四點(diǎn)共圓例題及答案匯編

1、學(xué)習(xí)-好資料例1如圖,E、F、G H分別是菱形ABC*邊的中點(diǎn).求證：E、F、G H 四點(diǎn)共圓.證實(shí) 菱形ABCD勺對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)0,連接OE OF OG OH.AC和BD互相垂直,在 RtAOB RtABOC Rt ACOD RtADO/fr, E、F、G H,分別 是AB BG CD DA的中點(diǎn),= OF = ：BC. OG =(CD, 0H = 1dA 占匚La/AB = BC = CD=DAf /. OE = OF = OG = OH.即E、F、G H四點(diǎn)共圓.(2)假設(shè)四邊形的兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)(或一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角),那么四點(diǎn) 共圓.例 2 如圖,在 ABC 中,AD

2、77; BC DEL AB, DF± AC.求證：B E、F、C四點(diǎn)共圓.證實(shí) VDE!AB, DF±AC, /AE濟(jì) /AFD=180 ,即A、E、D F四點(diǎn)共圓,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/AEF4 ADF又ACL BG /AD斗 /CDF=90 ,/CD斗 / FCD=90 ,/ADF之 FCD ./AEFW FCD/BER / FCB=180 ,即B、E、F、C四點(diǎn)共圓.(3)假設(shè)兩個(gè)三角形有一條公共邊,這條邊所對(duì)的角相等,并且在公共 邊的同側(cè),那么這兩個(gè)三角形有公共的外接圓.例3如圖,在ABC中,BD, CE是AC, AB邊上的高,ZA = 60° ,求匹

3、 ED =7bg-證實(shí)在ABC, BD CE是AC AB邊上的高.二/BECW BDC=90 ,且 E、 D在 BC的同側(cè),E、B、C、D四點(diǎn)共圓./AEDW ACB /A=/ A, .AEM AACB更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料,在RtAAEC 中,/A = 600,ZACE = 30° ；AE _ 1AC = 2EDCE1 /.ED=-BC.2上述三種方法是證“四點(diǎn)共圓的根本方法,至于證第四點(diǎn)在前三點(diǎn) 不在同一直線(xiàn)上所確定的圓上就不表達(dá)了.【例1】 在圓內(nèi)接四邊形 ABCDK /A-/C=12° ,且/A： / B=2 ： 3.求 /A、/ B、/C、/D的度數(shù).解二.四邊

4、形ABCDft接于圓,/A+/ C=18J ./A-/C=12° ,/ A=96 , / C=84° . / A： / B=2： 3,2ZB =96* x - = 144O ./D=180 -1440 =36° .利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可以解決圓中有關(guān)角的計(jì)算問(wèn)題.【例2】：如圖1所示,四邊形ABC吶接于圓,CE/ BD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.求證：AD- BE=BC DC證實(shí)：連結(jié)AC. CE/ BD更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/ 1=/ E./ 1和/ 2都是前所對(duì)的圓周角,/1 = /E.二.四邊形ABCM接于圓, ./ EBCWCDA. .AD8 ACBEAD：

5、 BC=DC BEAD- BE=BC DC.本例利用圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于內(nèi)對(duì)角及平行線(xiàn)的同位角、圓中同弧所對(duì)的圓周角得到兩個(gè)相似三角形的條件,進(jìn)而得到結(jié)論.關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),還有一個(gè)重要定理.現(xiàn)在中學(xué)課本一般都 不列入,現(xiàn)介紹如下：定理：圓內(nèi)接四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和.：如圖2所示,四邊形ABCM接于圓.求證：AC- BD=AB CD + AD- BC.證實(shí)：作/ BAE=/ CAD AE交 BD 于 E ./ABDW ACD、 AB BEAC CD即 AB - CD=AC BE 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/ BAE它 CAEN CAD廿 CAE ./BACW EA

6、D 又Z ACB= ADEac nr1.-.AabcccAaed. =AD DEAD- BC=AC DE 由,得 AC BE+AC DE=AB C曰AD- BCAC BD=AB CA AD- BC這個(gè)定理叫托勒密(ptolemy)定理,是圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)重要性 質(zhì).這個(gè)證實(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造 ABaAACD充分利用相似理論,這在幾何 中是具有代表性的.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)?？吹剿挠白?希望能引起我們注命題菱形都內(nèi)接于圓對(duì)嗎？命題菱形都內(nèi)接于圓是不正確的.所以是假命題.理由是：根據(jù) 圓的內(nèi)接四邊形的判定方法之一,如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么 這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓.這個(gè)判定的前提是一組對(duì)角互補(bǔ),而菱形

7、的性質(zhì)是 一組對(duì)角相等.而一組相等的角,它們的內(nèi)角和不一定是180.如果內(nèi)角和是180° ,而且又相等,那么只可能是每個(gè)內(nèi)角等于90° ,既具有菱 形的性質(zhì),且每個(gè)內(nèi)角等于90° ,那末這個(gè)四邊形一定是正方形.而正 方形顯然是菱形中的特例,不能說(shuō)明一般情形.判定四邊形內(nèi)接于圓的方法之二,是圓心到四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相 等.圓既是中央對(duì)稱(chēng)圖形,又是軸對(duì)稱(chēng)圖形,它的對(duì)稱(chēng)中央是圓心.菱形 同樣既是中央對(duì)稱(chēng)圖形,又是軸對(duì)稱(chēng)圖形,它的對(duì)稱(chēng)中央是兩條對(duì)角線(xiàn)的 交點(diǎn).但菱形的對(duì)稱(chēng)中央到菱形各個(gè)頂點(diǎn)的距離不一定相等.所以,也無(wú)法確定菱形一定內(nèi)接于圓；如果菱形的對(duì)稱(chēng)中央到菱形各邊頂

