信號與系統(tǒng)答案西北工業(yè)大學(xué)段哲民信號與系統(tǒng)1_3章答案

1、第一章 習(xí) 題1-1 畫出下列各信號的波形： (1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10 t × U(t -1)-U(t-2) 。答案1) f1(t) 的波形如圖1.1 (a)所示 .(2) 因cos10 t 的周期 T2 0.2s100.2s, 故 f 2 (t )的波形如圖題 1.1(b) 所示.1-2 已知各信號的波形如圖題 1-2 所示，試寫出它們各自的函數(shù)式。答案f1(t) tu(t) u(t 1) u(t 1)f 2(t)(t 1)u(t) u(t 1)f 3(t) (t 2)u(t 2) u(t 3)1-3 寫出圖題

2、1-3 所示各信號的函數(shù)表達式答案f1(t)112(t12(t2)2)1t21t21210f2 (t) u(t) u(t1)u(t2)f3(t)sin tu(t 2)u(t2)f4 (t) u(t 2) 2u(t1)3u(t1)4u(t 2) 2u(t 3)1-4 畫出下列各信號的波形： (1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1); (3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sin t) 。答案(1) f1(t) u(t 是, T23 sf (t) 3 11 cos(2t ) T 2 s u( t 1), 其波形如圖

3、題 1.4(a) 所示.(2) f2(t) (t 1)u(t 1) u( t 1) (t 1)u(t 1) (t 1)u( t 1) 其波形如圖 題 1.4(b) 所示 .(3)(4)f3(t) u( t 1 2 3 ,故為周期信號 ,周期 2 u(t 3), 其波形如圖 1.4(c) 所示.f4(t) u(sin t) 的波形如圖題 1.4(d) 所示.1-5 判斷下列各信號是否為周期信號，若是周期信號，求其周期T。2(1) f1(t) 2cos(2t ) (1) f2(t) sin( t )24 ; 6 ; (3)f3(t) 3cos2 tU (t) 。答案周期信號必須滿足兩個條件 :定義

4、域 t R,有周期性,兩個條件缺少任何一 個, 則就不是周期信號了 .(3)因t 0時有 f (t) 0,故為非周期信號1-6 化簡下列各式：t(21)dd1 dtcos(t )(t)d cost (t) sin tdt(1)1; (2)dt4; (3)dt答案tt11112(12)d()du(t)(1)原式2222dcos? (t)22 (t)(2) 原式 = dt42(3)原式=(t ) sin tdt sin (t) t0cos t 011-7 求下列積分：( 1) 0 cos (t 3) (t 2)dt ; (2) 0 ejwt (t 3)dt ; (3) 0 e 2t (t0 t)d

5、t。答案(1) 原式= cos (2 3)cos( ) cos(2) 原式 =e j 3 0 (t03)dte j3 0 0(3) 原式2t e= 0(t0t)dt e 2t0 1 e 2t01-8 試求圖題 1-8 中各信號一階導(dǎo)數(shù)的波形，并寫出其函數(shù)表達式，其中 f3(t) cos 2tU(t) U(t 5)所示。題 1。 8a)f1(t)2u(t 1) 3u(t) u(t2)，f (t) 的波形如圖題 1。8(d)(b) e)所示。f2(t)u(t 1) 2u(t 1) 3u(t 2) u(t 3)， f2(t) 的波形如圖(c) f3(t)sin 2tu(t) u(t 5)所示.11-

6、9 已知信號 f (2)的波形如圖題 1-9 所示，試畫出 y(t)=f(t+1)U(-t) 的波答案y(t)f (t 1)u( t) 的波形如圖題 1.9(b) 所示。1-10 已知信號d f (6 2t)號 dt 的波形。f(t) 的波形如圖題 1-10 所示，試畫出信號tf(2 )d 與信t(1) f (2 t) 的波形與 f(2 )d 的波形分別如圖題 1.10(b),(c) 所示。所示。且dt1.10(d),(e) f (6 2t)(2) f (6 2t) 的波形與 dt 的波形分別如圖題 d f (6 2t) (t 2) (t 2.5) 2 (t 3)1-11 已知 f(t) 是已

