上海高二數(shù)學(xué)矩陣及其運(yùn)算有詳細(xì)答案

1、矩陣及其運(yùn)算一.初識(shí)矩陣 (一)引入：uur引例1：已知向量OP1,3 ,如果把OP的坐標(biāo)排成一列，可簡(jiǎn)記為引例2: 2008年北京奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜前三位成績(jī)?nèi)缦卤?我們可將上表獎(jiǎng)牌512128363836 ;2321282x3:將方程組3x4x（二）矩陣的概念1、上述形如2、在矩陣中,b1b2bn獎(jiǎng)項(xiàng) 國(guó)家(地金牌銀牌銅牌中國(guó)512128美國(guó)363836俄羅斯2321283y2ymz4znz若將常數(shù)項(xiàng)增加進(jìn)去,5136232138212836 、28水平方向排列的數(shù)組成的向量中未知數(shù)x, y, z的系數(shù)按原來的次序排列則可簡(jiǎn)記為:可簡(jiǎn)記為這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。耳e2,an稱為行向量;垂直方向排

2、列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由m個(gè)行向量與n個(gè)列向量組成的矩陣稱為n階矩陣，m n階矩陣可記做51Am n,如矩陣1為2 1階矩陣，可記做 A21;矩陣363232138212836為3 3階矩陣，可記做A3 3。28有時(shí)矩陣也可用 A、B等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)m n階矩陣Am n中的第i (i m)行第j ( j n)21 o0 0，人為一個(gè)2 3階零矩陣。0 05、當(dāng)一個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時(shí),這個(gè)矩陣稱為方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣，一個(gè)方陣有n行（列），可稱此51方陣為n階方陣，如矩陣 3621 2838 36、均為三階方陣。在一個(gè) n階方陣中，從左2321 28上

3、角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為1,其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣110,_八_為2階單位矩陣，矩陣 00 100為3階單位矩陣。6、如果矩陣 同階矩陣, A B 。A與矩陣B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么A與B叫做同階矩陣；如果矩陣A與矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣A與矩陣B叫做相等的矩陣，B是記為7、對(duì)于方程組2x3x3y2ymz 14z 2中未知數(shù)x, y,z的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣4xnz 44 ,我們叫做方程組的 系數(shù)矩陣；而矩陣 312叫做方程組的 增廣矩陣。51 21 28列數(shù)可用字母a。表示，如矩陣 36 38 36第3行第

4、2個(gè)數(shù)為a3223 21 284、當(dāng)一個(gè)矩陣中所有元素均為 0時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為 零矩陣。如00階段 姓名第1組第2組第3組第4組總成績(jī)張娟娟26272928110樸成賢29262628109一 2 x例2、已知矩陣A, B2x a 2b2a且A B ,求a、b的值及矩陣A。 y（三）、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟與對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī) 表：（1）將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出其實(shí)際意義。例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣:2x 3y 1(1) ;4x y 6(2)2x2y3y3z2z 5 0(2)例4、已

5、知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的方程組:(1)例5、已知矩陣sincos為單位矩陣，且sincos, ，求 sin 2的值。（四）、課堂練習(xí)：1、請(qǐng)根據(jù)游戲“剪刀、 則為0）。石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)3階方陣（勝用1表示，車用 1表示，相同2、奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在 中國(guó)平新西蘭1 ： 1 巴西勝新西蘭5 : 0（1）試用一個(gè)4階方陣表示這C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下:巴西勝比利時(shí)1 ： 0中國(guó)負(fù)巴西0 : 34個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù);（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分,中國(guó)負(fù)比利時(shí)0 ： 2比利時(shí)勝新西蘭0 ： 1（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)：新西蘭為順序排列）試寫出一個(gè)4