8、點(diǎn)的距離相 等,再加上菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分這些性質(zhì),那么這個(gè)四邊形又必是正方形.綜上所述,“菱形都內(nèi)接于圓這個(gè)命題是錯(cuò)誤的.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料5圓的內(nèi)接四邊形例1 ：如圖7-90, ABC比對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形,通過(guò)對(duì) 角線(xiàn)的交點(diǎn)E與AB垂直于點(diǎn)H的直線(xiàn)交CD于點(diǎn)M.求證：CM=MD證實(shí)/MECf/HEB互余,/ABE與/ HEB5余,所以/ MEC=ABE 又/ABEWECM 所以/ MEC=ECM 從而 CM=EM同理 MD=EM所以 CM=MDD圖 7-90點(diǎn)評(píng) 本例的逆命題也成立(即圖中假設(shè) M平分CD那么MHLAB).這兩個(gè)命 題在某些問(wèn)題中有時(shí)有用.本例叫做婆羅摩

9、笈多定理.例2 ：如圖7-91, ABCtM.的內(nèi)接四邊形,ACLBD,OEIABTjSE,求證；OE = |cd.3圖7T1分析一 如圖7-91 (a),由于E是AB的中點(diǎn),從A引.的直徑AG, Q是AG的中點(diǎn).由三角形中位線(xiàn)定理可知OE =?GB,因此只2需證實(shí)GB=CD但這在第七章己1.4圓周角中的例3已經(jīng)證實(shí)了.證實(shí)讀者自己完成.*分析二 如圖7-91 (b),設(shè)AC, BD垂直于點(diǎn)F.取CD的更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料中點(diǎn)M,那么MF=；CD,所以應(yīng)該有OE = MR并且由例1的點(diǎn)評(píng)知道還有0日/ MF從而四邊形OEF就該是平行四邊形.證實(shí)了四邊形 OEF平 行四邊形,問(wèn)題也就解決了.

10、而證實(shí)四邊形 OEFM1平行四邊形已經(jīng)沒(méi)有什么困 難了.*分析三 如圖7-91 (b),通過(guò)AC BD的交點(diǎn)F作AB的垂線(xiàn)交CD于點(diǎn)M,連 結(jié)線(xiàn)段EF, M0由于OEL AB, FML AB,所以0日/ FM 又由于EF±CD (見(jiàn)例1 的點(diǎn)評(píng)),MQLCD所以EF/ MO所以四邊形OEF岫平行四邊形.從而OE=MF 而由例1知所以O(shè)E = ：CD.例3 求證：圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線(xiàn)的乘積,即圖中 AB - CD+BC AD=AC BD分析 在ABCD+BC AD=AC BD中,等號(hào)左端是兩個(gè)乘積的和,要證實(shí)這 種等式成立,常需把左端拆成兩個(gè)單項(xiàng)式來(lái)證實(shí),即先考慮AB-

11、CD和BC AD各等于什么,然后再考慮 AB- CD+BCAD是否等于AC- BD而要考慮AB- CD和 BC- AD各等于什么,要用到相似三角形.為此,如圖 7-92,作AE,令/ BAEW CAD并且與對(duì)角線(xiàn)BD相交于點(diǎn)E,這就彳#到 ABAACID由此求得 AB - CD=ACBE.在圓中又出現(xiàn)了 ABSAAEED由此又求得BC AD=AC ED 把 以上兩個(gè)等式左右各相加,問(wèn)題就解決了.證實(shí)讀者自己完成.點(diǎn)評(píng) 本例叫做托勒玫定理.它在計(jì)算與證實(shí)中都很有用.例4.如圖7.93, F為等邊三角用ABC的外接圓的BC上任意一點(diǎn).求證：PA=PB+PC更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料分析一本例是線(xiàn)段和

12、差問(wèn)題,因此可用截取或延長(zhǎng)的方法證實(shí).如圖7-93 (a),在PA上取點(diǎn)M 使PM=PB剩下的問(wèn)題是證實(shí) MA=PC這只要證實(shí) AB陣CBPM以了.證實(shí)讀者自己完成.分析二 如圖7-93 (a),在PA上取點(diǎn)M使MA=PC剩下的問(wèn)題是證實(shí) PM=PB這只要證實(shí) BPM等邊三角形就可以了.證實(shí)讀者自己完成.分析三 如圖7-93 (b),延長(zhǎng)CP到M使PM=PB剩下的問(wèn)題是證實(shí)PA=MC 這只要證實(shí) PAB CMBft可以了.證實(shí)讀者自己完成.讀者可仿以上的方法擬出本例的其他證實(shí).*本例最簡(jiǎn)單的證實(shí)是利用托勒玫定理(例 3).證實(shí) 由托勒玫定理得PABC=PB AC+PC AB,由于BC=AC=A

13、B所以有 PA=PB+PC例2如圖7116,.和.都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)CM. O交于點(diǎn)C,與.交于點(diǎn)D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)EF與.O交于點(diǎn)E,與 交于點(diǎn)F.求證：CE/ DF.分析：要證實(shí)CE/ DF.考慮證實(shí)同位角(或內(nèi)錯(cuò)角)相等或同旁?xún)?nèi)角 互補(bǔ).由于CE DF分別在兩個(gè)圓中,不易找到角的關(guān)系,假設(shè)連結(jié) AB,那么 可構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可溝通兩圓中有關(guān)角 的關(guān)系.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料證實(shí)：連結(jié)AB.ABE久圓內(nèi)接四邊形,丁. / BAD= E.ADFB!圓內(nèi)接四邊形,1 /BA濟(jì) /F=180° ,. /E+ /F=180° .2 .