7、錄制的聲音磁帶，則下列敘述中錯誤的是 (_)A. f(-t) 是表示將磁帶倒轉(zhuǎn)播放產(chǎn)生的信號B. f(2t) 表示磁帶以二倍的速度加快播放C. f(2t) 表示磁帶放音速度降低一半播放D. 2f(t) 表示將磁帶音量放大一倍播放答案1-12 求解并畫出圖題 1-12 所示信號 f 1(t), f 2(t) 的偶分量 f e(t) 與奇分量答案11因 f(t) fe(t) f0(t) f(t) f( t) f(t) f( t)式中22 11fe(t)f(t) f( t), f0(t)f(t) f( t) 。故可畫出各待求偶分量22與奇分量的波形，相應(yīng)如圖題 1.12 中所示。1-13 已知信號

8、f(t) 的偶分量 f e(t) 的波形如圖題 1-13(a) 所示，信號 f(t+1) ×U(-t-1) 的波形如圖題 1-13(b) 所示。求 f(t) 的奇分量 f o(t) ，并畫出 f o(t) 的波形。答案因 f (t) fe (t) f0(t)故有 f (t)u( t) f e(t)u( t) f0(t)u( t)將信號 f (t 1)u( t 1) 右移1 f (t 1 1)u( t 1 1) f (t)u( t), f (t)u( t) 的 波形如圖題 1。13(c) 所示。又有f0(t)u( t) f(t)u( t) fe(t)u( t)f 0(t)u( t )的

9、波形如圖題 1.13(d) 所示。因為 f0 (t )是奇函數(shù)，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故 f0(t)u(t)的波形如圖題 1.13(e) 所示。最后得f0(t) f0(t)u( t) f0 (t)u(t) u( t 1) u(t 1)1-14 設(shè)連續(xù)信號 f(t) f (t) 為奇函數(shù)；若 f(t)無間斷點。試證明：若 f(t) 為偶函數(shù)，則其一階導(dǎo)數(shù) 為奇函數(shù)，則其一階導(dǎo)數(shù)f (t) 為偶函數(shù) 答案(1)若 f (t) 為偶函數(shù)，則有 f( t) f (t). 故 f ( t) f (t) . 故 f (t) 為 奇函數(shù)。(2)若 f (t) 為奇函數(shù)，則有 f ( t) f (t) . 故 f

10、 ( t) f (t) ，即 f (t) f ( t) f (t) f (t) . 故 f (t) 為偶函數(shù)。1-15 試判斷下列各方程所描述的系統(tǒng)是否為線性的、時不變的、因果的系 統(tǒng)。式中 f(t) 為激勵， y(t) 為響應(yīng)。(1)y(t)dddt f(t)(2) y(t)=f(t)U(t)(3) y(t)=sinf(t)U(t)(4) y(t)=f(1-t)(5) y(t)=f(2t)t(7) y(t) f( )d 答案(8)(6) y(t)=f(t) 5t y(t) f ( )d(1) 線性，時不變，因果系統(tǒng)(2) 線性，時變，因果系統(tǒng)。因為當(dāng)激勵為 f (t )時，其響應(yīng) y(t)

11、；當(dāng)激勵為 f(t t0 )時，其響應(yīng)為 y1(t) f (t t0)u(t)，但是y(t t0 ) y1 (t ) ，所以系統(tǒng)為時變系統(tǒng)(3) 非線性，時變，因果系統(tǒng)(4) 線性，時變，非因果系統(tǒng)。因為當(dāng) t 0時有 y(0) f (1) ，即系統(tǒng)當(dāng)前時 刻的響應(yīng)決定于未來時刻的激勵，故為非因果系統(tǒng)。(5) 線性 ，時變，非因果系統(tǒng)。(6) 非線性，時不變，因果系統(tǒng)。因為當(dāng)激勵為 2 勵為 kf (t) 時，響應(yīng)為 y1(t) kf (t) 2 ， 但f (t )時，響應(yīng)為 y(t) ；當(dāng)激y1(t) ky(t) ，故該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。(7 )線性，時不變，因果系統(tǒng)。(8) 線性，時變，非

12、因果系統(tǒng)1-16 已知系統(tǒng)的激勵 f(t)tt與響應(yīng) y(t) 的關(guān)系為 y(t) e f( )e d ，則該系統(tǒng)為( _) 。A 線性時不變系統(tǒng)B線性時變系統(tǒng)C 非線性時不變系統(tǒng)D 非線性時變系統(tǒng)A1-17 圖題 1-17(a) 所示系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)，已知當(dāng)激勵 f 1(t)=U(t) 時， 其響應(yīng)為 y1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。若激勵為 f2(t)=U(t)-U(t-2) ，求圖題 117(b) 所示系統(tǒng)的響應(yīng) y2(t) 。答案y2 (t) u(t) 2u(t 1) u(t 2) 2u(t 1) 2u(t 2) u(t 3)2u(t 3) 2u(t 4) u(

