中期報(bào)告姜行洲

1、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中期報(bào)告題 目：一維四階線性微分方程的 對(duì)偶Petrov-Galerkin方法分析專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 生 姜行洲 學(xué) 號(hào) 1101200215 指導(dǎo)教師 趙景軍 日 期 2014年4月15日 哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處制一、論文工作是否按開題報(bào)告的內(nèi)容及進(jìn)度安排進(jìn)行開題報(bào)告中所定論文的題目為一維四階線性微分方程的對(duì)偶Petrov-Galerkin方法分析，主要想做的內(nèi)容是想要利用對(duì)偶Petrov-Galerkin方法建立特定一類一維四階線性方程：的近似求解方程，對(duì)方法得到的結(jié)果進(jìn)行誤差分析，最后給出離散化格式和算例。前期的工作主要是完成了先關(guān)資料的查詢，和基本建立了近似方程的

2、結(jié)果，下一步需要進(jìn)行誤差分析和離散化結(jié)果的建立。在實(shí)際的過程中，我基本按照計(jì)劃進(jìn)行。到現(xiàn)在，通過詳細(xì)閱讀理解A new dual-Petrov-Galerkin method for third and higher odd-order differential equations: application to the KDV equation，基本了解了對(duì)偶Petrov-Galerkin方法討論的整體框架。在對(duì)于四階項(xiàng)的討論上，我已經(jīng)找到了一維四階方程，所需要設(shè)定的允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間，以及對(duì)應(yīng)的建立的基函數(shù)。不過在建立近似方程之后，近似方程解的存在性和唯一性的問題還不是很理解。總體

3、上看查閱理解已有完成結(jié)果資料花費(fèi)的時(shí)間超出預(yù)期，下一步需要加快進(jìn)度嘗試完成誤差分析的結(jié)果和離散化內(nèi)容。二、已完成的研究工作及成果目前完成的工作兩方面，首先是對(duì)于一些可能要用到的多項(xiàng)式性質(zhì)的推導(dǎo)和整理，其次基本建立了對(duì)于討論的一維四階線性方程運(yùn)用對(duì)偶Petrov-Galerkin方法得到的近似方程，建立可能對(duì)應(yīng)的允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間和對(duì)應(yīng)的基函數(shù)，不過需要進(jìn)一步的討論。1.整理的多項(xiàng)式的性質(zhì)Legendre多項(xiàng)式基本形式： （2.1）Legendre多項(xiàng)式遞推形式： （2.2）Legendre多項(xiàng)式的正交性： （2.3）Legendre多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： （2.4a） （2.4b） （2.

4、4c）Legendre多項(xiàng)式的的邊界性質(zhì)： （2.5）定義：引理2.1：在空間中相互正交。證明：空間中的內(nèi)積定義為： （2.6）利用式（2.2）得： （2.7）對(duì)其進(jìn)行求和可以得到： （2.8）這樣考慮 （2.9）代入（2.8）式結(jié)果：（2.10）考慮到（2.3）式正交性結(jié)果則有：(a)k=j時(shí)，則有： （2.11）(b)k<j時(shí)（k>j時(shí)有相似的討論結(jié)果），則有： （2.12）綜上得證引理結(jié)論： （2.13）第一類Chebyshev多項(xiàng)式基本形式： （2.14）第一類Chebyshev多項(xiàng)式遞推形式： （2.15）第一類Chebyshev多項(xiàng)式的正交性： （2.16）第一類Che

5、byshev多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： （2.17a） （2.17b）第一類Chebyshev多項(xiàng)式的的邊界性質(zhì)： （2.18）2.近似方程討論的原始一維四階線性方程為： （2.19）Petrov-Galerkin方法的關(guān)鍵是找到不同的允許函數(shù)空間和測(cè)試函數(shù)空間。而對(duì)偶的性質(zhì)體現(xiàn)在允許函數(shù)空間和測(cè)試函數(shù)空間中的函數(shù)中的運(yùn)算符具有對(duì)偶的性質(zhì)，可以互相之間轉(zhuǎn)化。設(shè)定為次數(shù)小于等于N的多項(xiàng)式，設(shè)定，定義微分算子：，內(nèi)積運(yùn)算規(guī)則：?？紤]原始方程相關(guān)的較為簡(jiǎn)單的駐定的方程： （2.20）駐定方程建立允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間分別為： （2.21）定義分別包含允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間的內(nèi)積空間： （2.22）可