6、階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（ 各隊(duì)名次。二、矩陣的三種基本變換1）、（2）兩個(gè)矩陣確定（一）、復(fù)習(xí)引入：弓I例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程組解的關(guān)系,從中你能得到哪些啟發(fā)?(1)(2)1(3)1(4)(二)32136、矩陣的三種基本變換(5)新課講解:1361(6)013(1)(2)(3)通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：互換矩陣的兩行；把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。顯然，通過以上三個(gè)基本

7、變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后 一個(gè)列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價(jià)值132元，每公斤一元硬幣價(jià)值 165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣,總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組例3、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組:ax2x4x7x5x3y 2 y b3y2y2y3z54的解。(a、b為常數(shù))說明:(1)符合情況i)時(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交；(2)符合情況ii)時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無解；(3)符合情況ii

8、i)時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無窮多解。(四)、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問題:(1)若方程組 x y 2的解x與y相等，求k的值。(k 1)x (k 1)y 4(3)解方程組:第二次稱量(2)有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡, 如果每只祛碼質(zhì)量均為 5克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？三、矩陣運(yùn)算(對(duì)從實(shí)際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們?cè)谑?么條件下可以進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容1 .相等定義如果兩個(gè)矩陣A30 mn(1)(2)則稱矩

9、陣行、列數(shù)相同，即 對(duì)應(yīng)元素相等，即 A與矩陣B相等,m s, na。bj (P；=1,2,，m； j = 1,2,，n ),(由矩陣相等定義可知, 矩陣記作 A = B同等式表示兩個(gè)n矩陣相等，等價(jià)于元素之間的 m n個(gè)等式.)例如,“ a11A=321a12a13a22a23那么A = B,當(dāng)且僅當(dāng)311 = 3 , 312 = 0,313 = -5a2i = -2322 = 1C= G1 G2C21c22C11, C12,C21,C22取什么數(shù)都不會(huì)與矩陣B因?yàn)锽 C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣 C中的元素 相等.2.加法定義2.3設(shè)A20，Bbiij s p是兩個(gè)m n矩陣,則稱

10、矩陣a2n6nb2nC二ana2i3b21a12 a22bl2b22為A與B的和，記作am1bm1am2bm2amnbmnaijbij.)（由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算同樣，我們可以定義矩陣的減法:B = A + (- B ) = aijbj稱D為A與B的差.例1設(shè)矩陣A =34-，求 A + B, A - 1例2、矩陣Acoscostantantan tan101(0, 2)，(2,)，求sin 恐的值。矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么?3.數(shù)乘為任意實(shí)數(shù)，則稱矩陣C 0為數(shù)定義2.4 設(shè)矩陣Aa.ij m n '與矩陣A的數(shù)乘，其中Cijaj (i

11、 1,2, ,m;j 1,2, n),記為C = A.特別地，當(dāng) =-1（由定義2.4可知，數(shù) 乘一個(gè)矩陣A,需要用數(shù) 去乘矩陣A的每一個(gè)元素 時(shí)， A = - A,得到A的負(fù)矩陣.）3例3設(shè)矩陣A =475 ,用2去乘矩陣A,求2A.數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么?對(duì)數(shù)k , l和矩陣A = aH, B = bii滿足以下運(yùn)算規(guī)則:ij m nij m n1.數(shù)對(duì)矩陣的分配律：k （ A + B ） = kA + kB；例4設(shè)矩陣A =50 , B=832 ，求 3A - 2 B.7例5 .給出二元一次方程組a1x b1ya2x b2yc1存在唯一解的條件。C24.乘法某地區(qū)甲、乙、丙三家商場(chǎng)

12、同時(shí)銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場(chǎng)銷售這兩種家用電器的日平均銷售量(單位：臺(tái)),用B表示兩種家用電器的單位售價(jià)(單位：千元)和單位利潤(rùn)(單位：千元)：III單價(jià)利潤(rùn)20102511183.5 B=50.81.2III用矩陣C = cj 3 ,表示這三家商場(chǎng)銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤(rùn)，那么C中的元素分別為3 2總總收利入潤(rùn)20 0.8 10 1.225 0.8 11 1.218 0.8 9 1.2c11g2203.5105C =c21c22=253.5115C31c32183.59512028142.5133.210825.2其中，矩陣C中的第 行第j列的元素是矩陣 A