14、CE/ CF.說(shuō)明：(1)此題也可以利用同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行證 明.如延長(zhǎng)EF至G,由于/ DFGW BAD而/ BAD? E,所以/ DFGW E.(2)應(yīng)強(qiáng)調(diào)此題的輔助線(xiàn)是為了構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形, 以利用它的性質(zhì), 導(dǎo)出角之間的關(guān)系.(3)對(duì)于程度較好的學(xué)生,還可讓他們進(jìn)一步思考,假設(shè)此題不變,但 不給出圖形,是否還有其他情況？問(wèn)題提出后可讓學(xué)生自己畫(huà)圖思考, 通過(guò)討論明確此題還應(yīng)有如圖 7 117的情況并給予證實(shí).例3如圖7118,在 ABC, AB=AC BD平分/ B, ABD勺外接圓和BC交于E.求證 ：AD=EC分析：要證AD=EC不能直接建立它們的聯(lián)系,考慮條件可知

15、/ ABD=/DBE容易看出AD=DE.假設(shè)連結(jié)DE,那么有AD=DE因此只要證DE=EC由于DE和EC為DEC勺兩邊,所以只要證/ EDC4 C.由條 件可知/ C=/ABC因此只要證/ EDC= ABC由于4EDC是圓內(nèi)接四邊形 ABED勺一個(gè)外角,所以可證/ EDC=ABC問(wèn)題可解決.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料圖 T-118證實(shí)：連結(jié)DE =BD平分/ABG.怒=玩,AD=DE .ABE此圓內(nèi)接四邊形, ./ EDC=ABC ,.AB=AC ./ABC= C, . ./EDC= /C.于是有DE=EC因止匕AD=EC四、作業(yè)1 .如圖7120,在圓內(nèi)接四邊形 ABCm,AC平分BD并且AC

16、L BD /BAD=70 18',求四邊形其余各角.氏圖7-1202 .圓內(nèi)接四邊形 ABCLfr, /A、/B、/C的度數(shù)的比為2 ： 3 ： 6, 求四邊形各內(nèi)角的度數(shù).3 .如圖7121, AD是AB的卜角/ EAC的平分線(xiàn),AD與三角形的外 接圓交于點(diǎn)D.求證：DB=DC作業(yè)答案或提示：1. /ABCN ADC=90 , / BCD=109 42'.2. /A=45° , / B=67.5° , / C=135 , /D=112.5° .更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料3.提示：由于/ DBC= DAG / EAD= DCB / EAD= DAG

17、所以/ DBC= / DCB因止匕DB=DC判定四點(diǎn)共圓的方法引導(dǎo)學(xué)生歸納判定四點(diǎn)共圓的方法：(1)如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等,那么這四個(gè)點(diǎn)共圓.(2)如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共 圓.(3)如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的 四個(gè)頂點(diǎn)共圓.(4)如果兩個(gè)直角三角形有公共的斜邊,那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂 點(diǎn)共圓(由于四個(gè)頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)距離相等).3.如圖7124,ABC時(shí)平行四邊形,過(guò)點(diǎn) A和B的圓與AD、BC 分別交于E、F.求證：G D E、F四點(diǎn)共圓.提示連結(jié) EF,由/ B+/AEF=180° , / B + /C=180&#

18、176; ,可得/ AEF= ZC.四點(diǎn)共圓的應(yīng)用山東寧陽(yáng)教委教研室 栗致根四點(diǎn)共圓在平面幾何證實(shí)中應(yīng)用廣泛,熟悉這種應(yīng)用對(duì)于開(kāi)闊證題思 路,提升解題水平都是十分有益的.用于證實(shí)兩角相等更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例1如圖1,P為.外一點(diǎn),PA切.于A, PB切.于B,OP交 AB于 E.求證：/ APG= / BPD證實(shí)連結(jié)OA OG OD由射影定理,得 AE=PE- EO又AE= BE,那么 AE- BE= PE- EO(1);由相交弦定理,得 AE- BE= CE- DE(2); 由(1)、(2)得 CE ED= PE- EQ. P、C Q D四點(diǎn)共圓,那么/ 1 = /2, /3= /4,

19、又/2=/4./1 = /3,易證/ APC= /BPD(/4=/EDO)二用于證實(shí)兩條線(xiàn)段相籌例2如圖2,從.O外一點(diǎn)P引切線(xiàn)PA PB和割線(xiàn)PDC從A點(diǎn)作弦 AE平行于DC連結(jié)BE交DC于F,求證：FO FD.證實(shí)連結(jié) AD AR EG AB.PA 切.于 A,那么/1 = /2. v AE/CD 那么/2=/4././1 = /4, ；P、A、F、B 四點(diǎn)共圓./ 5=/6,而更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料/5= /2=/ 3, . ./3=/6. VAEE/ CD . . EC=AD 且/ ECF之 ADF . EF8 AAFED a FO FD.三 用于證實(shí)兩直線(xiàn)平行例3如圖3,在4ABC

20、中,AB=AC ADLBC, / B的兩條三等分線(xiàn)交 AD于 E、G 交 AC于 F、H.求證：EH/ GC證實(shí) 連結(jié) EC 在4ABE和4ACE中,= AE= AE, AB=AC / BAE= / CAE . .AEBAEC ./5=/1 = /2, . . B、C、H、E 四點(diǎn)共圓,. / 6 =/3.在 AGE的GEg, vGE= GE /BEG / CEG EB= EG .GEB 白GEC-./4=/ 2=/3, . ./4=/6.EH/ GC四 用于證實(shí)兩直線(xiàn)垂直例4如圖4, 口©為等邊三角形,D、E分別為BC AC邊上的點(diǎn),且BD二2BC, CE = 1aC, AD與EE

