橢圓的幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)課

1、 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1.橢圓+=1(ab0)，范圍：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里，即xa，yb.2.對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的.坐標(biāo)軸為橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，即為橢圓的中心.3.頂點(diǎn)：橢園與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)為A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.離心率：e=,(oe1),e越接近于1，則橢圓越扁；e越接近于0，橢圓就越接近于圓.5.橢圓的第二定義：平面內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡.定點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)，定直線為橢圓的準(zhǔn)線.6.橢圓的焦半

2、徑公式：設(shè)P(x0,y0)是橢圓+=1(ab0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則PF1=a+ex0,PF2=a-ex0.7.橢圓的參數(shù)方程本節(jié)學(xué)習(xí)要求：橢圓的幾何性質(zhì)內(nèi)容多.它與直線的位置關(guān)系的確定離不開一元二次方程中的判別式及韋達(dá)定理.如橢圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題：若直線y=kx+b和二次曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0相交，所得弦長(zhǎng)可由下法求之，由兩方程中消去y，得ax2+bx+c=0，記=b2-4ac,則弦長(zhǎng)=;若弦過(guò)焦點(diǎn)，則用焦半徑公式更為簡(jiǎn)潔.這要求大家針對(duì)具體的題目，靈活采用方法計(jì)算弦長(zhǎng)或與焦半徑有關(guān)的問(wèn)題. 【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】通過(guò)“圓的方程”的學(xué)習(xí)我們知道，

3、圓的幾何性質(zhì)問(wèn)題比用代數(shù)的方法解題簡(jiǎn)便，計(jì)算量小的特點(diǎn)，同樣，橢圓也有類似的幾何性質(zhì)，那么在學(xué)習(xí)本節(jié)之前要復(fù)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，在此基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，掌握橢圓的性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程，及橢圓的第二定義.例1 設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P(-1，0)，傾角為，求l被橢圓x2+2y2=4所截得的弦長(zhǎng).解：直線l的方程為y=x+，代入橢圓方程，得7x2+12x+2=0,=144-4×7×2=88弦長(zhǎng)=例2 求橢圓+=1上的點(diǎn)到直線3x+4y-64=0的最長(zhǎng)距離與最短距離.解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為(5cos，9sin)，則d=dmax=例3 已知橢圓+=1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，-1)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，M是

4、橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求MP+2MF的最小值，并求此時(shí)M的坐標(biāo).解：過(guò)M作右準(zhǔn)線x=4的垂線，垂足為M1，由橢圓第二定義，有= 2MF=MM1MP+2MF=MP+MM1過(guò)P作右準(zhǔn)線的垂線交橢圓于N，垂足為N1，垂線方程為y=-1.顯然MP+MM1NP+NN1(當(dāng)M與N重合時(shí)等號(hào)成立)而NP+NN1=PN1=3由方程組得N(，-1)MP+2MF的最小值是3，此時(shí)M的坐標(biāo)是(，-1) 【難題巧解點(diǎn)撥】例1 P是橢圓方程為+=1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求PF1·PF2的取值范圍.解：設(shè)PF1=t,則ta-c,a+c，即t4-，4+且PF2=2a-t=8-t.PF1&#

5、183;PF2=t(8-t)=-(t-4)2+16 t4-，4+當(dāng)t=4時(shí)，取最大值為16當(dāng)t=4±時(shí)，取最小值為9.所求范圍為9，16例2 F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作一條直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，使PF1PQ，且PF1=PQ，求橢圓的離心率e.解：如下圖，設(shè)PF1=t，則PQ=t，F(xiàn)1Q=t，由橢圓定義有：PF1+PF2=QF1+QF2=2aPF1+PQ+F1Q=4a 即(+2)t=2a,t=(4-2)aPF2=2a-t=(2-2)a在RtPF1F2中，F(xiàn)1F12=(2c)2(4-2)a2+(2-2)a2=(2c)2=9-6 e=-例3 已知P是橢圓+=1(ab0)上的一點(diǎn)

6、，F(xiàn)1F2為兩焦點(diǎn)，且F1PF2P，若P到兩準(zhǔn)線的距離分別為6和12，求此橢圓方程.解：(利用橢圓第二定義求解)點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別是6和122·=6+12 即a2=9c由橢圓第二定義知，e=d1=6,d2=12 PF1=6e,PF2=12e又PF1PF2 PF12+PF22=F1F2236e2+144e2=4c2 e= a2=45又a2=9c c=5 b2=a2-c2=20所求橢圓的方程的+=1例4 在橢圓3x2+4y2=12上，是否存在相異的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱并說(shuō)明理由.解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0)直線AB：y=-x+t,