13、第行元素與矩陣B第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和矩陣乘積的定義設(shè)A=aij是一個(gè)ms矩陣，B= bj是一個(gè)sn矩陣，則稱m n矩陣C = cj為矩陣 A與 B 的乘積，記作 C= AB 其中 Cij = ai1b1 j + a2b2 j + + a s bs j =(= 1, 2,m j = 1,2,，n ).(由矩陣乘積的定義可知：)(1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣 B的行數(shù)時(shí)，A B才能作乘法運(yùn)算AB；(2) 兩個(gè)矩陣的乘積 AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣 A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣 B的列數(shù);(3) 乘積矩陣AB中的第 行第j列的元素等于 A的第 行元素與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，

14、故簡(jiǎn)稱行乘列的法則.8 ,計(jì)算AB10例7設(shè)矩陣A=由例6、例7可知當(dāng)乘積矩陣 AB有意義時(shí),求AB和BABA不一定有意義；即使乘積矩陣 AB和BA有意義時(shí),例6設(shè)矩陣A=AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí)， 一定要注意乘法的次序， 不能隨意改變.在例6中矩陣A和B都是非零矩陣(A O B O ),但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個(gè)零矩陣 (AB = Q,即兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣 .因此，當(dāng)AB= Q不能得出A和B中至少有一個(gè)是零 矩陣的結(jié)論.一般地，當(dāng)乘積矩陣 AB= AC且A O時(shí)，不能消去矩陣 A而彳#到B= C這說明矩陣乘法也不滿 足消去律

15、.那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢?一 八 0 11,例8：已知A，矩陣B ，求AB。1 02“2 、一，1 ，-解：AB ,這可以看作向重 經(jīng)過矩陣變換為向重12對(duì)稱。變換后的向量與原向量關(guān)于直線_10練習(xí)：已知A,矩陣B01,(1)求AB; (2)說明矩陣 A對(duì)向量B產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí)：計(jì)算下列矩陣的乘法b1b2(1) (a1a2 L 4) L2 ; (2)bna2L(bb2 Lbn)。例9、已知矩陣Af(x) , B x 1 x , Cx,若A=BC求函數(shù)f(x)在1,2 上的最小值. 2a例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式2x y 3z 12x y 1(1); 4x 2y 3

16、z 1。4x 3y 72x y 4z 1例11：若ABBA,矩陣B就稱為與 A可變換，設(shè) A,求所有與 A可交換的矩陣?yán)?12、A1 0 12 0 ,求 Ak (k 2,3, ).111.0. n *練習(xí)：設(shè)A 0 ，求A2、A3，猜測(cè)An（n N ）并證明。5.轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置的定義把將一個(gè)m n矩陣a1a2a1na21a22a2nam1am 2amn的行和列按順序互換得到的n mt陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A ,即a11 a21am1Aa12 a22am2A =an a2namn簡(jiǎn)記為由定義2.6可知，轉(zhuǎn)置矩陣 A的第 行第j列的元素等于矩陣 A的第j行第 列的元素, A的（，j）元=A的（j

17、 ,）元矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)則：1. （A） = A;2. （A B） =A + B ；3. （kA） = kA , （k 為實(shí)數(shù)）；4. （AB） =B A .高二A數(shù)學(xué)講義第十八講（130812）課后作業(yè)（本試卷共19題，時(shí)間45分鐘，滿分100分）班級(jí)：姓名：一、選擇題（每小題4分，共15個(gè)小題，共60分）1、“兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件D 、既不充分又不必要條件2x 3y 2升日2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組，其中正確的是（x 2y 1232 x 2D 、12 1 y 11420 ,且2A 3X