21、相交于P點(diǎn).求證；CP1AD.證實(shí) 在ABDffi BCE 中,v AB=BC / ABD= /BCE BD= CE,那么4 ABDABCEE./ADBWBEC P、D> G E 四點(diǎn)共圓.設(shè) DC的中點(diǎn)為 O 連結(jié) OE DE 易證/ OE秘 600 , / DEO= 30° . . / DEC= 90° ,于是/ DPC=90 ,CPXAD.五用于判定切線(xiàn)更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例5如圖5, AB為半圓直徑,P為半圓上一點(diǎn),PCIAB于C,以AC為直 徑的圓交PA于D,以BC為直徑白圓交PB于E,求證：DE是這兩圓的公 切線(xiàn).證實(shí)連結(jié) DC CE 易知 / PDC

22、= /PEC= 90° ,P、D、C E 四點(diǎn) 共圓,于是/ 1=/ 3,而/ 3+/ 2=90° , / A+ / 2=90° ,那么/ 1 = / A, DE是圓ACD勺切線(xiàn).同理,DE是圓BCE的切線(xiàn).因而DE為兩圓的公切 線(xiàn)六用于證實(shí)比例式例6 AB CD為.中兩條平行的弦,過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于 G,弓玄PA PB分別交CD于E、F.手如證實(shí) 如圖6.連結(jié)BE PG=BG切.于B,那么/ 1 = /A. = AB/ CD 那么/A= /2.于是/ 1 = /2,. P、G B E四點(diǎn)共圓.由相交弦定理, 得EFFG=PF FB.在.0中,由相交弦定

23、理,得 CF- FD=FP- FB./. EF * ?G=CF * JD,七用于證實(shí)平方式例7 ABC時(shí)圓內(nèi)接四邊形,一組對(duì)邊 AB和DC延長(zhǎng)交于P點(diǎn),另一 組對(duì)邊AD和BC延長(zhǎng)交于Q點(diǎn),從P、Q引這圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別是 E、F,如圖 7求證:PQ= QF+PE.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料證實(shí) 作DCQ勺外接圓,交PQ于M,連結(jié)MG /1=/ 2=/3,那么 P、B、C、M四點(diǎn)共圓.由圓幕定理得 PE2= PC- PD= PM PQ QF2=QC- QB =QMQP 兩式相加得 PE+QF= PM PQ QM QP=PQ(PMQM)=PQ PQ=PQ,.pQ=pe2+qf2.八用于解計(jì)算題例

24、8如圖8, ABC勺高AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交外接圓于H,以AD為直徑作 圓和AB AC分別交于E、F點(diǎn),EF交AD于G,假設(shè)AG=16cm AH=25cm 求AD的長(zhǎng).解連結(jié) DE DR BH =/ 1=/ 2=/C=/ H,R E、G H 四點(diǎn)共圓.由 圓幕定理,得 AE- AB= AG AN 在ABDt, / ADB=90 , DEI AB,由 射影定理,得 AD=AE AB, .AD： AG AH= 16X 25=400, . AD=20cm九用于證實(shí)三點(diǎn)共線(xiàn)圖？圖1.例9如圖9, D為4ABC外接圓上任意一點(diǎn),E、F、G為D點(diǎn)到三邊 垂線(xiàn)的垂足,求證：E、F、G三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.證實(shí)連結(jié) EF

25、、FG BD. CD / BEDW BFD=90 , WJ B、E、F、D 四點(diǎn)共圓,./ 1 = /2,同理/ 3= /4.在DBEffi DCGt, ./ DE氏 / DGC / DBE= / DCG 故 / 1=/4, 易得/2=/3,E、F、G三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.十用于證實(shí)多點(diǎn)共圓更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例10如圖10, H為4ABC的垂心,Hi、或、件為H點(diǎn)關(guān)于各邊的對(duì) 稱(chēng)點(diǎn),求證：A B、C Hi、睡、降六點(diǎn)共圓.證實(shí)連結(jié)AH, 丁 H與H2關(guān)于AF對(duì)稱(chēng),那么/ 1=/ 2. v A F、D C 四點(diǎn)共圓,那么/ 2=/3,于是/ 1 = /3,.A、偉、B、c四點(diǎn)共圓,即 降 在A

26、BC勺外接圓上.同理可證,Hi、H3也在 ABC的外接圓上. A、B、 C、Hi、住、降六點(diǎn)共圓.相關(guān)資源加到收藏夾添加相關(guān)資1托勒密定理的數(shù)形轉(zhuǎn)換功能山東臨沂市四中姜開(kāi)傳臨沂市第一技校劉久松圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于其對(duì)角線(xiàn)的乘積,即在四邊形 ABCDK 有AB - CD" AD- BC=AC BR這就是著名的托勒密定理.本刊 1996年第2期給出了它的幾種證法,作為續(xù)篇,本文就其數(shù)形轉(zhuǎn)換功能 舉例說(shuō)明如下：1 “形轉(zhuǎn)換為“數(shù)對(duì)于某些幾何問(wèn)題,特別是圓內(nèi)接多邊形問(wèn)題,如果能根據(jù)題設(shè)中隱 含的數(shù)量關(guān)系,利用托勒密定理可將“形轉(zhuǎn)換為“數(shù),從而到達(dá)用代 數(shù)運(yùn)算來(lái)代替幾何推理的目的.

