《幾何學(xué)》輔導(dǎo)綱要

1、幾何學(xué)輔導(dǎo)綱要第一章 公理化方法與非歐幾何主要內(nèi)容：1幾何學(xué)公理化方法的構(gòu)造和原理及其作用、意義2希爾伯特公理體系的結(jié)構(gòu)3公理系統(tǒng)的相容性、獨(dú)立性和完備性4羅氏幾何和黎曼幾何的數(shù)學(xué)模型重點(diǎn)掌握：1 公理法的三個(gè)基本問題是相容性問題、獨(dú)立性問題、完備性問題。2.公理法的結(jié)構(gòu)是原始概念的列舉；定義的敘述；公理的敘述；定理的敘述和證明.3三角形內(nèi)角和等于180度與歐氏平行公理等價(jià)。 4歐氏幾何與非歐幾何的本質(zhì)區(qū)別為平行公設(shè)不同。5公理系統(tǒng)的完備性: 如果公理系統(tǒng)的所有模型都是同構(gòu)的，則稱這個(gè)公理系統(tǒng)是完備的，或稱其具有完備性。6幾何公理: 公理是作為幾何基礎(chǔ)而本身不加證明的命題，是建立一種理論體系的

2、少數(shù)思想規(guī)定。在幾何演繹體系里，每條定理都要根據(jù)已知定理加以證明，而這些作為依據(jù)的定理又要根據(jù)另外的已知定理加以證明，如此步步追尋起來，過程是無止境的，必須適時(shí)而止。因此，需要選取一些不加證明的原始命題作為證明一切定理的基礎(chǔ)，這就是公理。7公理系統(tǒng)的相容性: 一個(gè)公理系統(tǒng)及其一切推論不含有矛盾命題時(shí)，稱這個(gè)公理系統(tǒng)是相容的或無矛盾的。8歐幾里得的第五公設(shè)： 在一平面上如果直線與另外兩條直線相交，有一側(cè)的兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角，則直線與在同側(cè)內(nèi)角的和小于兩直角的那一側(cè)相交。9公理法的基本思想：若干個(gè)原始概念（包括元素和關(guān)系）、定義和公理一起叫做一個(gè)公理體系，構(gòu)成了一種幾何的基礎(chǔ)。全部元素的集

3、合構(gòu)成了這種幾何的空間。在這個(gè)公理體系的基礎(chǔ)上，每個(gè)概念都必須給出定義，每個(gè)命題都必須給出證明，原始概念、定義、公理和定理按照邏輯關(guān)系有次序地排列而構(gòu)成命題系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)，這就是公理法思想。10公理系統(tǒng)的獨(dú)立性：如果一個(gè)公理系統(tǒng)中的某條公理不能由其余公理證明，即不時(shí)其余公理的推論，則稱這條公理在公理系統(tǒng)中是獨(dú)立的。如果一個(gè)公理系統(tǒng)中的沒一條工理都是獨(dú)立的，則稱這個(gè)公理系統(tǒng)是獨(dú)立的。 第二章 射影變換群與幾何學(xué)主要內(nèi)容：1點(diǎn)變換的概念2正交變換的不變性質(zhì)與不變量3相似變換的不變性質(zhì)與不變量4仿射變換的不變性質(zhì)與不變量5射影變換的不變性質(zhì)與不變量6非齊次坐標(biāo)7利用不變量對(duì)二次曲線進(jìn)行分類8利用不變量

4、將二次曲線的一般方程化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型重點(diǎn)掌握：1仿射變換把平行線變成平行線，把正三角形變成三角形，把矩形變成平行四邊形。2設(shè)共線三點(diǎn)，則2。4共點(diǎn)的直線經(jīng)仿射變換后變成共點(diǎn)的直線。5不共線的點(diǎn)經(jīng)仿射變換后變成不共線的點(diǎn)。6在仿射對(duì)應(yīng)下，單比不變。7設(shè)點(diǎn)共線，且在仿射變換下分別變成，則三點(diǎn)共線。8正方形在仿射變換下變成平行四邊形。9對(duì)正方形，對(duì)邊平行、對(duì)角線互相平分是仿射性質(zhì)。10線段的中點(diǎn)、交比、點(diǎn)偶的調(diào)和共軛性、兩平行線段的比和對(duì)稱中心都屬于仿射性質(zhì)。11求一個(gè)仿射變換，它把拋物線變成自身，把原點(diǎn)變成點(diǎn)。設(shè)所求的仿射變換為由它把（0，0）變成（2，2）可知因?yàn)樗褣佄锞€變成自身，所以應(yīng)滿足 ，于

