下第三單元因數(shù)與倍數(shù)講解與培優(yōu)

1、第三單元因數(shù)與倍數(shù)一、因數(shù)與倍數(shù)如果整數(shù)a（aw。）和整數(shù)b（b w 0）相乘得到的整數(shù)c,那么a,b是c的因數(shù)（因數(shù)又叫約數(shù)）； c是a,b的倍數(shù)。例1:2 X 9=18可以說(shuō)：2是18的因數(shù)，18是2的倍數(shù)；9是18的因數(shù)，18是9的倍數(shù)。注：1、因數(shù)與倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的相互關(guān)系，是相互依存的，不能單獨(dú)說(shuō)某個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。所以不能單獨(dú)說(shuō) 2是因數(shù)，18是倍數(shù)。2 、研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所說(shuō)的數(shù)一般指不是0的自然數(shù)。練習(xí)：（1）說(shuō)出下面哪個(gè)數(shù)是因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是倍數(shù)。3 X7=21 4 X 8=32 13 X 9=117（2） 7X8=56,（）和（）是（）的因數(shù)；（）是（）和（）的倍數(shù)。判斷：

2、7和8是因數(shù)，56是倍數(shù)。（）（3）判斷：axb=c，整數(shù)a、b、cw0,那么a,b是因數(shù)；c是倍數(shù)。（）二、找一個(gè)數(shù)的因數(shù)方法：列乘法算式使積就是這個(gè)數(shù)，兩個(gè)乘數(shù)就是這個(gè)數(shù)的因數(shù)，為了做到不重復(fù)、不遺漏，可以從1開始列起。成對(duì)記錄比較簡(jiǎn)便。例題：30 的因數(shù)有：1,30,2,15,3,10,5,6.注：一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是 1;最大的因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。練習(xí)：（1）找出下列各數(shù)的因數(shù)：72 42 25 63（2） 32的因數(shù)有：（），最小的因數(shù)是（），最大的因數(shù)是（）。三、找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)方法：用這個(gè)數(shù)分別去乘1,2,3所得的積就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例題：4的倍數(shù)有：4,8,12

3、,16,20,24 （若無(wú)限制條件，一定要加省略號(hào)） 注：一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是它本身；沒(méi)有最大的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。 一個(gè)數(shù)的本身既是它的最大的因數(shù)，又是它的最小的倍數(shù)。練習(xí)：（1）找出下列個(gè)數(shù)的倍數(shù)：7 11 5 6（2） 2的倍數(shù)中，最小的一位數(shù)是（）；最小的兩位數(shù)是（）。寫出既是8的倍數(shù)，又是（3） 一個(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是（4） 一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是（5） 一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)都是72的因數(shù)：），最小的倍數(shù)是（）。），最大的因數(shù)是（）。9,這個(gè)數(shù)是（）。（6） 一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)和是16,這個(gè)數(shù)是多少寫出這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。（7）媽媽買回30個(gè)蘋果，他把蘋果放入藍(lán)子中讓小明拿，約定

4、既不許一次那完，也不許 個(gè)一個(gè)地拿，且每次拿的個(gè)數(shù)相同，拿到最后正好一個(gè)不剩。小明共有幾種拿法每種拿法每 次各拿幾個(gè) 小明將40顆棋子裝入盒中，然后從中拿棋子，不許一次那完，且每次拿的個(gè)數(shù)相同，拿到最后正好一個(gè)不剩。有幾種拿法每次各拿幾個(gè)（8）判斷：一個(gè)數(shù)的因數(shù)一定比它的倍數(shù)小。（）A XB=C（A,B,C均為自然數(shù)），則A是C的因數(shù)，C是B的倍數(shù)。（）任何數(shù)最小的因數(shù)都是 1.（）一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)都有無(wú)限個(gè)。 （）培優(yōu)：爸爸今年 40歲，小明和爺爺?shù)哪挲g分別是爸爸年齡的因數(shù)和倍數(shù)，并且爺爺?shù)哪?齡是小明年齡的10倍，小明和爺爺今年各多少歲四、5和2的倍數(shù)的特征1、5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是

5、5或0。2、2的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是 2、4、6、8或0.既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是。3、自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是 2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。 也可以說(shuō)個(gè)位是 2/4/6/8/0 的數(shù)是偶數(shù)，個(gè)位是 1/3/5/7/9 的數(shù)是奇婁 4、偶數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，沒(méi)有最大的偶數(shù)或奇數(shù)。最小的偶數(shù)是0,最小的奇數(shù)是1。練習(xí)：(1) 23口中，口里填(2) 1/3/25/39/48/50/329/1320）既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)。中奇數(shù)有（）偶數(shù)有（2的倍數(shù)有（）,5的倍數(shù)有（3）（4），既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)有（30以內(nèi)5的倍數(shù)有（五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是75,三個(gè)連續(xù)偶