27、例1正七邊形A1A2- Az,求證第21屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題對(duì)于這道競(jìng)賽題,原證較繁,但通過(guò)深挖隱含條件,利用托勒密定理 可改變整個(gè)解題局面,使證題步驟簡(jiǎn)縮到最少.如圖 1,連 A1A5、A3A5,那么 A1As=AiA4、AbA=AA3.在四邊形 ZA>ZA 中,由托勒密定理,得 A3A4 , AAs+AAs , AA3= A1A4 , A3A5,即 A1A2 - A1A4 + AA2 A1Ab=AAb AN,兩邊同除以 A1A2 AA3 AA即得結(jié)論式.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料例2如圖2, A、R G D四點(diǎn)在同一圓周上,且 BO C54, AE=6 線(xiàn)段BE和DE的長(zhǎng)都是整數(shù),

28、那么BD的長(zhǎng)等于多少？1988年全國(guó)初中數(shù) 學(xué)聯(lián)賽題此題假設(shè)用其它方法解,往往使人一籌莫展.假設(shè)運(yùn)用托勒密定理,可使 問(wèn)題化難為易.由 4CD團(tuán)BAEffiACBEE DAE 得4BE4DEAB =, AD =CECE由托勒密定理,得BD(A曰 CE)=4(AB+ AD),BP BD(AE + CE)= 16 +亦即CE(AE+ CE)= 16.設(shè)CE=k整理上式,得x2+6x16=0.解得x = 2負(fù)值已舍,故BE- DE= CE- AE= 12. v BD< BG C58,BE =3DE = 4BE= 4DE =3,故 BD = 7.例3 一個(gè)內(nèi)接于圓的六邊形,其五個(gè)邊的邊長(zhǎng)都為 8

29、1, AB是它的第 六邊,其長(zhǎng)為31,求從B出發(fā)的三條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和.第九屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀 請(qǐng)賽試題原解答過(guò)程冗長(zhǎng).假設(shè)通過(guò)托勒密定理的橋梁作用,把“形轉(zhuǎn)換為“數(shù), 可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料E A圖3如圖 3,設(shè) BD=a BE=b, BF= c,連 AG CE AE,貝U CE= AE= BD= a, AC=BF c.在四邊形BCDW,由托勒密定理,得81b+812 = a2同理 81b+ 31 - 81=ac 31a+81a=bc 解、組成的方程組,得a=135, b=144, c=105故 a +b+ c=384.2 “數(shù)轉(zhuǎn)換為“形對(duì)于某些代數(shù)問(wèn)題,假設(shè)結(jié)構(gòu)與托勒密定理相似,

30、通過(guò)構(gòu)造圓內(nèi)接四邊 形,可把“數(shù)轉(zhuǎn)換為“形,然后利用“形的性質(zhì),使問(wèn)題得到解決.這 種解法構(gòu)思巧妙,方法獨(dú)特,富于創(chuàng)新,出奇制勝.例4解方程2面-121 + 1店 7 = 7 島.C副4假設(shè)按常規(guī)方法解這個(gè)無(wú)理方程,過(guò)程繁冗.假設(shè)由方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想 到托勒密定理,那么構(gòu)造直徑 AC=x(x> 11)的圓及圓內(nèi)接四邊形 ABCD使 BC=2 CD=11如圖4 ,于是AB 二4,心二4-12L由托勒密定理,得更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料W -121 -11- 4 = X.將此式與原方程進(jìn)行比擬,得BD=7Vi在BCD,由余弦定理,得cos /BCD -12?,NBCD±12U* .

31、fefcx=AC = =14. sin 120經(jīng)檢驗(yàn)x=14是原方程的根.例5aJj>+bj>/ =一求證：a2+b2=1.這道名題已有多種證法,而且被視為用三角換無(wú)法解代數(shù)問(wèn)題的典 范.下面再給出一各幾何證法.易知0&a、b&1且a、b不全為零.當(dāng)a、b之一為零時(shí),結(jié)論顯然 成立.當(dāng)a、b全不為零時(shí),由等式聯(lián)想到托勒密定理,作直徑 AO 1的圓及圓內(nèi)接四娜恥8,便AB =b, AD = a,文唱5,那么CD =、EC= J13由托勒密定理,WaVl-ba +bVl-a2 =1 *BD,與等式比擬,得BA 1,即BD也為圓的直徑,故a2+b2=1例 6 設(shè) a>

32、;c, b>c, c>0,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料求國(guó)、卜© 瓊4 m© -jab.此題假設(shè)用常規(guī)方法證實(shí)也不輕松.下面利用托勒密定理給出它的一個(gè) 巧證.詬I曲= I右L. Jie2 + ba-c2 =西彳,而丁十加彳二不尸二屈故構(gòu)造直徑AC=每的圓及圓內(nèi)接四邊形ABCD,使AB =A,AD = 后.如 圖6,那么BC =、匹二吁,CD = *碩可.由托勒密定理,得* Jw y) +5c * 0g f) = yjab * BD.因 BD<AC = JS.故 J威?或& - u) + yabca - c)Cabp-c) + J® qSF.更

33、多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料巧用托勒密定理證題河北晉州市數(shù)學(xué)論文研究協(xié)會(huì)張東海王素改在解證某些數(shù)學(xué)題時(shí),如能巧用托勒密定理,可使解證過(guò)程簡(jiǎn)潔清新, 茲舉例說(shuō)明.托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中,兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積等于兩組對(duì)邊乘積 之和.圖1一、構(gòu)造“圓,運(yùn)用定理【例 1】設(shè) a, b, x, y 是實(shí)數(shù),且 a2+b2=1, x2+y2=1.求證：ax+ by< 1.證 作直徑AB=1的圓,在AB的兩側(cè)任作RtAACBF口 RtAADEj® AC=a BC=b BD=x AD=y.圖 1由勾股定理知a, b, x, y滿(mǎn)足條件.根據(jù)托勒密定理,有AC- BN BC- AD=AB CDv CD