18、B,則矩陣X5324、點(diǎn)A (1 , 2)在矩陣02對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是1-0 0a 口人 °5、已知是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，那么 a+b= .0 2b6、若點(diǎn)A，.2 a(2,2、 cos）在矩陣sinsin對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1 , 0）,那么acos7、若點(diǎn)A在矩陣2對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（22, 4）,那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為8、已知cos sincossin129、設(shè)A為二階矩陣,其元素滿足,a a ij ji0 i=12,j=12,且a12 a212,那么矩陣人=A+AB=11、一個(gè)線性方程組滿足,系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行3列的矩陣

19、（1,2, 1）,那么該線性方程組12、計(jì)算：若矩陣Acos60sin60sin60cos6012322 ，則 AB12113、計(jì)算：'114.線性方程組,增廣矩陣是x y 6 0對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣是3x 5y 4 015、已知矩陣21 , B ( 1,2),30 ,則(AB)C2二、簡(jiǎn)答題1.已知A,分別計(jì)算A2、A3,猜測(cè)An (n 2, n）；2.3.4、3x2x已知矩陣2y 11f(x)sin x cosx 2sin x , Ccosx,若A=BC求函數(shù)sin xf(x)在叼將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解上的最小值.老師講義130812)2013年暑期高二A數(shù)

20、學(xué)講義第十八講（ 矩陣及其運(yùn)算一.初識(shí)矩陣 （一）引入：，引例1：已知向量uurOP1,3,如果把OP的坐標(biāo)排成一列，可簡(jiǎn)記為引例我們可將上表獎(jiǎng)牌512128363836 ;232128獎(jiǎng)項(xiàng) 國(guó)家（地由金牌銀牌銅牌中國(guó)512128美國(guó)363836俄羅斯2321282x 3y mz 1引例3:將方程組3x 2y 4z 2中未知數(shù)x,y,z的系數(shù)按原來的次序排列，可簡(jiǎn)記為4x y nz 42 3m3 24;若將常數(shù)項(xiàng)增加進(jìn)去，則可簡(jiǎn)記為:4 1 n(二)矩陣的概念2 3m32441 n51 21 28，一 11、上述形如、36 38 36323 21 283m1242這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。1n

21、42、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量a),a2, an稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量b1b2稱為列向量；由m個(gè)行向量與n個(gè)列向量組成的矩陣稱為m n階矩陣，m n階矩陣可記做bn2836為3 3階矩陣，可記做A332851 21Am n,如矩陣1為2 1階矩陣，可記做 A21；矩陣36 3823 21有時(shí)矩陣也可用 A、B等字母表示。3、矩陣中的每一個(gè)數(shù)叫做矩陣的元素，在一個(gè)m n階矩陣Am n中的第i (i m)行第j ( j n)51 21 28列數(shù)可用字母aij表示，如矩陣 36 38 36第3行第2個(gè)數(shù)為a32 21。23 21 28，人， 工,-0000，人4、當(dāng)一個(gè)矩

22、陣中所有元素均為0時(shí)，我們稱這個(gè)矩陣為 零矩陣。如為一個(gè)2 3階零矩陣。0 0 0上角到右下角所有元素組成對(duì)角線，如果其對(duì)角線的元素均為5、子-個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時(shí)，這個(gè)矩陣稱為5121282方陣為n階方陣，如矩陣 363836、32321284方矩陣，簡(jiǎn)稱方陣，一個(gè)方陣有n行(列)，可稱此3 m2 4 均為三階方陣。在一個(gè) n階方陣中，從左1 n1,其余元素均為零的方陣，叫做 單位110, 一八，二八二矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣 00 106、如果矩陣 A與矩陣B的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么0 01 0為3階單位矩陣。0 1A與B叫做同階矩陣；如果矩陣 A與矩陣B是同階矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)

