等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理

1、等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)1、等差數(shù)列的定義：對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果它的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差為一個(gè)定值，則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，記：an an 1 d ( d為公差)(n 2，nN* )注：下面所有涉及n , n N*省略，你懂的2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an ai (n 1)d，a“為首項(xiàng)，d為公差推廣公式：an am (n m)d變形推廣：a na mdn m3、等差中項(xiàng)(1)如果a ,A ,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即:(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列2an an-1 an 1(n 2)2 an 1 an an 2n(n 1)24、等差數(shù)列的前

2、n項(xiàng)和公式:S n(a1 an)n 2d 2 /12n d )n An Bn2 2(其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)dz0時(shí)，S是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0)特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，an 1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)S2n1 2n 1 ； a2n12n 1an1 (項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng))5、等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若anan 1d或an1a.d （常數(shù)nN）a.是等差數(shù)列.（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列2 anan-1an 1(n2)2an 1anan 2（3）數(shù)列a.是等差數(shù)列ankn b （其屮k,b是常數(shù)）。（4）數(shù)列a.是等差數(shù)列SnAn2

3、 Bn,（其中A、B是常數(shù)）。6、等差數(shù)列的證明方法定義法：若a. a. 1 d或a. 1and （常數(shù)n N ）a.是等差數(shù)列.7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：ai、d、n、a.及&，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)an印(n 1)d奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a2d, a d, a, a d, a 2d （公差為d ）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a3d, a d, a d, a 3d,（注意;公差為2d）&等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差d 0時(shí)，等差數(shù)

4、列的通項(xiàng)公式an a, （n 1）d dn a, d 是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d ；前n和 Sn na1 血衛(wèi)d dn2 （印d）n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為2 2 20。（2）若公差d 0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d 0，則為遞減 等差數(shù)列，若公差d 0,則為常數(shù)列。（3）當(dāng)m n p q時(shí)，則有am a. ap aq，特別地，當(dāng)m n 2p時(shí)，則有aman2ap。（注：印a.a?a. 1a3an2,）當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)都是可以的，但要保證等號(hào)兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。(4) an、bn為等差數(shù)列，貝Sanb ,Qn20都為等差數(shù)列(5) 若a*是等差數(shù)列，則Sn,S2n

5、Sn , S3n En ,也成等差數(shù)列(6) 數(shù)列an為等差數(shù)列，每隔k(kN* )項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,amk,am 2k,am 3k,)仍為等差數(shù)列(7) an、bn的前n和分別為A、Bn，則告 籌bn B2n 1(8) 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sm n ,前m項(xiàng)和Sn m，則前m+n項(xiàng)和Sm nm n，當(dāng)然也有an m,am n，則am n 0(9)求Sn的最值 法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求 二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性 n N*。法二：(1) “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有 非負(fù)項(xiàng)之和a 0即當(dāng)a10，d 0,由an 0可得Sn達(dá)到最大值

6、時(shí)的n值.an 10(2)“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng)a1 0, d 0,由an °可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.an 1°或求an中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的圖像 是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，Sn取 最大值(或最小值)。若Sp = Sq則其對(duì)稱軸為n丄72注意：Sn Sn1 an(n 2)，對(duì)于任何數(shù)列都適用，但求通項(xiàng)時(shí)記住討論 當(dāng)n 1的情況。解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通常考慮兩類方法： 基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于ai和d的方程； 巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)

7、可以化繁為簡(jiǎn)， 減少運(yùn)算量。（以上加上藍(lán)色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明， 不是 很難，并能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用）第二節(jié)：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)1、等比數(shù)列的定義：電q q On 2 ， q為公比 an 12、通項(xiàng)公式：an aen1 , a1為首項(xiàng)，q為公比推廣公式：an amqnm ,從而得qn m務(wù)am3、等比中項(xiàng)（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即:A2 ab 或 A, ab注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng) 有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2） 數(shù)列an是等比數(shù)列an2 ani ani4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式： (1)當(dāng) q 1 時(shí)，Sn nai

8、當(dāng)q 1時(shí)，Sn冷 冷qn A ABn A'Bn A' (A，B，A'B'為常數(shù)） 5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對(duì)任意的n,都有ani qan或也 q（q為常數(shù)，an 0）anan為等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)：an2an 1an 1 ( an 1an 1 0)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：anA Bn A B 0an為等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式：q aASn A'BnA' A,B,A',B'為常數(shù)an為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若-a q q 0 n 2,且n N *或an 1 qanan為等比數(shù)列an 17、等

9、比數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式中，涉及到5個(gè)元素：ai、 q、n、an及&，其中印、q稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中 的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)：n 1an aq如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，篤,a,a,aq,aq2（公比為q，中間項(xiàng)q q用a表示）；注意隱含條件公比q的正負(fù)8等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)q 1時(shí) 等比數(shù)列通項(xiàng)公式an qqn1 qn A Bn A B 0是關(guān)于n的帶有系q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q 前n項(xiàng)和Sn耳1 q生沁二 qn A A Bn A'Bn A'，系

10、1 q 1 q 1 q 1 q數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比 對(duì)任何m,n N*,在等比數(shù)列an中，有an amqn m,特別的,當(dāng)m=1時(shí), 便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。因此，此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更 具有一般性。 若 m n s t(m, n,s,t N )，則 a. am a$ at。特別的，當(dāng) m n 2k 時(shí), 得 an am ak2注：ai ana2 an 1 a3an 2 列an ,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列-,k an,ank,k an bn (k 為 anbn非零常數(shù))均為等比數(shù)列。(5) 數(shù)列 an為等比數(shù)列，每隔k(k N )項(xiàng)取出一項(xiàng)(am, am k ,

11、 am 2k , am 3k ,)仍為等比數(shù)列(6) 如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)Og a an是等差數(shù)列 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列S.，S2n Sn，務(wù)S?.,，成等比數(shù)列(8)若an為等比數(shù)列，則數(shù)列ai a2a. , a. i a. 2a?n ,當(dāng)0<q 1時(shí),a2n 1 a2n 283.成等比數(shù)列ai 0,貝 an為遞增數(shù)列 q 0,貝Uan為遞減數(shù)列,aia1(9)當(dāng)q 1時(shí),0,則an為遞減數(shù)列0,則an為遞增數(shù)列 當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列) 當(dāng)q<0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列。(10)在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N*)時(shí),魚-

12、,oS禺q(11)若 an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn m Sn qn Sm 注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時(shí)，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比 q 1 的特殊情況。解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法： 基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 印和q的方程； 巧妙運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)， 減少運(yùn)算量。關(guān)于等差、等比兩個(gè)引申：an ka b模式（其中k,b為常數(shù)，n 2）； an pa. i pn模式（其中p為常數(shù)，n 2）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：例1 已知數(shù)列 an，有an 3an i 4（ n 2），則求該數(shù)列的通項(xiàng)公式解題大致思路：先設(shè)an b 3（an i b），則對(duì)于an 3an i 4 an 2 3（a* i 2），那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列an2為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)