34、< 1, ax+by<1.二、利用無(wú)形圓,運(yùn)用定理【例2】等腰梯形一條對(duì)角線(xiàn)的平方,等于一腰的平方加上兩底之 積.：梯形 ABCD中,AD=BC AB/ CD求證：BD=BC + AB- CD證二.等腰梯形內(nèi)接于圓,由托勒密定理,有AC-BD=AD B8 AB CD更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料. AD=BC AC=BD .BD=BC+ AB - CD (圖略)【例3】：邊長(zhǎng)為1的正七邊形ABCDEFG,對(duì)角線(xiàn)AD=a, BG=b(a wb).求證：(a + b) 2(a b) = ab2.證連結(jié) BD GE BE, DG 貝U BD=EG= GB=b DG=BEDA= a, DE=AB

35、=AG=1(如圖 2)E圖£在四邊形ABDM,由托勒密定理,有 AD- BG=AB D(3 BD- AG即 ab=a+ b (1)同理在四邊形BDE助,得BE- DG=DEBG BD- EG即 a2=b+ b2 (2)將(2)變形為 b=a2 - b2 (3)(1) x(3),得 ab2 = (a + b)(a2b2).故 ab2=(a + b) 2(a b).三、構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形,運(yùn)用定理【例4】在4ABC中,/ A的內(nèi)角平分線(xiàn)AD交外接圓于D.連結(jié)BD.A的3求證：AD- BC=BD (AB+AC).更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料證(如圖3)連結(jié)DC由托勒密定理.有 AD- BC=AB

36、 CNAC- BD又. / 1=/2,BD=DC.AD- BC=AB CNAC- BD=BD(ABAC).即 AD- BC=BD (AB+AC).圓內(nèi)接四邊形的面積公式黑龍江綏化五中 任天民在中學(xué)教學(xué)里使用海倫公式5一 b)(p 一 Q (其中p二再三,露壯口為三角形的三邊)計(jì)算三角形的面積是個(gè)重要的方法,三角形一定有外接圓,所 以我們可以聯(lián)想,圓內(nèi)按四邊形回積的計(jì)算公式是否與三角形面積公式有相似之設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCM各邊為a, b, c, d.連結(jié)BD.由/ A+ / C=180 ,可以推出sinA=sinC ,cosA= cosC.并且S 四邊形 ABC=S AB葉 Sa BCD=-bc

37、sinA+ adsmC22=；(尻+ a.d)sinA.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料再由余強(qiáng)定理成溫=bJ +c2 - BD2bc2 + j2 _及c"C=一菊,.兩百肖去BD阿得2gd ;桃)sin A = Jt -cc»J A =a + b + c-d)(b + c + d-a)(a + <i + b -* d+ c-b)2(就 d + tc)所以1J(a + b 亡-d) (b + c 上 -E b + & -、)(自,4' 4 d - 匕)%糜維E =5(尻rd).永不國(guó)=J(曰 + b + . d)(b4c + d- + b + d- c)(a

38、+ c + d - b).今p=M上產(chǎn)上式化為 、地慮崩s=je-3s-bxp-op-d,這樣我們得出了圓內(nèi)接四邊形面積的計(jì)算公式.在上面的公式中,如果設(shè)某一邊為零,不仿設(shè)d=0此時(shí)四邊形變成 三角形,該公式恰是計(jì)算三角形面積的海倫公式.圓內(nèi)接四邊形面積公式的得出是受三角形面積公式的啟發(fā), 通過(guò)聯(lián)想 探索出來(lái)的,而且兩者在形式上又是那么的相近. 這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中不勝 枚舉,如果同學(xué)們都能從特殊規(guī)律去探索一般規(guī)律, 再?gòu)囊话阋?guī)律去熟悉 特殊規(guī)律.那么對(duì)數(shù)學(xué)水平的培養(yǎng)將大有裨益.四條邊定長(zhǎng)四邊形面積的最大值上海市育群中學(xué)李甲鼎更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料四條邊為定長(zhǎng)的四邊形不具穩(wěn)定性, 但在某種特定的位

39、置下,它能內(nèi) 接于圓,成為圓內(nèi)接四邊形.并且此時(shí)到達(dá)變化過(guò)程中面積最大值. 下文 證實(shí)這個(gè)事實(shí).：四邊形 ABCM: AB= a, BC= b, CD=c DA=d求證：四邊形ABCM有唯一四邊形能內(nèi)接于圓,且此時(shí)面積到達(dá)最 大化證實(shí)：(1)先證四邊形四邊定長(zhǎng),有唯一的四邊形內(nèi)接于圓,設(shè)/ABC二 a , / ADC率,AC=x2由余弓淀理得a =(1)令 a + B = c ,即 COS a + COS 0 =0aJ bu - x2C3 + eV - H2=042ab2fcd+) + 肪口 + d一 足.=0, 工 ab(c +& )+cd(k +b )二 K =:.ab + cdX

40、的解唯一確定,代入 (2)后COS a、COS B也隨之唯一確,在a , BC(0,冗)的條件下a、B也同時(shí)唯一確定.一四邊形四邊定長(zhǎng),對(duì)角互補(bǔ),四邊形是唯一的.即所得到的四邊形 為圓內(nèi)接四邊形.(2)當(dāng)四邊定長(zhǎng)的四邊形內(nèi)接于圓時(shí),此四邊形面積最大.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料四邊形ABCD勺面積S= + s皿=5absitl Q +白癡乩B Lia匚由余弦定理得 a2+b22abcosa =x2=c2 + d2 2cdcos B_ ca _ d2) = -(abcosCL cdcos P ) (4)J0)* + (4)1 ： * + ；-c2- d3)3 =-a3ba + c2d2 - 2abc