23、它們對(duì)應(yīng)位置的元素都相等時(shí)，那么矩陣A B 。對(duì)于方程組A與矩陣B叫做相等的矩陣，記為2x 3y mz 13X 2y 4z 2中未知數(shù)x, y,z的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣4x y nz 43m224 ,我們叫做方程組的 系數(shù)矩陣；而矩陣 31n43m1242叫做方程組的 增廣矩陣。1n 4、各階段第1組第2組第3組第4組總成績(jī)p張娟娟262729；28110樸成賢29262628109(三)、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國(guó)第一位奧運(yùn)會(huì)射箭比賽金牌得主張娟娟與對(duì)手韓國(guó)選手樸成賢在決賽中的各階段成績(jī) 表：(1)將兩人的成績(jī)各階段成績(jī)用矩陣表示；(2)寫出行向量、列向量，并指出其實(shí)際意義。左26

24、 27 29 28 110解：(1)29 26 26 28 109ur(2)有兩個(gè)行向量，分別為：a126 27 29 28 110 ,uuua229 26 26 28 109 ,它們分別表示兩位運(yùn)動(dòng)員在決賽各階段各自成績(jī)；ir26uu 27ur 29uuu 28ur 110有五個(gè)列向量，分別為b,b2,b3,b4,b529262628109它們分別表示兩位運(yùn)動(dòng)員在每一個(gè)階段的成績(jī)。2 x例2、已知矩陣A, B2x a 2b2aB ,求a、b的值及矩陣A。x , 口ax y 2 , /口 x解：由題息知：解得：2x yy例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：b 2aa 2b解得:14(1)2x

25、3y 14x y 6x 2y 3z 2 0(2)x 3y 2z 5 02x y z 3 0(2)1左2解：（1）4例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的方程組:(2)(1)解：（1）2x3y2y(2)例5、已知矩陣sincos2x3y3xy2z2zsin為單位矩陣，且的值。解：由單位矩陣定義可知:cossincossincos.2sinsinO2（四）、課堂練習(xí):1、請(qǐng)根據(jù)游戲則為0）?！凹舻?、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個(gè)3階方陣（勝用1表示，車用 1表示，相同0解：1（2）若勝一場(chǎng)可得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分, 列順序與（1）相同）中國(guó)負(fù)比利時(shí)0 ： 2比利時(shí)勝新西蘭0 ：

26、1（以中國(guó)、巴西、比利時(shí)、新西蘭為順序排列）試寫出一個(gè)4階方陣表示各隊(duì)的得分情況；（排2、奧運(yùn)會(huì)足球比賽中國(guó)隊(duì)所在 中國(guó)平新西蘭1 ： 1 巴西勝新西蘭5 : 0（1）試用一個(gè)4階方陣表示這C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下:巴西勝比利時(shí)1 ： 0中國(guó)負(fù)巴西0 : 34個(gè)隊(duì)之間的凈勝球數(shù);（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分, 各隊(duì)名次。同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個(gè)矩陣確定“3解：(1)2(2)3， 一 一，一 一、，（3）名次為巴西、比利時(shí)、中國(guó)、新西蘭。3二、矩陣的三種基本變換（一）、復(fù)習(xí)引入:弓I例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)線性方程

27、組解的 關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？(1)(2)(3)1(4)0132 2113661 08(5)八 113066(6)1 0 80 1 13解：這些方程組為2x y 33x 2y 2133x 2y 2 x 2y 22x y 322x y 331x 2y16y136x 8113；x 8y 13這些增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。（二）、矩陣的三種基本變換 新課講解：通過上面練習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個(gè)有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個(gè)非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個(gè)數(shù)加到另一行。顯然，通過以上三個(gè)基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成