6、以看到一定會(huì)有：并且，而對(duì)于任意的，可以推得的結(jié)果對(duì)駐定方程進(jìn)行對(duì)偶Petrov-Galerkin方法近似，嘗試找到這樣得到（考慮到允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間的邊界條件）： （2.23）考慮到設(shè)定允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間之間的關(guān)系可以得到進(jìn)一步的近似關(guān)系： （2.24）3.允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間的基函數(shù)想法是要通過建立兩組基函數(shù)作為允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間的基，使得空間和中的任意函數(shù)都可表示成基函數(shù)的線性組合。為了保證以后離散化得到的線性方程組中的矩陣的稀疏性質(zhì)，則需要保證兩組基函數(shù)本身的政教性質(zhì)，這樣建立基函數(shù)需要利用正交多項(xiàng)式的組合。暫時(shí)我想到的辦法是利用Legendre多項(xiàng)式進(jìn)行

7、處理?？紤]基函數(shù)就是Legendre多項(xiàng)式的線性組合，建立的形式如下： （2.25）考慮到空間和所要求的邊界條件，并利用式（2.5）中的邊界條件，得到關(guān)于上面系數(shù)的兩個(gè)線性方程組： （2.26） （2.27）求解兩個(gè)線性方程組得到系數(shù)結(jié)果如下： （2.28）這樣利用構(gòu)造好的基函數(shù)可以擴(kuò)充得到需要的允許函數(shù)空間和試探函數(shù)空間的基（對(duì)于）： （2.29）下一步的問題是討論和的特性，和找到對(duì)偶的內(nèi)積運(yùn)算空間。根據(jù)A new dual-Petrov-Galerkin method for third and higher odd-order differential equations: applic

8、ation to the KDV equation的討論模式，我現(xiàn)在猜測(cè)到的內(nèi)積運(yùn)算空間可能是和，可以看到和兩個(gè)內(nèi)積空間實(shí)際是完全平行的，所以實(shí)際上只需要討論空間中的結(jié)果，然后進(jìn)行改變可以對(duì)應(yīng)的得到空間中的結(jié)果。引理2.2：如果滿足式（2.25）和（2.28）設(shè)定的條件，則可以得到： （2.30）更深入的結(jié)果是可以得到下面的Sturm-Liouville等式： （2.31）證明：首先構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，考慮到利用的定義和設(shè)定的空間中的邊界性質(zhì)：，可以明顯看到是一個(gè)次數(shù)小于k的多項(xiàng)式。利用Legendre多項(xiàng)式所具有的正交性性質(zhì)，則可以得到： （2.32）因此得到了是在內(nèi)積空間中相互正交的。應(yīng)該可

9、以證明是與Jacobi多項(xiàng)式相關(guān)多項(xiàng)式，因此得到構(gòu)成中的正交基?？梢悦黠@地看到是一個(gè)次數(shù)小于等于k+4的多項(xiàng)式，而是一個(gè)次數(shù)小于等于k的多項(xiàng)式。這樣可以進(jìn)一步得到： （2.33）連續(xù)進(jìn)行兩次分部積分，考慮到其次的邊界條件；從而得到： （2.34）這樣得到了是一定會(huì)與成比例的，即。這樣通過比較一下兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)就可以得到。從而最終得到了引理中的所需要的結(jié)果。三、后期完成的研究工作及進(jìn)度安排后期需要完成的工作主要需要完成兩部分：首先是需要進(jìn)一步完成近似方程的誤差分析方面的內(nèi)容，其次是完成離散化后數(shù)值方面的算例。完成這些內(nèi)容就需要進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)于多項(xiàng)式理論的學(xué)習(xí)和理解，并進(jìn)一步查閱文獻(xiàn)詳細(xì)的了解對(duì)偶Petrov-Galerkin方法所得到結(jié)果的性質(zhì)。后期進(jìn)度安排：四月份后半段完成誤差分析方面的討論工作。五月份進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，完成最終的離散化數(shù)值算例。六月份整理改進(jìn)，完成最終的論文。四、存在的問題與困難主要是對(duì)于正交多項(xiàng)式性質(zhì)的運(yùn)用還不是很熟練，需要繼續(xù)細(xì)致的查閱相關(guān)多項(xiàng)式的性質(zhì)。而對(duì)偶Petrov-Galerkin方法的一些整理性的內(nèi)容還需要進(jìn)行豐富。另外建立誤差分析在目前看來需要很多構(gòu)造性的處理，感覺并不是一件很輕松的事情。五、論文按時(shí)完成的可能性在