數(shù)值分析報告大作業(yè)2014

1、word用演？免火孝課程設計課程名稱：高等數(shù)值計算設計題目：數(shù)值計算B課程設計學號：某某：完成時間：2014年10月20日1 / 12word題目一：非線性方程求根用Newton法計算如下方程1x3X 10,初值分別為X01,X00.45,x。0.65.2x3 94x2 389x 294 0其三個根分別為13 98。當選擇初值xo 2時給 出結果并分析現(xiàn)象，當 5 106,迭代停止。一、摘要非線性方程的解析解通常很難給出，因此非線性方程的數(shù)值解就尤為重要。本實驗通過使用常用的求解方法二分法和 Newton法與改良的Newton法處理幾 個題目，分析并總結不同方法處理問題的優(yōu)缺點。 觀察迭代次數(shù)

2、，收斂速度與初 值選取對迭代的影響。二、數(shù)學原理構造迭代函數(shù)的一條很重要的途徑是，用近似方程來代替原方程去求根。因 此，如果能將非線性方程用線性方程來代替的話，求近似根問題就很容易解決， 而且十分方便。Newton法就是把非線性方程線性化的一種方法。在求解非線性方程f(x) 0時，它的困難在于f(x)是非線性函數(shù)，為克制這 一困難，考慮它的線性展開。設當前點為 xk,在xk處的Taylor展開式為f (x) f (xk) f (xk)(x xk)令f(x) 0,可以得到上式的近似方程f (xk) f (xk)(x xk) 02 / 12word設f(%)。，解其方程得到f (凡)Xki Xk(

3、k 0,1，)f (Xk)這就是牛頓迭代公式。用牛頓迭代公式求方程f(x) 0根的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義為，不斷用切線來近似曲線得到方程的根， 我們知道 方程f (X) 0的實根X*是函數(shù)y f (x)的圖形與橫坐標的交點，Xk 1是函數(shù)f (X)在 點(Xk，f(Xk)處的切線與X軸的交點，此時就是用切線的零點代替曲線的零點，因 此，牛頓迭代法又稱為切線法。三、程序設計基于MATLAB軟件編寫程序，先定義一個用 Newton法求解的功能函數(shù)，然后 調用函數(shù)用于計算不同的方程。各變量定義見程序。1、選取初值。2、利用公式求解Xk1 Xk Ex4(k 0,1，)f (Xk)3、

4、計算所得Xk 1-Xk是否滿足精度要求4、如不滿足繼續(xù)迭代運算，如滿足如此輸出所求結果四、結果分析和討論1、第一題計算結果：首先得到函數(shù)在區(qū)間，2.5的圖像，即可知函數(shù)f(x)與x軸有交點，也就是 說有根，并且從圖中能夠大致估算到根的位置。3 / 12wordi3m中用工*式"T才Arilxotrt =t =4»J 二 Be =聾rod I.有t - 2» 【not/】 HiHtaidCQan" " "X"Il、 rcio4 .1. Rd，(1)、取初值Xo 1時得到根值，迭代次數(shù)t=4次(2)、取初值Xo 0.45時得到根

5、值，迭代次數(shù)t=42次(3)、取初值Xo 0.65時得到根值，迭代次數(shù)t=8次根據(jù)結果可以分析得到，當使用牛頓迭 代法時，所選初始值對迭代速度迭代次數(shù) 有較大影響。當初始值Xo充分接近方程的單根 時，可保證迭代序列快速收斂，當初值選擇不 當時會造成迭代次數(shù)大幅增加或不一定收斂。2、第二題計算結果：初值Xo 2時，得到根值r=-98,迭代次數(shù)” IrEtt - ffevt rnRiMrt 2( l葭 3+與 *-.？ 2為1次。皿1 0-S3根據(jù)結果可以得到，給出的迭代初值不一定會收斂于離它最近的實根，收斂速度也不一一定會慢。初值不同所得到的收斂值也不同。例如，在此題中更改初值為Xo 4時，所得

6、到的根是3,迭代次數(shù)為4次。五、完成題目的體會與收獲4 / 12word通過自己編程實現(xiàn)牛頓迭代法，不僅讓我對牛頓迭代法有了更深刻的了解， 同時也鍛煉了我編程解決數(shù)學問題的能力。原本上課時不清晰的思路被理清了， 觀察計算結果之后，還對牛頓迭代法的規(guī)律和用法更加明了。希望以后能多有這樣的實踐作業(yè)。六、附錄function root,t= NewtonRoot2( f,a)%f是非線性函數(shù)%a為初值%eps為根的精度%root為求出的函數(shù)零點%t為迭代次數(shù)eps=5.0e-6;t=0;f1=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);fun=diff(sym(f);fa=subs(

7、sym(f),findsym(sym(f),a);dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),a);root=a-fa/dfa;tol=abs(root-a);while(tol>eps)t=t+1;r1=root;fx=subs(sym(f),findsym(sym(f),r1);dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun),r1);root=r1-fx/dfx;5 / 12wordtol=abs(root-r1);endend題目二：線性方程組求解有一平面機構如下列圖，該機構共有 13條梁圖中標號的線段由8個較接點圖中標號的圈聯(lián)結在一