7、將AB的方程代入橢圓的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0=(-8t)2-4×13×(16t2-48)0-t 且x1+x2=t又AB的中點(diǎn)M在直線y=4x+m上，t=4×t+m t=-m代入式得：-m解法二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上關(guān)于直線l:y=4x+m對(duì)稱的兩點(diǎn)，則+=1 +=1 -得+=0=而KAB=-故有=-設(shè)AB的中點(diǎn)為(x,y)，則有x1+x2=2x,y1+y2=2y代入即得AB中點(diǎn)的軌跡方程為y=3x.由由于AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部+1m2-m故當(dāng)m(-，)時(shí)，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.例5 橢圓=1上不同三點(diǎn)A

8、(x1,y1),B(4, ),C(x2,y2)與焦點(diǎn)F(4，0)的距離成等差數(shù)列.(1)求證：x1+x2=8(2)若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k.解：由題知a=5,b=3,c=4.(1)由橢圓的第二定義知：=AF=a-x1=5-x1同理有CF=5-x2AF+CF=2BF 且BF=(5-x1)+(5-x2)=即x1+x2=8(2)線段AC的中點(diǎn)為(4，)它的垂直平分線方程為y-=(x-4)又點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(x0,0)，代入上式得，x0-4= 點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)都在橢圓上y21=(25-x21),y22=(25-x22)y21-y22=-(x

9、1+x2)(x1-x2)將此式代入并利用x1+x2=8得x0-4=-kBT= 【命題趨勢(shì)分析】1.熟練掌握橢圓的第二定義，兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，運(yùn)用它們及參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題.2.必要時(shí)，橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m0，n0)，這樣計(jì)算簡(jiǎn)潔，還可避免對(duì)焦點(diǎn)位置的討論.3.遇到弦的中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常用點(diǎn)差法.例1 橢圓=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么PF1是PF2的( )A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍解：設(shè)F1(-3，0)，e=,P(x0,y0)線段PF1的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，=0 即x0=3PF1=a+ex0=2+

10、5;3=PF2=2a-PF1=4-=PF1=PF2 故選A例2 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=,已知點(diǎn)P(0，)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).解：設(shè)所求橢圓方程為+=1(ab0)由e2=1-和e= 得a=2b設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到P點(diǎn)的距離為d，則d2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+=-3(y+)2+4b2+3 (-byb)若b時(shí)，則當(dāng)y=-b時(shí)，d2(從而d)有最大值，由題設(shè)得()2=(b+)2，由此得b=-與b矛盾.若b時(shí)，當(dāng)y=-時(shí)，d2有最大值，從而d有最大值，有()2=4b2+3,b=1,a=2所求

11、橢圓方程為+y2=1,橢圓上的點(diǎn)(-，-)，點(diǎn)(，-)到P點(diǎn)的距離都是.說(shuō)明：本題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與函數(shù)思想，本題關(guān)鍵是討論距離函數(shù)d2=-3(y+)2+4b2+3在區(qū)間-b,b上的最值，二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題要就對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系來(lái)討論.例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OPOQ，PQ=.求橢圓方程.分析 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2,)由OPOQ知x1x2+y1y2=0，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式與韋達(dá)定理求解.解：設(shè)橢圓的方程為+=1(a0,b0,ab或ab)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)別為P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y得(a2+b2)x

12、2+2a2x+a2-a2b2=0，當(dāng)=(2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)0時(shí)由韋達(dá)定理得x1+x2=-,x1x2=.且y1=x1+1,y2=x2+1,OPOQ，·=-1,即y1y2+x1x2=0，(x1+1)(x2+1)+x1x2=0,2x1x2+(x1+x2)+1=0，又PQ=，由弦長(zhǎng)公式有：x2-x1=,2(x1+x2)2-4x1x2=,4(x1+x2)2-16x1x2-5=0解由、組成的方程組得或,或解得或故所求橢圓方程為+=1或+=1同步達(dá)綱練習(xí)】A級(jí)一、選擇題1.橢圓+=1與+=k(ab0，k0)一定具有相同的( )A.長(zhǎng)軸 B.焦點(diǎn) C.離心率 D.頂點(diǎn)2.