41、dcos(Cl + E )=>S2+ dd* - 2abcdg£(H 4- P )- -jfa2 4- S2 - c3 - d2)2顯然當(dāng)a + B =冗時(shí)即為圓內(nèi)接四邊形時(shí)S2到達(dá)最大值,即S最大.= 3rhz +/d? + 2abcd- +b2 -c3-d2)24.'.S1Mli = ：/(8i + b + c - d)(貿(mào) + 辦 + d - c)S + c 4 d - b)(b + c + d -渣)一個(gè)幾何定理的應(yīng)用江蘇省徐州礦務(wù)局龐莊職校張懷林定理：如圖1 ,在圓接四邊形ABCD中弦AD平分/ BAC ,那么2ADcos a =AB + AC.證實(shí) 連接BD

42、、DC、BC,設(shè)圓半徑為R,那么由正弦定理有：BD = DC = 2Rsin 民,BC=2Rsin2 a .更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料由托勒密定理有AB - CD+AC - BD=AD - DC.AB+AC - 2Rsin a =AD - 2Rsin2那么 2AD - cos a =AB + AC.卜面舉例說(shuō)明它的應(yīng)用.例1如圖2,銳角 ABC的/A平分線(xiàn)交BC于L,交外接圓于 N,過(guò)L分別作LKAB, LMXAC,垂足分別為K、M.求證：四邊形 AKNM的面積等于 ABC的面積.第 28 屆 IMO證實(shí)由得由定理有 2ANcos a =AB + AC,而姐匚=!AB + AC. AL* sna

43、=AN - AL cos s sin a =AN AK - sin a =AN - AM sin a =2S/n= 2Saamn. SaaB=S 四邊形AKNM例2己知一個(gè)正七邊形A1%A71求證,更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料第21屆全蘇奧數(shù)證實(shí)作正七邊形外接圓,如圖3所示.明3圖4由定理有2c - cos a =b+c ,又在等腰 AiA2A3中有2a - cos民=b .以上兩式相除,可得手=匚 b a例 3 在 ABC 中,/ C=3/A, a = 27, c = 48,那么 b 的值是.第36屆AHSME試題解如圖4.作 ABC的外接圓,在虛取三等分點(diǎn)D、E,連CD、CE.由得：/ ACD

44、= / DCE= / ECB= / A, CD=AB=48 ,由定理有 2CE cosA=CB+CD 2CD cosA = CE+AC 又 2CB - cosA=CE 更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料由、得二 CE = JCB(CB + CD) =45,由、得：b=AC=CE - (CD-CB)/CB=35 .托勒密定理及其應(yīng)用河北省晉州市數(shù)學(xué)論文研究協(xié)會(huì)劉同林托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中,兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積 兩對(duì)角線(xiàn)所包矩 形的面積等于兩組對(duì)邊乘積之和一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì) 邊所包矩形的面積之和.：圓內(nèi)接四邊形ABCD ,求證：AC - BD=AB - CD+AD - BC .證實(shí)：如圖1,過(guò)

45、C作CP交BD于P,使/ 1 = /2,又/ 3=/4, .ACDsBCP .AC ABBC = BF那么 AC, BP = AD * BC,又/ACB=/DCP, /5=/6, . ACBsDCP .ar AC= r/. AC* DP = AB* CD.DP CD十 得 AC(BP + DP)=AB - CD+AD BC .即 AC - BD=AB - CD+AD BC.這就是著名的托勒密定理,在通用教材中習(xí)題的面目出現(xiàn),不被重視.筆者認(rèn)為,既然是定理就可作為推理論證的依據(jù). 有些問(wèn)題假設(shè)根據(jù)它 來(lái)論證,顯然格外簡(jiǎn)潔清新.茲分類(lèi)說(shuō)明如下,以供探究.、直接應(yīng)用托勒密定理更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料

46、A圖 £例1如圖2, P是正4ABC外接圓的劣弧吃上任一點(diǎn)不與B、C 重合,求證：PA=PB+PC.分析：此題證法甚多,一般是截長(zhǎng)、補(bǔ)短,構(gòu)造全等三角形,均為繁 冗.假設(shè)借助托勒密定理論證,M有 PA - BC=PB AC + PC AB,.AB=BC=AC .PA=PB+PC .二、完善圖形借助托勒密定理例2證實(shí)“勾股定理： 在 RtABC 中,/B=90° ,求證：AC2=AB2+BC2證實(shí)：如圖3,作以RtAABC的斜邊AC為一對(duì)角線(xiàn)的矩形 ABCD , 顯然ABCD是圓內(nèi)接四邊形.A國(guó)圖耳由托勒密定理,有AC BD=AB - CD+AD BC . 又; ABCD是矩

47、形,更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料 .AB=CD , AD=BC , AC=BD. 把代人,得ac2=ab2+bc2.例3如圖4,在4ABC中,/ A的平分 線(xiàn)交外接/圓于D,連結(jié) BD,求證：AD - BC=BD(AB +AC).證實(shí)：連結(jié)CD,依托勒密定理,有 AD BC=AB CD + AC BD./ 1 = /2,BD=CD .故 AD BC=AB - BD + AC - BD=BD(AB +AC).三、利用“無(wú)形圓借助托勒密定理例4等腰梯形一條對(duì)角線(xiàn)的平方等于一腰的平方加上兩底之積.如圖 5, ABCD 中,AB / CD, AD=BC ,求證：BD2=BC2 + AB - CD .證實(shí)：二