28、單位矩陣，這時(shí)增廣矩陣的最后 一個(gè)列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價(jià)值 132元，每公斤一元硬幣價(jià)值 165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣,總數(shù)共計(jì)462個(gè)，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個(gè)？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）x y 462解：設(shè)一元硬幣有 x個(gè)，五角硬幣有 y個(gè)，則根據(jù)題意可得:x 0.5y165 13211462則該方程組的增廣矩陣為A11,設(shè)、分別表示矩陣 A的第1、2行，對(duì)矩2165 264陣A進(jìn)行下列變換:-加到5不變11462-11462332 一'1166165 26458404621323不變1 1 462（1）加到 1 0

29、 1100 1 3520 1 352由最后一個(gè)矩陣可知:x 110y 352答：一元硬幣有110個(gè)，五角硬幣有 352個(gè)。4x 3y z 5例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組7x 2y z 4 的解。5x 2y 3z 8431 5解：此方程對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為:7214523 84315加到1150972143加到721145238不變264020設(shè)此矩陣第1、2、3行分別為、，對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換:（2）加到（5）加到不變11 5 0 97 2 1400162 6 0 16、不變2132132032431竺430 10 436加到cc32“0 0瓦（13）加到432016不變105交換、不變

30、32437436643此方程組的解為32437436643說明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個(gè)行向量所對(duì)應(yīng)的方程只有一個(gè)變量;2、在變換過程中，實(shí)際為加減消元的過程,化簡(jiǎn)運(yùn)算。此過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)某绦蜻M(jìn)行例3、運(yùn)用矩陣變換方法解方程組:ax 3y2x y2（ a、b為常數(shù)） b解：此方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為:,設(shè)、分別表示此矩陣的第1、2行,對(duì)此矩陣進(jìn)行下列變換:3加到不變0 2 3bi)當(dāng) a 6 0,6時(shí)，以上矩陣可作如下變換:不變2 3ba 6b(1)不變2 3ba 64 aba 6（2）加到不變此時(shí)方程有唯一解ii)當(dāng) a 66時(shí)，若23b20即b 時(shí), 3iii)

31、當(dāng) a 66時(shí)且b2 3ba 6ab 42 3ba 64 aba 6方程組無解;2時(shí)，方程組有無窮多解，它們均符合36x3y 2 0。說明：（1）符合情況i）時(shí)，方程組有唯一解，此時(shí)兩個(gè)線性方程所表示的直線相交；（2）符合情況ii）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線平行，此時(shí)方程組無解；（3）符合情況iii）時(shí)，兩個(gè)線性方程所表示的直線重合，此時(shí)方程組有無窮多解。（四）、課堂練習(xí)：用矩陣變換方法解下列問題：(1)x若方程組（ky 2 1)x(k1)y的解x與4y相等，求k的值。解:2k解得1，口,由題息知:kk求得：k2。有黑白兩種小球各若干個(gè)，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好

32、平衡,如果每只祛碼質(zhì)量均為 5克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克?第一次稱量第二次稱量x 2y 53x y 10解：設(shè)黑球和白球的質(zhì)量各為 x、y千克，則由題意知:通過矩陣變換1 2 53 1 108z 1055151125012226x 10 113112 50 6 1 13125103011011解得：黑球每個(gè)3千克，白球每個(gè)1千克。3x 2y z 0(3)解方程組：x y 2z 55x 7 y3210解：112 5578110 0 1010 2即方程組的解為y2。00 11z1三、矩陣運(yùn)算(對(duì)從實(shí)際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個(gè)矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們?cè)谑?么條件下可以

33、進(jìn)行何種運(yùn)算，這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容1 .相等定義如果兩個(gè)矩陣A aj, B bj 滿足：j m n)f s p(1) 行、列數(shù)相同，即 ms, np；(2) 對(duì)應(yīng)元素相等，即aij =bj (= 1,2,，3j = 1,2,，n ),則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A = B(由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個(gè)m n矩陣相等，等價(jià)于元素之間的m n個(gè)等式.)例如,矩陣A=那么A = B,當(dāng)且僅當(dāng)an = 3 ,而ana12a13a21a22a23212 = 0,a13 = -5a21 = -2a22 = 1c G1C12C二C21C22所以無論矩陣C中的元素C11