5、是 即 比較方程兩邊的系數(shù)得令，則，因此所求的仿射變換為它依賴于參數(shù)。12求出將點(diǎn)變成點(diǎn)的平移變換，在這個(gè)平移變換下，拋物線變成什么曲線？設(shè)所求的平移變換為將已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得于是 所以所求的平移變換為 即 將此變換用于所給的拋物線上即13求出將點(diǎn)變成點(diǎn)的繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，再將所得的變換用于拋物線上。設(shè)所求的旋轉(zhuǎn)變換為則 于是所求的旋轉(zhuǎn)變換為 即將此變換用于所給的拋物線得。 14求仿射變換的二重直線。 設(shè)所求的不變直線為 （不同時(shí)為0）即在所給的變換下，對(duì)應(yīng)因?yàn)?所以 消去得展開化簡(jiǎn)得解得由于當(dāng)時(shí)，因此不對(duì)應(yīng)不變直線，分別將代入（1），（2），（3）得 和 所以不變直線為 和 15若存

6、在，求下列各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)， 存在，設(shè)，則這個(gè)點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為。不存在，因?yàn)闊o窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有非齊次坐標(biāo)。16證明：使向量?jī)?nèi)積保持不變的仿射變換是正交變換。設(shè)在使二向量?jī)?nèi)積不變的仿射變換下，點(diǎn)變成點(diǎn)，點(diǎn)變成點(diǎn)，則所以（表示兩點(diǎn)間的距離）。由于這個(gè)變換保持兩點(diǎn)間的距離不變，因此它是正交變換。17線坐標(biāo)所表示的直線方程為或。18在仿射變換下， 菱形的對(duì)邊平行、對(duì)角線互相平分和對(duì)邊相等的性質(zhì)在仿射變換下保持不變；鄰邊相等、對(duì)角線互相垂直和對(duì)角線平分菱形對(duì)角的性質(zhì)都改變了。19相交于影消線的二直線必射影成兩平行線。 設(shè)二直線和交于點(diǎn)，點(diǎn)在影消線上，和經(jīng)射影對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)直線為和，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。由于射影對(duì)應(yīng)保

7、持結(jié)合性不變，所以的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是和的交點(diǎn)，即無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，也就是。20.將二次曲線化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型。1）計(jì)算不變量2）判別類型說明曲線為拋物線型說明曲線為退化的拋物線故仍需求故曲線為兩重合直線標(biāo)準(zhǔn)方程為 21設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別切于，試證：交于一點(diǎn)。證明：如圖所示 由已知可得 于是對(duì)有向線段 有 由塞瓦定理，可得交于一點(diǎn)22設(shè)為的一條中線，引任一直線交于，交于，證明：如圖所示在中，分別為三邊上的點(diǎn)，（或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)），由梅內(nèi)勞斯定理有 因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以 即 即 從而 23設(shè)平面上的點(diǎn)變換和分別由和表示，求 （1）；（2）；，即若求，只需從中求出即可，所以24試確定仿射變換，使軸、軸的象分別為直線和，且點(diǎn)

8、的象為原點(diǎn)。所求變換的公式為 其中 則變成直線但由題設(shè)變成可知，與表示同一直線。所以 因此 同理 此處是參數(shù)。又因?yàn)辄c(diǎn)（1，1）的象為原點(diǎn)，于是，所以，所求變換的逆式為由此得出所求的仿射變換為第三章 向量方法在幾何中的應(yīng)用主要內(nèi)容：1向量的概念及其運(yùn)算對(duì)于學(xué)習(xí)過向量的學(xué)員來講并不陌生，但是利用向量來解決初等幾何問題，如：共點(diǎn)問題、共面問題、求線段的長(zhǎng)度問題和直線間的夾角問題等等，是以往我們沒涉及到的方法，他給我們提供了另一種解決初等幾何問題的新思路。2向量的概念、向量的運(yùn)算以及向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)。3熟悉向量的運(yùn)算，包括向量的加減法、向量數(shù)乘運(yùn)算、向量的內(nèi)積、外積，以及向量的線性相關(guān)和線性

9、無關(guān)的定義及幾何意義。4 熟悉如何用向量描述幾何問題。重點(diǎn)掌握：1 設(shè)與是兩個(gè)非零向量，若與線性相關(guān)，則。2已知向量，則與之間的內(nèi)積。3空間中三個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們共面，空間中的四個(gè)向量一定線性相關(guān)。4如果兩個(gè)向量線性相關(guān)，則它們的位置關(guān)系是平行或重合，夾角為0或。 5設(shè)與是兩個(gè)非零向量，若，則與垂直。6 平面上兩個(gè)向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們不共線；平面上兩個(gè)向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們平行；平面上的三個(gè)向量一定線性相關(guān)。7若與是兩個(gè)非零向量，則。8設(shè)與是兩個(gè)非零向量，若，則與平行。9. 已知向量，分別計(jì)算與的模長(zhǎng)與夾角。的模長(zhǎng)分別，夾角的余弦為10. 試用向量法證明：半圓的圓周角是直角。設(shè)為半圓的圓心，為直徑，為半圓上任意一點(diǎn)，見圖，要證明，取，則，設(shè)，由于都是圓的半徑，所以，1