倍半角模型之強(qiáng)方法

1、倍半角模型1倍半角的識(shí)別】(1)大角內(nèi)部有一小角，且小角角度是大角角度的一半(2)大角的兩邊相等，保證旋轉(zhuǎn)之后邊能夠完全重合。大角兩邊與其他兩邊形成的兩個(gè)角互補(bǔ)，保證旋轉(zhuǎn)之后的兩個(gè)三角形兩邊能在同一直線.上已知如圖: C 1 > 上二卜LLTi曰【目標(biāo)問題】1 .共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，大角是較小角的2倍(較小角是大角的一半)，大角的兩邊相等，這是共頂點(diǎn)倍半角模型的基本特征。如果在圖形中發(fā)現(xiàn)這一特征信息，就可以利用旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ的辦法，進(jìn)行角度的加(減)組合，構(gòu)造出新的 等角關(guān)系，進(jìn)而借助三角形全等解決問題。2 .在倍半角關(guān)系模型中，有時(shí)會(huì)遇到非共頂點(diǎn)的倍半角關(guān)系，其基本解題策略是通過構(gòu)造等腰三角形

2、或是對(duì)稱、翻折等方法“化不等量為等量”，將倍半角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系進(jìn)一步求解。一、倍半角關(guān)系模型之共頂點(diǎn)倍半角：(一)背景是等腰(直角)三角形或等邊三角形例1如圖，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=9(5,D,E為AB邊上兩點(diǎn)，且 / DCE=45：若AD=2, BE=1,則DE=【方法提煉】 已知/ACB=900, /DCE=450，關(guān)注信息/ ACD+/ BCE= / DCE, CA=CB,利用“截大、補(bǔ)小”的轉(zhuǎn)化策 略構(gòu)造等角，將/ACD4 BCE =/DCE這一條件信息轉(zhuǎn)化為 兩角相等問題，借助 三角形全等 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化等量關(guān)系。 此題有“旋轉(zhuǎn)”和“對(duì)稱”兩種解法 .【方法應(yīng)用】

3、如圖，/ABC是正三角形，ABDC是頂角/BDC=1200的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角 的兩邊分別交邊 AB、AC于M、N兩點(diǎn)，連接 MN,完成下列各題：(1)若MN/BC,請(qǐng)寫出線段 BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，不要求證明。(2)如圖2,若MN與BC不平行，其他條件不變，試問(1)中線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立， 若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由。(3)若點(diǎn)M、N分別是邊AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，探究線段BM、MN、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。(二)背景是正方形例2如圖，已知在正方形 ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊 BC,CD上，/ EA

4、F=450.求證:EF=BE+DF如圖，已知在正方形 ABCD中若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上,/ EAF=450試判斷線段BE,DF,EF 之間的關(guān)系，并證明. 【方法提煉】 發(fā)現(xiàn)“共頂點(diǎn)倍半角”模型，可以將 /ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到/ABG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及/EAF=450,可得/EAF=/GAE,從而證明/AEFZ/AEG,從而證出(1)的結(jié)論，類比上述方法得出(2)的結(jié)論【方法應(yīng)用】1、已知：正方形 ABCD中，ZMAN=45°, /MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB, DC (或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M,N.(1)當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖

5、1的位置時(shí)，求證：BM+DN =MN;(2)當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BW DN時(shí)(如圖 2),則線段BM , DN和MN之間數(shù)量關(guān)系是 ;(3)當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，猜想線段BM, DN和MN之間又有怎樣數(shù)量關(guān)系呢？并對(duì)你的猜想加以說明.S3 7 萬(wàn)(三)與拋物線結(jié)合例3如圖，拋物線y=ax2+bx+4過A(2,0), B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線的另一交點(diǎn)為D,連接AC,BC .點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>4).(1)求拋物線的函數(shù)解析式和 /ACB的正切值；(2)若/ ACP=45，求m的值【方法提煉】 由已知信息“

6、 /ACP=45 ”入手，注意到/OCD=90 ,聯(lián)想到“共頂點(diǎn)倍半角”模型，過點(diǎn) B作BM， CD于點(diǎn)M,交CP于點(diǎn)N,發(fā)現(xiàn)正方形 BOCM,連接AN。二、倍半角關(guān)系模型之非共頂點(diǎn)倍半角：例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=1x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-3x2+bx+c經(jīng)過A,C 22兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為 B.(1)求拋物線的函數(shù)解析式(2)點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 CD,是否存在點(diǎn)D,使得/ DCA=2/ BAC?若存在，求點(diǎn) D的橫坐 標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。【方法提煉】 此題是典型的非共定點(diǎn)倍半角關(guān)系問題，解題策略是化不等量為等量，構(gòu)造轉(zhuǎn)化

7、等角關(guān)系。解法一：以直線 AB為對(duì)稱軸，作/BAC的軸對(duì)稱圖形，點(diǎn) C的對(duì)稱點(diǎn)為C ,則/CAC=/DCA,發(fā)現(xiàn)DC/AC , 先求得直線AC'的解析式，利用兩直線平行 k值相等的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn) C坐標(biāo)，求出直線 CD的解析式，再與拋物線 的函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，即可求得點(diǎn) D的坐標(biāo)。解法二：在直線 AC上取點(diǎn)E (在C的右上方)，使CE=CD ,連接DE,則/CDE=/ CED=/ DCA= / CAB,所以 2DE/AB,設(shè)DE交y軸于點(diǎn)F,則CEFsCAO,設(shè)點(diǎn)D(m,-0.5m2-1.5m+2),則用含m的式子表示出比例式各項(xiàng)， 得到方程求解即可。【萬(wàn)法應(yīng)用】 如圖，在 /ABC

8、中，ZC=9CT , /B=15求tan15的值。如圖，在 / ABC中，/ A=2/B, CDLAB于點(diǎn)D,已知AB=10, AD=2.則AC的長(zhǎng)為? 【問題提煉】 構(gòu)造等腰三角形，“化不等量為等量”，將倍半角關(guān)系轉(zhuǎn)化為等角關(guān)系進(jìn)一步求解。【中考連接】：1 .如圖，/A=/B=90°, CA=CB=4, /ACB=120°, /ECF=60°, AE=3, BF = 2,求五邊形 ABCDE的面積.2 .如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1, AB, AD上各有一點(diǎn) P, Q,如果/ APQ的周長(zhǎng)為2, 求/PCQ的度數(shù)。3.如圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE

9、 =2, Z ABC= Z AED=90°,求五邊形的面積.4 .已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 °, / MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長(zhǎng)分別交CB、DC (或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M、N, AHXMN于點(diǎn)H.(1)如圖，當(dāng)/ MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出 AH與AB的數(shù)量關(guān)系：(2)如圖，當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BW DN時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系 還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；(3)如圖 ,已知/ MAN =45°, AH± MN于點(diǎn)H,且 MH=2, NH=3,求 AH的長(zhǎng).5 .請(qǐng)閱讀下列

10、材料：已知：如圖(1)在 RtAABC中，/ BAC=90, AB=AC,點(diǎn) D、E分別為線段 BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若/DAE=45.探究線段 BD> DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90。，得到小BE,連接E' D使問題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探 究并解決下列問題：(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段 BC上，動(dòng)點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)在線段 CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖(2),其它條件不 變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明；(3)已知：如圖(3),等邊三角形 ABC中，點(diǎn) D、E在邊 AB上，且/ DCE=30 ,請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù).6 .已知等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞 A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC, CD于點(diǎn) M、N.