13、t 5) u(t 4) 2u(t 5) u(t 6)u(t) 4u(t 1) 5u(t 2) 5u(t 4) 4u(t 5) u(t 6)y2 (t)的波形如圖題 1.17(c) 所示.1-18 圖題 1-18(a) 所示為線性時不變系統(tǒng)，已知 h1(t)= (t) - (t -1), h2(t)= (t -2)- (t -3) 。( 1)求響應(yīng) h(t) ；(2) 求當(dāng) f(t)=U(t) 時的響應(yīng) y(t) (見圖題 1-18(b) 。答案1) h(t)h1(t)h2 (t) (t)(t 1) (t 2) (t 3)(2)因 f (t)u(t)t( )d ，故根據(jù)現(xiàn)行系統(tǒng)的積分性有y(t)

14、th( (dt() ( 1)( 2) ( 3)d u(t) u(t 1)u(t 2) u(t 3)1-19 已知系統(tǒng)激勵 f(t) 的波形如圖題 1-19(a) 所示，所產(chǎn)生的響應(yīng) y(t) 的 波形如圖題 1-19(b) 所示。試求激勵 f 1(t)波形如圖題 1-19(c) 所示)所產(chǎn)生的響應(yīng) y1(t) 的波形。用 f (t) 表示 f1(t) 即f1(t) f(t 1) f(t 1)故 f1(t) 在同一系統(tǒng)中所產(chǎn)生的響應(yīng)為y1(t) y(t 1) y(t 1)故 y(t 1),y(t 1),y(t) 的波形分別如圖題 1.19(d),(e),(f) 所示1-20 已知線性時不變系統(tǒng)在

15、信號 (t) 激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)為 h(t)=U(t)-U(t-2) 。試求在信號 U(t-1) 激勵下的零狀態(tài)響應(yīng) y(t) ，并畫出 y(t) 的波形。 答案t因有 u(t) ( )d ，故激勵 u(t) 產(chǎn)生的響應(yīng)為tty1 (t)h( )d u( ) u( 1)dttu( )d u( 1)d0tu(t) (t 1)u(t 1) t 12t11 t 3t3故激勵 u(t 1) 產(chǎn)生的響應(yīng)為y(t) y1(t 1) (t1)u(t 1) (t2)u(t 2)y(t) 的波形如圖題 1。20 所示1-21 線性非時變系統(tǒng)具有非零的初始狀態(tài)，已知激勵為 f(t) 時的全響應(yīng)為 y1(t)=2e

16、 -t U(t) ；在相同的初始狀態(tài)下，當(dāng)激勵為2f(t) 時的全響應(yīng)為 y2(t)=(e -t +cost)U(t) 。求在相同的初始狀態(tài)下，當(dāng)激 勵為 4f(t) 時的全響應(yīng) y3(t) 。答案 設(shè)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 yx (t) ，激勵為 f (t )時的零狀態(tài)響應(yīng)為 yf (t)，故有y1(t)yx (t) y f (t) 2e tu(t)y2 (t) y x (t) 2 y f (t) (e t cos t)u (t) 故聯(lián)解得y x (t) (3e t cos t)u(t)yf (t) ( e t cos t)u(T)故得第二章 習(xí)題2-1. 圖題 2-1 所示電路，求響應(yīng) u2(

17、t) 對激勵 f(t) 的轉(zhuǎn)移算子 H(p) 及微分方程。3解 其對應(yīng)的算子電路模型如圖題 2.1 (b)所示，故對節(jié)點，可列出算子 形式的 KCL方程為1 1 131 1p u1(t) 1pu2(t) f(t) 1 1 11pu1(t) 1p 11 p u2(t) 0即13 p 1 u1(t)u2(t) pf (t)u1(t) p2p 1u2(t) 0聯(lián)解得u2(t)4p 4 f (t)H (p) f (t)故得轉(zhuǎn)移算子為H(p)u2(t)f (t)3p2 4 p 4u2(t)對 f(t) 的微分方程為p2 4p 4 u(2 t) 3 f(t)即d 2 u (t)2 u2 (t) dt4 d