34、, C12,C21,C22取什么數(shù)都不會(huì)與矩陣B因?yàn)锽 C這兩個(gè)矩陣的列數(shù)不同, 相等.2.加法定義2.3設(shè)Aajmn，Bbj sp是兩個(gè)m n矩陣，則稱矩陣為A與B的和，記作anb11a12bl2an"na21b21a22b22a2nb2nam1bm1am2bm2amnbmnC=C = A + B =aijbij（由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個(gè)矩陣，才能作加法運(yùn)算.)同樣，我們可以定義矩陣的減法:A + (-a.b.ij ij稱D為A與B的差.例1設(shè)矩陣A =32例2、矩陣A(0, 2)B,cos costan2)03)2)03)tantantan2101(-,)，

35、求 sin 2的值。3(0,-)22解：由A+B=C知:cos a cos 210tan a1-tan+ tana tan=-1;=7tan(tan tan1 tan tank ,k由于(2, )知:從而sin(2 /)-；cos(10矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么?3.數(shù)乘為任意實(shí)數(shù)，則稱矩陣 C定義2.4設(shè)矩陣Aajmn，Gj m n為數(shù) 與矩陣A的數(shù)乘，其中 隊(duì) a。(i 1,2，, m; j 1,2, n),記為(由定義2.4可知，數(shù)乘一個(gè)矩陣C = AA需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個(gè)元素.特別地，當(dāng) =-1時(shí)， A = - A,得到例3設(shè)矩陣A的負(fù)矩陣.)那么，用2去乘矩陣A可以得到4)2

36、1)0141012數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)則是什么?24B =32 ，求 3A - 2 B.3例4設(shè)矩陣A = 5解先做矩陣的數(shù)乘運(yùn)算3A 和 2B,然后求矩陣3A與2B的差.(2)3 0153A = 35313 6318(3)2161)143 A - 2 B=15161418例5 .給出次方程組a1xa2xbyb2yC1c2解：原方程組可以表示成a2存在唯一解的條件。，其中a1 a?c2理可知，當(dāng)向量a1a2bib2不平行時(shí),向量C1c2可表不成向量aia2是三個(gè)列向量，由平面分解定b 岫的線性組合，且系數(shù)x、y唯b2,那么對(duì)應(yīng)的方程組有存在唯一解，即aba2bl 。A表示各商場(chǎng)銷售這兩種家4.

37、乘法某地區(qū)甲、乙、丙三家商場(chǎng)同時(shí)銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣用電器的日平均銷售量（單位：臺(tái)）,用B表示兩種家用電器的單位售價(jià)（單位：千元）和單位利潤(rùn)（單位：千元）：III單價(jià)利潤(rùn)用矩陣C =其中，矩陣20251810113.5 B=50.81.2IIIQ。表示這三家商場(chǎng)銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤(rùn)，那么 3 2120142.5108c11c12203.5105200.8101.2c21C22=:253.5115250.8111.2c31c32183.595180.891.2C =2833.225.2C中的元素分別為C中的第行第j列的元素是矩陣行元素與矩陣B第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和

38、矩陣乘積的 定義 設(shè)A= aj是一個(gè)m s矩陣,B=bij 是一個(gè) sn矩陣，則稱m n矩陣C = cj(=1, 2,為矩陣A與B的乘積，記作 C= AB其中cj = ah j + a2b2 j + a s bs j =mi j = 1,2,，n ).(由矩陣乘積的定義可知：)(1) 只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣 B的行數(shù)時(shí)，A B才能作乘法運(yùn)算AB;(2) 兩個(gè)矩陣的乘積 AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣 A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣 B的列數(shù);乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于 A的第 行元素與B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和,故簡(jiǎn)稱行乘列的法則.例6設(shè)矩陣A=810,計(jì)算AB解 AB=9