6、數(shù)的和是72,這5個(gè)數(shù)分別是（ 這三個(gè)偶數(shù)分別是）；）。五、3的倍數(shù)的特征1、3的倍數(shù)，它各位上數(shù)的和一一定是3的倍數(shù)。如果一個(gè)數(shù)不是 3的倍數(shù)，那么，它各位上數(shù)的和也不是3的倍數(shù)。練習(xí):（1）（是（4,9,18,36,45,89,100）;5的倍數(shù)是（）;既是2的倍數(shù)又是中，偶數(shù)是（）;3的倍數(shù)是（3的倍數(shù)是（的倍數(shù)中，最大的一位數(shù)是（的倍數(shù)是（）；奇數(shù)是（）;既是）;2的倍數(shù)是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)）;既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)是（）,最小的兩位數(shù)是（）;1000以內(nèi)最大的 3）;35加上（）或減去（）是3的倍數(shù)。（3） 一個(gè)三位數(shù)同時(shí)是 2,3,和5的倍數(shù)，這個(gè)三位數(shù)最小是（被2、3、5除都

7、余1的最小自然數(shù)是（);在 1 100 中,）,最大是（）；能同時(shí)是 2,3,5的倍數(shù)有（4） 既是 既是 既是 既是（5）按要求在口里填上合適的數(shù)字。2的倍數(shù)又是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)3的倍數(shù)5的倍數(shù)5口,35口,18口,13口，7口424 7口0, 7口1口5,2 口0,2和5的倍數(shù)又是 3的倍數(shù)：4口口，2口0, 用0,4,3,2四個(gè)數(shù)，按要求組成一個(gè)兩位數(shù)。4口 4口組成的數(shù)是2的倍數(shù)：組成的數(shù)既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)：組成的數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)：（6）桌子上放著7個(gè)茶杯，全部底朝上。每次翻轉(zhuǎn)2個(gè)，經(jīng)過(guò)多少次杯口全部朝上（7）有36個(gè)蘋果，把它放在判斷：自然數(shù)中，不

8、是奇數(shù)就是偶數(shù)。個(gè)位上是0/3/6/9 的數(shù)-一定是 所有的自然數(shù)都是整數(shù)。（13個(gè)盤子里，每個(gè)盤子里只能放奇數(shù)個(gè)，這件事你能辦到嗎（ ）3的倍數(shù)。（）解析：錯(cuò)。整數(shù)包含正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0;而自然數(shù)只有 0和正整數(shù)。用2,1,3組成的三位數(shù)一一定是 3的倍數(shù)。（）偶數(shù)是2的倍數(shù)，奇數(shù)是3的倍數(shù)。（）培優(yōu)：1、在口重填上合適的數(shù)，使它是9的倍數(shù)。（1） 口67口（2） 4口口3（3） 582、一盒羽毛球，5個(gè)5個(gè)的取，最后剩下1個(gè)；3個(gè)3個(gè)的取，最后剩下1個(gè)；2個(gè)2個(gè)地 取，最后還是剩下 1個(gè)。這盒羽毛球最少有多少個(gè)六、質(zhì)數(shù)與合數(shù)1、一個(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。（

9、只有2個(gè)因數(shù)）2、一個(gè)數(shù)除了 1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)。（有2個(gè)以上的因數(shù)）3、1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。（1的因數(shù)只有一個(gè)）注意：質(zhì)數(shù)與合數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，沒(méi)有最大的質(zhì)數(shù)或合數(shù)。最小的質(zhì)數(shù)是2,最小的合數(shù)是 4。2是唯一一個(gè)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)。自然數(shù)（0除外）可以分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1.練習(xí)：（1）判斷：2既不是素?cái)?shù)，又不是合數(shù)。（）9是奇數(shù)也是素?cái)?shù)。（）一個(gè)自然數(shù)（0除外），如果不是素?cái)?shù)就是合數(shù)。（）（2）最小的自然數(shù)是（），最小的素?cái)?shù)是（），最小的合數(shù)是（），最小的奇數(shù)是（）。10以內(nèi)的素?cái)?shù)有（），合數(shù)有（）。20以內(nèi)既是合數(shù)又是奇數(shù)的數(shù)有（）。50以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)與最小