18、 u2(t) 4u2(t) 3 f(t) dt的轉(zhuǎn)移算子 H(p) 及微分方程。2-2 圖題 2-2 所示電路，求響應(yīng) i(t) 對激勵 f(t)答案解 其對應(yīng)的算子電路模型如圖 2.2 ( b)所示。故得i(t)2p2221 0.1 ppp2101p1p1030f(t)故得轉(zhuǎn)移算子為H(p)i(t) f(t)d2dt2i(t)11ddti(t)30i(t)10ddt f(t) 10 f(t)10p 102p2 11p 30i(t) 對 f(t) 的微分方程為2(p2 11p 30)i(t) (10p 10)f (t)2-3 圖題 2-3 所示電路，已知 uC(0 -)=1 V, i(0 -)

19、=2 A。求 t>0 時的零輸入響應(yīng) i(t) 和 uC(t) 。解 其對應(yīng)的算子電路模型如圖題 式的 KCL方程為2.3 (b)所示。故對節(jié)點 N 可列寫出算子形uC (t) 0又有 uc(t)=pi(t) ，代入上式化簡，即得電路的微分方程為即L( A1 2A2 ) 1電路的特征方程為(p2 3p 2)i(t) 0i(0 ) i(0 ) 2 uc (0 ) uc(0 ) 1p2 3p 2 0故得特征根（即電路的自然頻率）為p1=-1 ， p2=-2 。故得零輸入響應(yīng)的通解式為i(t) A1ep1tA2ep2tA1eA2e2ti (t)A1e2A2e2ti(0 ) A1 A2 2(1)

20、i (0 )A1 2A2又因有uc(t) Li (t)即A1 2A2 1(2)式( 1)與式( 2)聯(lián)解得 A1=5,A 2=-3 。故得零輸入響應(yīng)為i(t) 5e t 3e 2t A t 0又得di(t) d t 2t t 2t2.3 (b)所示。故對節(jié)點 N 可列寫出算子形uc(t) L did(tt) 1ddt 5et 3e2t 5et 6e2tV t 0解 其對應(yīng)的算子電路模型如圖題 式的 KCL方程為uC(t)又有 uc(t)=pi(t) ，代入上式化簡，即得電路的微分方程為(p2 3p 2)i(t) 0i(0 ) i(0 ) 2 uc (0 ) uc(0 ) 1 電路的特征方程為p

21、2 3p 2 0故得特征根(即電路的自然頻率)為p1=-1 ， p2=-2 。故得零輸入響應(yīng)的通解式為i(t)A1ep1tA2ep2tA1eA2e2ti (t)A1e2A2e2t有i(0 ) A1 A2 2(1)i (0 )A1 2A22-4 圖題 2-4所示電路， t<0時S打開，已知uC(0-)=6 V, i(0 -)=0。(1) 今于 t=0 時刻閉合 S，求 t>0 時的零輸入響應(yīng) uC(t) 和 i(t) ；( 2) 為使電路在臨界阻尼 狀態(tài)下放電，并保持 L 和 C 的值不變，求 R的值。04解 (1)t>0 時 S 閉合，故有uc(0 ) Li (0 ) 6Vi

22、(0 ) i(0 ) 0t>0 時的算子電路模型如圖題 2.4(b) 所示。故得 t>0 電路的微分方程為11(2.5 uc(t) (2.5 14 p)i(t)4p)( 41 puc)24.5 puc (t)41 p2uc(t)16 c1216 p22.5 p 1 uc(t)2(p2 10p 16)uc (t) 0uc (0 ) uc(0 ) 6i(0 ) i(0 ) 0其特征方程為 p2+10p+16=0，故得特征根(即電路的自然頻率)為 p1=-2,p 2=-8 故得零輸入響應(yīng) uc(t) 的通解形式為uc (t) A1e 2t A2e 8t又有uc(t)2A1e 2t8A2e

23、8tCu (t) C( 2A1e 2t 8A2e 8t )1 2t 8ti(t) ( 2A1e 2t 8A2e 8t )4V故有1 A1e 2t22A2e8ti(t) 21 A1e 2t2A2e8tuc (0 ) A1 A2 6i(0 ) 1 A1 2A2 0聯(lián)解得 A1-=8,A 2=-2 。故得2t 8tuc(t) 8e 2t 2e 8tV t 0又得i(t) C ddutc 4e2t 4e8t A t 02-5 圖題 2-5 所示電路，( 1)求激勵 f(t)= (t) A 時的單位沖激響應(yīng) uC(t) 和i(t) ；( 2)求激勵 f(t)=U(t) A 時對應(yīng)于 i(t) 的單位階躍