13、離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2，0)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為( )A. +y2=1B. +y2=1或x2+=1C.x2+=1D.+y2=1或+=13.若方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.(-16，25)B.( ，25)C.(-16，)D.( ，+)4.若圓(x-a)2+y2=9與橢圓+=1有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A.(-,+)B.-6,6C.-，D.5.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)三等分兩條準(zhǔn)線間的距離，則橢圓的離心率為( )A.3B.C.D.二、填空題6.橢圓+=1的離心率e=,則實(shí)數(shù)m的值為 .7.若方程+=-1表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .8.若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，焦距

14、依次成等差數(shù)列，則其離心率e= .三、解答題9.已知橢圓+=1上的點(diǎn)P到其右焦點(diǎn)的距離是長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，求P點(diǎn)坐標(biāo). 10.已知P是橢圓+=1上的點(diǎn)，且F1PF2=90°，求F1PF2的面積. AA級(jí)一、選擇題1.不論k為何值，直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的范圍是( )A.(0，1) B.(0，7) C.1，7 D.(1，72.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和中心將兩準(zhǔn)線間的距離四等分，則一焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)連線的夾角為( )A. B. C. D. 3.已知F1、F2是橢圓+=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)AB是過(guò)F1的弦，則ABF2的周

15、長(zhǎng)是( )A.2aB.4aC.8aD.2a+2b4.已知(0，-4)是橢圓3kx2+ky2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值是( )A.6B. C.24D.5.以橢圓的右焦點(diǎn)F2為圓心作圓，使這圓過(guò)橢圓的中心，且交橢圓于M點(diǎn)，若直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率是( )A. -1B.2-C. D. 二、填空題6.以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓交橢圓于四個(gè)點(diǎn)，若順次連接四個(gè)點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，則橢圓的離心率e= .7.已知F1F2是橢圓兩焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，PF1F2滿足PF1F2：PF2F1：F1PF2=123，則此橢圓的離心率e= 8.已知A(1，1) B(2，3)，橢圓C:

16、x2+4y2=4a2，如果橢圓C和線段AB有公共點(diǎn)，則正數(shù)a的取值范圍是 .三、解答題9.已知A、B是橢圓+=1上的兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，若AF2+BF2=a，AB中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線距離為，求橢圓方程. 10.設(shè)橢圓+=1(ab0)的左頂點(diǎn)為A，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使OPA=，求橢圓離心率的取值范圍. 【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】一、選擇題1.已知M為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1F2是兩焦點(diǎn)，且MF1F2=2，MF2F1=(0)，則橢圓的離心率是( )A.1-2sinB.1-sin2C.1-cos2D.2cos-12.橢圓2x2+y2=1上的點(diǎn)到直線y=x-4的距離的最小值是( )A. B. C

17、. D. 3.已知F是橢圓+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)，PQ是過(guò)其中心的一條弦，則FQP面積的最大值是( )A.abB.abC.acD.bc4.已知橢圓+=1(ab0)的離心率等于，若將此橢圓繞右焦點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，新位置的橢圓有一條準(zhǔn)線方程是y=，則原橢圓方程是( )A.+=1B. +=1C.+=1D. +=15.橢圓+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，則M的縱坐標(biāo)是( )A.±B.±C.±D.±二、填空題6.已知圓柱底面的直徑為2k，一個(gè)與底面成30°角的平面截這個(gè)圓柱，則截面上的橢圓的離心率是 7.已知P

18、是橢圓+=1(ab0)上的點(diǎn)，且F1PF2=，則F1PF2的面積是 8.點(diǎn)P(0，1)到橢圓+y2=1上點(diǎn)的最大距離是 .三、解答題9.已知橢圓長(zhǎng)軸A1A2=6，F(xiàn)1F2=4，過(guò)橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，設(shè)F2F1M=(0)，問(wèn)當(dāng)取何值時(shí)，MN等于橢圓的短軸長(zhǎng).  10.已知橢圓+=1(ab0)與x軸交于AB兩點(diǎn)，F(xiàn)1F2為焦點(diǎn).(1)過(guò)一焦點(diǎn)F2作垂直于長(zhǎng)軸的弦MN，求AMB的大小范圍(2)若橢圓上有一點(diǎn)P，使得APB=120°，求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，并求橢圓離心率滿足什么條件時(shí)，這樣的點(diǎn)P才存在.  【生活實(shí)際運(yùn)用】要把一個(gè)邊長(zhǎng)分別為52c