8、起。上述結構的 1號較接點完全固定，8號較接點豎 立方向固定，并在2號、5號和6號較接點，分別有如下列圖的10噸、15噸和 20噸的負載，在靜平衡的條件下，任何一個較接點上水平和豎立方向受力都是 平衡的，以此計算每個梁的受力情況。6 / 12word101520令1/J2,假設f為各個梁上的受力，例如對2號錢接點有：f2 f6> f3 10對3號錢接點有：f1f5 f4、f1f5 f3 0對4號錢接點有：f4 f8、f7 0對 5 號錢接點有：f9f5 f7 15、f5 f6f9 f10對6號錢接點有：f10 f13、fn 20對 7 號錢接點有：f12f9 f8、f12f9 f11 0

9、對8號錢接點有：f12 f13 0一、摘要對于實際的工程問題，很多問題歸結為線性方程組的求解。本實驗通過實際 題目掌握求解線性方程組的數(shù)值解法， 這里采用雅克比迭代法，如不收斂，再采 用高斯列主元消去法。二、數(shù)學原理1、雅克比迭代法設有一個n元線性方程組a11X1 812X2 anXn 6a21X1822X2 a2nXn b20,i 1,2，,n。由上式an1X1 an2X2 annXn它的矩陣形式為AX B,如果A (aij)nn非奇異，且叫7 / 12可以得到xi 一(baiiwordaijxj) (i 1,2,.,n)11而其相應的迭代公式為x (bia4Xj(k) (i 1,2,.,

10、n)j 1j 1把上式迭代公式稱為Jacobi(雅克比)迭代。由于迭代存在收斂性，所以把分量形式的迭代公式改寫成矩陣形式。記即a2200a12.a1ra210,0.a2.an1.an2.0.0nnann如此A D L U .方程組Ax b改寫成x D 1(LU)xD 1b與其相應的矩陣形式的迭代公式為x(k 1) D 1(L U )xk D 1b也可以簡單地記為(k 1)kxBjX fj式中，Bj D 1(L U) ; fjd 1b，上兩式也稱為Jacobi迭代。同時稱Bj為Jacobi迭代矩陣。2、高斯列主元消去法在消元過程進展到第k步時，寫出其相應的增廣矩陣，可以發(fā)現(xiàn)，此時第k個方程與后面

11、的n k個方程的地位并沒有區(qū)別，因此選擇第k列的元素 ai(kk)(ik,k 1,.,n)中絕對值最大的元素作為主元，即令a：max 鼠"k i n8 / 12word如果這時候a(kk)=0 ,那么矩陣就奇異不可逆，方程的解也不確定，只有停止 計算；否如此，當r k,如此其增廣矩陣換第k行和第r行，即a；k)a：k)(j k,k 1,.,n)使a會成為主元，然后再按高斯消去法進展消元運算。上述這種消去法稱為 高斯列主元消去法。三、程序設計把方程組整理為矩陣形式:000010 000000000001010001000010000000000000010000000000000000

12、0000000010000000 f00000101001010000000100100150 000020 000 1 00 10 000 0 1000 010000000000000000100000000000000000000000000此題我先采用了雅克比迭代法進展計算,所得結果發(fā)散，因此采用高斯列主元消去法計算1、輸入數(shù)據(jù)A和b,置det=1o2、對于k 1,2,., n 1作，按列選主元、交換兩行、消元計算3、置 det ann det。4、輸出線性方程組的解。四、結果分析和討論得到結果，各個梁的受力情況分別為：-28.2843、20.000010.0000、-30.0000、

13、14.1421、20.0000、0、-30.0000、7.0711、-51. 94320.QOOQ10. fflHOi-30-000Q 露 U2I 也 aooo7.07 I2n. MQQ7 口知25.QOOQ9 / 12word25.0000、20.0000、-35.3553、25.0000單位：噸由結果分析，高斯列主消元法能準確的計算出該線性方程組的解。五、完成題目的體會與收獲在解決本道題目的時候，我受到了重重困難。剛開始我并未考慮使用迭代法 的收斂條件，便使用雅克比迭代法進展計算，但在經(jīng)過屢次嘗試后，才發(fā)現(xiàn)該方 法不收斂，改用高斯列主消元法來計算。這讓我吸取了深深的教訓。在今后的學 習中，

14、注意每種方法的使用限制條件，收斂條件等，真正學而會用，才能徹底掌 握知識。六、附錄高斯列主消元法：function x= Gauss(A,b)n,m=size(A);det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1max1=0;for i=k:nif abs(A(i,k)>max1max1=abs(A(i,k);r=i;endendif r>kz=A(k,:);A(k,:)=A(r,:);A(r,:)=z;z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;endfor i=k+1:n10 / 12wordm=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(i,j)= A(i,j)-m* A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n);for k=n:-1:1for j=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/A(k,k);endx(k)=b