24、響應(yīng) g(t)V3答案解 ( 1)該電路的微分方程為d2LCddt2i(t)LdLR ddt i(t) i(t)f (t )代入數(shù)據(jù)并寫成算子形式為故得i(t)(p25p 4)i(t) 4f (t) 4 (t)2p245p(t)43p143p4(t)(t)p1 4 (t)i(t)4t U (t)uc (t)L di(t) 0.25 dt4 t 16 4tee332)因有U(t)( )d ，故根據(jù)線性電路的積分性有tg(t )i ( )d4e4e 4 U ( )d334te313e 4t U(t)2-6 圖題 2-6 所示電路，以 uC(t) 為響應(yīng)，求電路的單位沖激響應(yīng) h(t) 和單位階 躍

25、響應(yīng) g(t) 。h(t)p 2 3p 2(t)(t)答案解 電路的微分方程為d 2d2 uc 3 uc 2uc 2 f ( t ) dt 2dtc寫成算子形式為(p2 3p 2)uc(t) 2f (t)當(dāng) f(t) (t) V時，有 uc(t) h(t) 。故得單位沖擊響應(yīng)為2(t)22 (t)p1p22e t2e 2t2(e te 2t )U (t) V當(dāng) f(t)=U(t) V 時，有 uc(t)=g(t)。故得tg(t)h( )dt2(ee2 )U( )d2 t(e e 2 )d ( 2e e 2 1) U(t) V 2-7 求下列卷積積分(1) tU(t)-U(t- 2)* (1 -

26、t); (2) (1-3t) '(t)*e -3t U(t)答案解 原式=t U(t) U(t 2) (t 1)(t 1)U(t 1) U(t 3)原式= (t) e 3tU(t) 3t (t) e3tU(t)e 3tU(t) 3 t (t) (t) e 3tU(t)3t 3t3e3tU(t) (t) 3e 3tU(t) (t)2-8 已知信號 f 1(t) 和f 2(t) 的波形如圖題 2-8(a), (b) 所示。求y(t)=f 1(t)*f 2(t) ， 并畫出 y(t) 的波形。解(a) f1(t)1 U (t 1)f2(t)e (t 1)U(t 1)故y1(t) f1(t)f

27、2(t)1 u(t 1) e (t 1)U(t 1)e ( 1)U( 1)d U(t 1)e ( 1)U( 1)dt11e( 1)d1 e( 1)d11t 1, t 0,1 (1 e t )U(t) t2 e t, t 0y1(t) 的波形如圖 .2.8(c) 所示(b)f1(t) sintU(t), f2(t) U(t 1), 故y2(t) f1(t) f2(t) sintU(t) U(t 1)sin U( )U(t 1)d y2(t) 的波形如圖 .2.8(d) 所示t1sin d0U(t 1)1 cos(t 1)U(t 1)2-9 圖題 2-9(a), (b) 所示信號，求 y(t)=f

28、 1(t)*f 2(t) ，并畫出 y(t) 的波形。f1(t)和 f2( )d 的波形分f2( )d解 利用卷積積分的微分積分性質(zhì)求解最為簡便。 別如圖 2.9 (c),(d) 所示。故ty(t) f1(t) f2(t) f (t)y(t) 的波形如圖題 2.9(e) 所示 .2-10. 已知信號 f 1(t)與 f2(t)的波形如圖題 2-10(a), (b)所示，試求 y(t)=f 1(t)*f 2(t)， 并畫出 y(t)的波形。答案 解(a).y1(t) f1(t) f 2(t) f1(t)(t 1) (t 1)f1(t 1) f1(t 1)y 1(t) 的波形如圖題 2.10(c)