48、.等腰梯形內(nèi)接于圓,依托密定理,那么有 AC BD=AD BC + AB CD.又= AD=BC , AC=BD ,.BD2=BC2 + AB CD.四、構(gòu)造圖形借助托勒密定理例 5 假設(shè) a、b、x、y 是實(shí)數(shù),且 a2+b2=l, x2 + y2=1 .求證：ax+ by < 1 .證實(shí)：如圖6,作直徑AB=1的圓,在AB兩邊任作RtAACB和Rt ADB,使 AC = a, BC=b , BD=x, AD=y.更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料由勾股定理知a、b、x、y是滿(mǎn)足題設(shè)條件的.據(jù)托勒密定理,有 AC BD + BC AD=AB - CD. CDWAB = 1,ax+by<1

49、.五、巧變?cè)矫顦?gòu)圖形,借助托勒密定理例6a、b、c是4ABC的三邊,且a2=b(b+c),求證：/ A=2 / B .分析：將a2=b(b+c)變形為a - a=b - b + bc,從而聯(lián)想到托勒密定理, 進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)等腰而形,出兩腰為 b,兩對(duì)角線(xiàn)為a, 一底邊為c.證實(shí)：如圖7,作4ABC的外接圓,以A為圓心,BC為半徑作弧 交圓于D,連結(jié)BD、DC、DA. AD=BC ,丁. / ABD= / BAC .又:/ BDA=/ACB(對(duì)同弧),；/1=/2.于是 ED=|C ,那么 BD=AC=b .依托勒密定理,有 BC - AD=AB CD + BD AC. 而 a2=b(b + c

50、),即 a - a=b c+b2. 比擬GX 得 CgMBD , CD=BE , z 3=z l = z 2 . ./ BAC=2/ABC.更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料六、巧變形妙引線(xiàn)借肋托勒密定理例 7 在 ABC 中,/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 4,求證1L += _LI AB AC BC析證：將結(jié)論變形為AC - BC + AB - BC=AB AC,把三角形和圓聯(lián) 系起來(lái),可聯(lián)想到托勒密定理,進(jìn)而構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.如圖8,作4ABC的外接圓,作弦 BD=BC ,邊結(jié)AD、CD.在圓內(nèi)接四邊形ADBC中,由托勒密定理,有 AC BD + BC AD=AB - CD易證 AB

51、=AD , CD=AC ,. AC BC+BC - AB=AB - AC,兩端同除以AB,EC AC,存+ 777 =釬；-H-D Aw -D w關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的假設(shè)干共點(diǎn)性質(zhì)浙江紹興縣魯迅中學(xué)范培養(yǎng)設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,其邊AB與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P, AD 與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于Q,由P作圓的兩切線(xiàn)PM、PN,切點(diǎn)分別為M、N; 由Q作圓的兩切線(xiàn)QE、QF,切點(diǎn)分別為E、F如圖1.那么有以下一些 共點(diǎn)性質(zhì)：性質(zhì)1 AC、BD、EF三直線(xiàn)共點(diǎn).證實(shí)：如圖1 ,設(shè)AC交EF于Ki,那么Ki分EF所成的比為EK1 ,曄 AEsin/EAK = APsinZFAK,CE刈口 JEAKiCF-2R

52、i - 2K.其甲R(shí)為.半徑乳口 N上Abi1CECF ,更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料設(shè)BD交EF于大,同理可得大分EF所成的比為由QEAls£QDE彳導(dǎo)提抵=, LE QD&F GF SAQAQCFW-,由0及QE = QF可得會(huì)器同理可得些二至 I收I忖CE CF由(5)、(6)可得(1)=(2),故Ki、K2分EF所成的比相等.Ki、K2重合,從而 AC、BD、EF三直線(xiàn)共點(diǎn).類(lèi)似地AC、BD、MN三直線(xiàn)共點(diǎn),因此有以下推論AC、BD、EF、MN四直線(xiàn)共點(diǎn).性質(zhì)2 AB、DC、EF三直線(xiàn)共點(diǎn)于P.(此性質(zhì)等同于1997年中國(guó) 數(shù)學(xué)奧林匹克第二試第四題)這里用上述證實(shí)性質(zhì)1的方

53、法證之.證實(shí)：如圖2.設(shè)DC與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于Pi,那么Pi分EF所成的比 為更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料設(shè)AB與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P2,那么P2分EF所成的比為由(5)、(6)可得=(8),故Pi、P2分EF所成的比相等.Pi、P2重合,從而AB、DC、EF三直線(xiàn)共點(diǎn)于P.推論 AD、BC、NM三直線(xiàn)共點(diǎn)于 Q.性質(zhì)3 EM、NF、PQ三直線(xiàn)共點(diǎn).證實(shí)：如圖3,設(shè)EM的延長(zhǎng)線(xiàn)交PQ于Gi,妨上證法,Gi分PQ所 成的比為設(shè)NF的延長(zhǎng)線(xiàn)交PQ于G2,那么G2分PQ所成的比為(10)PG1_ PN . NF5 =函證,(這里E、F、P三點(diǎn)共線(xiàn)及N、M、Q三點(diǎn)共線(xiàn)在性質(zhì)2及推論中已 證).由PMEsPFM 得(11)PE- _ ME 血二而,由qfns/qmf 得.(12)由(11)、(12)及 QE=QF、PN=PM可得(9)=(10),故Gi、G2分PQ所成的比相等.更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料Gi、G2重合,從而EM、NF、PQ三直線(xiàn)共點(diǎn).性質(zhì)4如果直線(xiàn)EN和MF相交,那么交點(diǎn)在直線(xiàn)PQ上,即EN、 MF、PQ三直線(xiàn)共點(diǎn).證實(shí)從略,妨性質(zhì)3的證法可得.性質(zhì)5 EM、NF、AC三直線(xiàn)共點(diǎn).證實(shí)：如圖4,類(lèi)似于性質(zhì)1的證實(shí),設(shè)EM與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于G3,那么G3分AC所