10、的合數(shù)乘積是（）。有兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和是8,兩個(gè)數(shù)的積是15,這兩個(gè)數(shù)是（）和（）。既不是質(zhì)數(shù)，又不是偶數(shù)的最小自然數(shù)是（）；既是質(zhì)數(shù)，又是偶數(shù)的最小自然數(shù)是（）;既是奇數(shù)，又是質(zhì)數(shù)的最小自然數(shù)是（）；既是偶數(shù)，又是合數(shù)的最小自然數(shù)是（）。既是奇數(shù)又是合數(shù)的最小自然數(shù)是（）。一個(gè)四位數(shù)，千位上既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，百位上是最小的合數(shù)，十位上是最小的質(zhì)數(shù)，個(gè)位上既是奇數(shù)又是合數(shù)，這個(gè)數(shù)是（）。一個(gè)合數(shù)至少有（）個(gè)因數(shù)。一個(gè)三位數(shù)既有因數(shù) 2,又是5的倍數(shù)，百位上是最小的質(zhì)數(shù)，十位上是最大的一位奇數(shù)，這個(gè)數(shù)是（）。（3）在括號(hào)里填上合適的素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）。8= （） + （）9=（） + （

11、）12=（） + （）15= （） + （）18=（） + （）24=（） + （）七、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)1、如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，這個(gè)因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。1沒(méi)有質(zhì)因子。5只有1個(gè)質(zhì)因子，5本身。（5是質(zhì)數(shù)。）6的質(zhì)因子是2和3。（6 = 2 X 3）2、4、8、16等只有1個(gè)質(zhì)因子：2 （2是質(zhì)數(shù)，4 = 2,8 = 2 ,如此類推。）10有2個(gè)質(zhì)因子：2和5。（10 = 2 X 5）2、把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫作分解質(zhì)因數(shù)。方法：短除法或塔形分解法。練習(xí)：（1）先找出下面的合數(shù)，再把它們分解質(zhì)因數(shù)。11 20 36 49 53 72(2)下面的式子，()是分解質(zhì)因數(shù)。A 5

12、4=2X3X9 B、42=2X3X7 C、15=3X5X1 D、20=4X5(3)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是 22,積是85,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)是()和()。(4) 一個(gè)三位數(shù)，它的個(gè)位上是最小的質(zhì)數(shù)，十位上是最小的合數(shù)，百位上是最小的奇數(shù)，這個(gè)三位數(shù)是()，它同時(shí)是質(zhì)數(shù)()和()的倍數(shù)。八、公因數(shù)與最大公因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。方法：找出小數(shù)的因數(shù)，在小數(shù)的因數(shù)中篩選大數(shù)的因數(shù)。例1:找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。6和15 8 和16 1 和20 30 和6 8 和9 9 和25.注意：1、公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。2、幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)中最大的一個(gè)，叫作這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。最大公因數(shù)只有1個(gè)。3、不

13、同的兩個(gè)數(shù)至少有 1個(gè)公因數(shù)1。4、用短除法可以找出最大公因數(shù)，共有的質(zhì)因數(shù)的積就是最大公因數(shù)。練習(xí)：(1) 25和40的因數(shù)，公因數(shù)分別填在下面的圈里。25 的因數(shù) 40 的因數(shù)(2)在每個(gè)分?jǐn)?shù)后面的括號(hào)中寫上分子、分母的最大公因數(shù)。例2、找出每組數(shù)的最大公因數(shù)。A: 5 和 15 8 和 16 10 和 20 3 和 9發(fā)現(xiàn)：倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是小數(shù)。反之，最大公因數(shù)是小數(shù)，這兩個(gè)數(shù)就是倍數(shù)關(guān)系。B 9和7 1 和7 11 和12 3 和11 發(fā)現(xiàn)：互質(zhì)關(guān)系，最大公因數(shù)是 1.反之，最大公因數(shù)是 1,這兩個(gè)數(shù)就互質(zhì)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)或最大公因數(shù)是1時(shí)，我們就說(shuō)這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。練習(xí)：(1)寫

14、出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。12 和 24 (); 18 和 19 (); 5和 17 (); 14 和 42 (); 8和 9 ();11 和 4 () ; 12 和 6 (); 6 和 8 (); 13 和 39 (); 35 和 7 ()。(2) 一個(gè)數(shù)既是12的因數(shù)又是18的因數(shù)，這個(gè)數(shù)最大是()。4A=B(A 、Bw 0) , A和B的最大公因數(shù)是()。如果a=2X3X5, b=2X3X7,那么a和b的最大公因數(shù)是()。(3)判斷：兩個(gè)合數(shù)的最大公因數(shù)不可能是1.()兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)小。()3 和4沒(méi)有公因數(shù)。()A 是B的倍數(shù)，那么A、B的最大公因數(shù)是 A。()兩個(gè)數(shù)的公