29、 所示(b).y2 (t) f1(t) f 2(t)f1(t)(t 1) (t 2) (t 3)f1(t 1) f1(t 2)f1(t 3)y 2(t) 的波形如圖題 2.10(d) 所示2-11 試證明線性時不變系統(tǒng)的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)，即若激勵 f(t) 產(chǎn)生的響應(yīng)為 y(t)，則激勵 dt f (t)產(chǎn)生的響應(yīng)為 dtd y(t)微分性質(zhì))，激勵tf ( )dt生的響應(yīng)為 y( )d (積分性質(zhì))答案解 ( 1)設(shè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 h(t) ，則有y(t) f (t) h(t)對上式等號兩端求一階導(dǎo)數(shù)，并應(yīng)用卷積積分的微分性質(zhì)，故有ddt y(t)h(t) ddt f (t)證畢(2

30、) y(t) f(t) h(t) 對上式等號兩端求一次積分，并應(yīng)用卷積積分的積分性質(zhì)，故有tty( )d h(t) f( )d(證畢)2-12. 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t)=e -t U(t) ，激勵 f(t)=U(t)(1) . 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t) 。(2) . 如圖題 2-12(a), (b) 所示系統(tǒng)，11 h1(t)h(t) h( t) ,h2(t)h(t) h( t)2 2求響應(yīng) y1(t) 和 y2(t)(3). 說明圖題 2-12(a), (b) 哪個是因果系統(tǒng)，哪個是非因果系統(tǒng)。 解 (1)y(t) h(t) f(t) e tU(t) U(t)答案y(t) (1

31、 e t)U (t)(2) y1(t) f (t) h1(t) h2(t)11U(t) 2h(t) h( t) 2 h(t) h( t)tet , t 0U(t) h( t) U (t) etU( t)1, t 0y2(t) f (t) h1(t) h2(t)11U(t) 2 h(t) h( t) 2 h(t) h( t)U(t) h(t) (1 e t)U(t)( 3)因 f(t)=U(t) 為因果激勵，但 y 1(t) 為非因果信號， y2(t) 為因果信號，故 圖題 2.12(a) 為非因果系統(tǒng)，圖題 2.12(b) 為因果系統(tǒng)。5t2-13. 已知激勵 f (t) e U (t )產(chǎn)生

32、的響應(yīng)為 y(t) sin tU (t ) ，試求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t) 。答案解 因有 y(t)=f(t)*h(t) ，即5tsin tU(t) e 5tU(t)*h(t)對上式等號兩端同時求一階導(dǎo)數(shù)，并應(yīng)用卷積積分的微分性質(zhì)有cos tU(t) 5e 5tU(t) (t) * h(t)5t5e 5tU (t)* h(t) h(t)5sin tU(t) h(t)故得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t) (5sin t cos t)U(t)2-14. 已知系統(tǒng)的微分方程為 y (t) 3(t) 2y(t) f (t) 。(1) . 求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t) ；(2) . 若激勵 f(t)

33、 e tU(t) ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t) 。 答案故得y(t)13p 2f(t)解 ( 1)其算子形式的微分方程為當(dāng) f (t) (t) 時，則有 y(t) h(t) 。故上式變?yōu)?11h(t)(t) () (t)(p1)(p 2) p 1p211t 2t(t)(t)(e t e 2t)U (t)p1p2(2)零狀態(tài)響應(yīng)為y(t) h(t)f (t)(e t e2t)U (t) e tU(t)1t 2t t( e 1t e 2t te t )U(t)2-15. 圖題 2-15 所示系統(tǒng)，其中 h1(t)=U(t)( 積分器) ，h2(t)= (t -1) (單位延 時器)， h3(t)

34、=- (t) (倒相器)，激勵 f(t)=e -t U(t) 。(1). 求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t) ；(2). 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t) 。答案解(1)當(dāng) f(t)(t) 時，y(t)h(t) ， 故h(t)h1(t)h2(t)h3(t)U(t)(t1)(t) U(t) (t 1)2)y(t) f(t) h(t) e tU(t) U(t) (t 1)e tU(t) U(t) e tU(t) (t 1)(1 e t)U(t) e (t1)U(t 1)2-16. 已知系統(tǒng)的微分方程為ddt y(t) 2y(t)ddt2 f(t)3ddt f(t) 3f(t)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t)

35、 和單位階躍響應(yīng) g(t) 答案解 ( 1)系統(tǒng)算子形式的微分方程為(p 2)y(t) (p2 3p 3) f (t)y(t)2p 3p 3p2f (t)當(dāng) f(t) (t)時， y(t) h(t )故得單位沖激響應(yīng)為2p2 3p 3h(t) p 3p 3 (t) (p 1p2) (t)2t(t) (t) e 2tU(t)2)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為t 1 2tg(t) h( )d (1 21e 2t)U(t) (t)2-17. 圖題 2-17 所示系統(tǒng)， h1(t)=h 2(t)=U(t) ，激勵 f(t)=U(t)-U(t- 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t) 和零狀態(tài)響應(yīng) y(t) ，并畫6) 。求出

