yán)重退化給該生態(tài)系統(tǒng)帶來的破壞非常之大.羊群很快滅絕，狼群數(shù)量急劇下降，無法回復(fù)至原來的水平，而草原自身也是無法恢復(fù)到原來的水平的.5 關(guān)于保護(hù)該生態(tài)系統(tǒng)平衡的建議該生態(tài)系統(tǒng)在狼種群遭到破壞時(shí)，尚有較強(qiáng)的抵抗力和恢復(fù)力.但在黃羊種群和草原受到破壞時(shí)，抵抗力和恢復(fù)力較差.尤其是在草場(chǎng)受到破壞時(shí)，情況尤為嚴(yán)重.因此，該生態(tài)系統(tǒng)總體而言，是一個(gè)較為脆弱的生態(tài)系統(tǒng)，應(yīng)該注重保護(hù)，尤其是不能濫捕殺黃羊，不能濫開墾田地，對(duì)草場(chǎng)造成破壞.6 模型的評(píng)價(jià)及修改該模型利用了Logistic 模型和Volterra 模型這兩種成熟的數(shù)學(xué)模型，較為全面客觀地刻畫了該生態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律.但是該模型只考慮了草原的退化，而沒有考慮草原的進(jìn)化.因此,在對(duì)草場(chǎng)進(jìn)行