39、87 102 9 ( 1) (7)4 9 0 ( 7)2 ( 8) ( 1) 104 ( 8)10252636323 9 5 ( 7)3 ( 8) 5 10826在例6中，能否計(jì)算BA>由于矩陣B有2歹U,矩陣A有3行，B的列數(shù) A的行數(shù)，所以BA是無意義的例7設(shè)矩陣A=2, 求AB和BA 1解AB=2 24 ( 1)2 (12 2(1)1 (2) 4 1 _ 0 02) 2 10 0(2) 1 2 4 ( 2) 22 1 114 1222 2 42 2BA=11121由例6、例7可知，當(dāng)乘積矩陣 AB有意義時(shí),BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時(shí),定要注意乘法的次序,在例6

40、中矩陣A和B都是非零矩陣(A O BO),但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個(gè)零矩陣(AB = Q,即兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當(dāng)AB= Q不能得出A和B中至少有一個(gè)是零矩陣的結(jié)論般地，當(dāng)乘積矩陣 AB= AC且A O時(shí)，不能消去矩陣A而彳#到B= C這說明矩陣乘法也不滿AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進(jìn)行矩陣乘法時(shí),不能隨意改變足消去律.那么矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算規(guī)則呢?矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)則：1. 乘法結(jié)合律2. 左乘分配律(AB C= A(BC;A (B + C) = AB+ AC右乘分配律3. 數(shù)乘結(jié)合律例8:已知解：AB(B + C) A = BA

41、+ CAk (AB)= (k A) B = A (k B),其中 k 是一個(gè)常數(shù).這可以看作向量1-，求 AB。2經(jīng)過矩陣變換為向量2 。變換后的向量與原向量關(guān)于直線1對(duì)稱。練習(xí):已知(1)求 AB;(2)說明矩陣 A對(duì)向量B產(chǎn)生了怎樣的變換。練習(xí):計(jì)算下列矩陣的乘法(1)(aa2an)b1 b2 La2 L(b1b2bn)°bnan解：略解(1)列;例9、已知矩陣f(x)2a,若A=BC求函數(shù)f(x)在1,2 上的最小值解：.BC=x=x22a2a(1x) , Af(x)f(x) x22ax 2a (xa)22a a21,2函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為f(2)4 2a .當(dāng)1w

42、av2時(shí)，函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為f(a) 2a a2.當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f (x)在1,2上的最小值為f(1)1 f (x)min 2a2a2a(a(1 a(a2)2)1)點(diǎn)評(píng)：(1)本題運(yùn)用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個(gè)矩陣相等的充要條件;(2)求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論例10:將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式2x y 1(1),4x 3y(2)解：（1）例11：若ABBA,矩陣解：設(shè)與A可交換的矩陣BAa11a!1&212、2x4x2xa21a21a22y2y(2)3z3z4zB就稱為與 A可變換,anABA2,則AB a22a11,

43、求所有與 A可交換的矩陣B。a12a22a11a11a110a11am解:A2BA,得 a21a12a22a21a11,解得 a12a210a11a22a21a22a12取任意實(shí)數(shù)時(shí)，所得的矩陣與A可交換。(k2,3,)022可以利用數(shù)學(xué)歸納法證得:Ak20k練習(xí)：設(shè)A，求A2、A3,猜測(cè)An(n）并證明。解：A2 AAA3A2AAn1 n e ,，一 ,用數(shù)學(xué)歸納法證明。0 15.轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置的定義把將一個(gè)m n矩陣a!1a!2a1nA a21A =a22a2n的行和列按順序互換得到的 n mg陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A ,即am1am2amna11a21am1A =%a22am2a2namn由定義2.6可知，轉(zhuǎn)置矩陣 A的第 行第j列的元素等于矩陣 A的第j行第 列的元素，簡(jiǎn)記為A的（，j）元=A的（j ,）元矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)則：1. (A) = A;2. (A B) =A + B ;3. （kA） = kA , （ k