36、它們的波形答案解 ( 1) . 求單位沖激響應(yīng) h(t) 。由圖題 2.17(a) 得f (t) y(t) h2 (t) h1(t) y(t)即 f (t) y(t) U(t) U(t) y(t)即 f (t) U (t) y(t) U (t) U(t) y(t)對上式等號兩端求一階導(dǎo)數(shù)有f(t) (t) y(t) (t) U(t) y (t)即 f(t) y(t) U(t) y (t) 再求一階導(dǎo)數(shù)有 f (t) y(t) (t) y (t) 故得系統(tǒng)的微分方程 y (t) y(t) f (t)2寫成算子形式為(p2 1)y(t) pf (t)y(t)2p f(t)故得 p2 1當(dāng) f (t

37、) (t) 時，有 y(t)=h(t) 。故得單位沖激響應(yīng)為h(t) costU (t)h(t) 的波形如圖題 2.17(b) 所示(2). 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t) f (t) h(t)U(t) U (t6)costU (t )U(t)costU (t)U(t6 ) costU (t)U(t)costU (t)U(t6 ) costU (t)t t 6cos d cos d00sint U(t) U(t 6 )y(t) 的波形如圖題 2.17 (c)所示。hA(t) 求整個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) g(t) ；e 4tU(t)2-18. 圖題 2-18(a) 所示系統(tǒng)，已知2，子系統(tǒng) B和 C的

38、單位t3t階躍響應(yīng)分別為 gB(t) (1 e t)U(t),gc(t) 2e 3tU(t)。2) 激勵 f(t) 的波形如圖題 2-18(b) 所示，求大系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t)解 (1)系統(tǒng) B 的單位沖激響應(yīng)為e tU (t)hB(t) ddtgB(t) ddt (1 et)U(t)設(shè)系統(tǒng) C 的單位沖激響應(yīng)為 hC(t) 。故大系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t) hc(t) hA(t) hB (t)故大系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為tg(t) h( )d gc(t) hA(t) hB (t)12e 3tU(t)e 4tU(t) e tU(t)2e 3tU(t) e 4tU(t) 2e 3tU(t)

39、e t(t)查卷積積分表)(e t e 4t)U (t)2) 激勵 f(t) 的函數(shù)表達式為f(t) U(t) 2U (t 2) U (t 4) 2 (t 4)大系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t) ddtg(t) ddt(et e 4t)U(t) ddt e tU(t) e 4tU(t)(t) e tU(t) (t) 4e 4tU(t) (4e 4t e t)U(t)故零狀態(tài)響應(yīng)為ty(t) h(t) f(t) h( )d f (t)g(t)(t) 2 (t 2)(t 4) 2 (t 4)t 4t(e t e 4t)U (t)2e(t 2)e 4(t 2) U(t 2)7e 4(t 4) e (t

40、4) U(t 4)2-19. 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為2tg(t)=(1- e )U(t) ，初始狀態(tài)不為零tt(1)若激勵 f(t)= e U(t) ，全響應(yīng) y(t)=2 e U(t) ，求零輸入響應(yīng) yx(t) ；(2) 若系統(tǒng)無突變情況， 求初始狀態(tài) yx(0-)=4 ，激勵 f(t)= (t) 時的全響應(yīng) y(t) 。答案解 ( 1) . 系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t) g (t) 2e 2tU(t)故零狀態(tài)響應(yīng)為t 2t t 2tyf(t) f(t) h(t) etU(t) 2e2tU(t) 2(e t e2t)U(t)故得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yx(t) y(t) yf (t)2e t

41、U(t) 2e tU(t) 2e 2tU(t) 2e 2tU(t) 故得系統(tǒng)的初始狀態(tài)為yx(0 ) yx (0 ) 2(2). 當(dāng) f (t)(t) 的零狀態(tài)響應(yīng)為2t yf(t)(t) h(t) (t) h(t) h(t) 2 (t) 4e 2tU(t)根據(jù)零輸入響應(yīng)的線性性質(zhì)，當(dāng) yx(0 -)=4 的零輸入響應(yīng)為2t 2t yx(t) 22e 2tU(t) 4e 2tU(t)故得激勵 f (t)(t ) ，初始狀態(tài) yx(0 ) 4 時的全響應(yīng)為2t 2ty(t) yf(t) yx(t) 2 (t) 4e2tU(t) 4e 2tU(t) 2 (t)2-20. 已知系統(tǒng)的微分方程為 y(