15、因數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的因數(shù)。()例3、(1)王先生準(zhǔn)備將家里的貯藏室鋪上地板。貯藏室長(zhǎng)16分米，寬12分米，如果都使用整塊的地磚，可以選擇邊長(zhǎng)是幾分米的地磚邊長(zhǎng)最大是幾分米在一弓長(zhǎng)40厘米，寬32厘米的長(zhǎng)方形鐵皮上剪同樣大小且面積最大的正方形，不能有剩余，剪出的正方形邊長(zhǎng)是多少厘米6分米在一間長(zhǎng)6米、寬4米的教室里鋪同樣大小的正方形地板，已知市場(chǎng)上有邊長(zhǎng) 和5分米的正方形地磚，選哪種型號(hào)比較合適為什么（2）兩根彩帶，一根長(zhǎng)15厘米，另一根長(zhǎng)20厘米，把它們剪成同樣長(zhǎng)的小段，沒(méi)有剩余， 每小段最長(zhǎng)多少厘米兩根鐵絲，一根16厘米，一根28厘米，把它們剪成同樣長(zhǎng)的小段，沒(méi)有剩余，每小段 最長(zhǎng)多少厘米（

16、3）趙阿姨買回一條 50分米長(zhǎng)的紅彩帶和一條 43分米長(zhǎng)的綠彩帶，分別把它們裁成同樣 長(zhǎng)的小段，結(jié)果紅彩帶剩余2分米，綠彩帶剩余3分米。所裁成的小段最長(zhǎng)是多少分米分別 能裁成多少段這樣長(zhǎng)度相等的小段（4）五（2）班男生30人，女生25人,把它們分成若干小組，如果每組中男生人數(shù)相同，女生人數(shù)也相同，最多可以分成幾個(gè)小組每組中的男生和女生各多少人（5）有36支鉛筆和40本練習(xí)本平均獎(jiǎng)給幾個(gè)三好學(xué)生，結(jié)果鉛筆多1支，練習(xí)本多2本,得獎(jiǎng)的三好學(xué)生至少有多少人（6）按要求寫出兩個(gè)數(shù)，使最大公因數(shù)是1兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)：（）和（）兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)：（）和（）一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)：（）和（）九、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)幾

17、個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫作這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。方法：先寫出較大的數(shù)的倍數(shù)，再?gòu)闹姓页瞿男┮彩禽^小數(shù)的倍數(shù)。例1、3和4的公倍數(shù)有哪些其中最小的是幾注意：1、公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，所以在沒(méi)有限制的條件下在后面要加省略號(hào)。2、幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)中最小的一個(gè)叫做這個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。最小公倍數(shù)只有1個(gè)。3、找最小公倍數(shù)可以用短除法，所有質(zhì)因數(shù)的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。練習(xí)：找出下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)。10和4 6 和8 5 和10 4 和9 12 和10 16 和44、兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)的積。例2、找出下列每組數(shù)的最小公倍數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么（1） 5和6 11 和8 3 和

18、4 7 和4發(fā)現(xiàn)：互質(zhì)關(guān)系，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的積。反之，最小公倍數(shù)是積，這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。（2） 3 和 6 7 和 21 4 和 8 1 和 10發(fā)現(xiàn)：倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是大數(shù)。反之最小公倍數(shù)是大數(shù)，這兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系。練習(xí)：（1）找出下列每組數(shù)的最小公倍數(shù)（注意利用互質(zhì)和倍數(shù)關(guān)系快速計(jì)算，或用短除法）3和7 13 和39 5 和22 4 和12 2 和16 12 和48 9 和47 和 14 14 和 56 77 和 44 24 和 36（2）判斷：兩個(gè)不同合數(shù)的最小公倍數(shù)一定不是這兩個(gè)數(shù)的乘積。（）兩個(gè)不同素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的乘積。（）兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)都大。（）兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。（）如果A+ B=7,那么A, B的最小公倍數(shù)就是 A。（）兩個(gè)數(shù)的乘積是這兩個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)。（）72 是倍數(shù)。（）所有的質(zhì)數(shù)都是偶數(shù)，所有的合數(shù)都是奇數(shù)。（