42、t) 2y(t) f(t), 系統(tǒng)的初始狀態(tài) y(0 ) 2.(1) 求激勵 f1(t) e tU (t)時的全響應(yīng) y1(t);(2) 求激勵 f2(t) 5e tU(t)時的全響應(yīng) y2(t).答案解 將微分方程寫成算子形式為(p 2)y(t) f (t)1y(t) p12 f(t)(1)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yx(t). 系統(tǒng)的特征方程為 p 2 0 ,故特征根為2. 故得零輸入響應(yīng)的通解形式為yx(t) Ae 2t故 故得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yx (0 ) y(0 ) A 22tyx(t) 2e 2tU(t)(1) 求激勵 f1(t) e U (t)時的零狀態(tài)響應(yīng) yf (t).當(dāng)激勵 f

43、1(t) (t)時,有y(t) h(t) ,故得單位沖激響應(yīng)為1 2th(t) (t) e 2tU(t)p2故得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t) f1(t) h(t) e tU(t) e 2tU(t) (e t e 2t)U(t)故得系統(tǒng)的全響應(yīng)為2t t 2ty1(t) yx(t) yf (t) 2e 2tU(t) (e t e2t)U(t)(e 2t e t)U (t)(1) 激勵 f2(t) 5e U (t)時的零狀態(tài)響應(yīng)為yf (t) 5(e t e 2t)U(t)故得此時系統(tǒng)的全響應(yīng)為y2(t) yx(t) yf(t) 2e 2tU(t) 5(e t e2t)U(t)t 2t(5e t

44、3e 2t)U (t)2-21. 已知系統(tǒng)的微分方程為 y (t) 3y (t) 2y(t) f (t) 3f(t) 系統(tǒng) 零輸入響應(yīng)的初始值為 yx(0 ) 1, yx(0 ) 2 ，激勵f(t) e U(t). 試求系統(tǒng)的全響應(yīng) y(t), 并求全響應(yīng)的初始值 y(0 +).解 ( 1)求零輸入響應(yīng) yx(t) 。將微分方程寫成算子形式為2(p2 3p 2)y(t) (p 3) f(t)y(t)故 系統(tǒng)的特征方程為p3p2 3p 2f (t)p2 3p 2 0故得特征根為 p1=-1,p 2=-2。故得零輸入響應(yīng) yx(t) 的通解形式為yx(t)A2e2t又故有聯(lián)解得 A1 4, A2

45、3。故得零輸入響應(yīng)為yx(t)2A2eyx (0 ) A1 A2 12tyx (0 )A1 2A2 2yx(t) (4e t 3e 2t)U(t)(2) 求單位沖激響應(yīng) h(t)h(t)p32 p 2 3p 2(t)p3(p 1)(p 2)(t)2p1(t)1p2(t)(2e t2te 2t )U (t)3t te 3tU (t) 2e tU(t) e3tU(t)2te 2tU(t)1 3t t2( 21)(e 3t e t)U(t)3t(e 3te 2t )U (t )(e t e 2t)U (t)2)全響應(yīng)為y(t)yx(t) yf (t)(4e t2t3e 2t)U(t) (et 2tt e 2t)U(t)(5e t2t4e 2t)U (t)2)全響應(yīng) y(t) 的初始值為 y(0 )1。全響應(yīng) y(t) 的一階導(dǎo)數(shù)為y (t) ( 5e t 8e 2t)U (t)y (0 ) 5 8 3第三章習(xí)題3.1 圖題 3.1 所示矩形波，試將此函數(shù)f(t) 用下列正弦函數(shù)來近似f(t) C1 sint C2 sin2tCn sin ntf(t)圖題3.1但若只取函任一函數(shù)在給定的區(qū)間可以用在此區(qū)間的完備正交函數(shù)集表示，數(shù)集中的有限項，或者正交函數(shù)集不完備，則只能得到近似的表達式。f (t ) sin ntdt Cnsin2 ntdt由于分