.直角三角形的邊角關(guān)系

1、 直角三角形的邊角關(guān)系適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域北師大版本課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）120分鐘知識(shí)點(diǎn)銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形及應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)復(fù)習(xí)和鞏固三角函數(shù)的關(guān)系，聯(lián)系勾股定理教學(xué)重點(diǎn)1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切和余切的意義，并能舉例說(shuō)明；2.能用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形兩邊的比；3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切。教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)勾股定理，復(fù)習(xí)直角三角形邊與角的關(guān)系，學(xué)會(huì)掌握為什么是0.618，臺(tái)風(fēng)問(wèn)題等等二、知識(shí)講解1.直角三角形的邊角關(guān)系（如圖）（1）邊的關(guān)

2、系（勾股定理）： ；（2）角的關(guān)系： =C=900；（3）邊角關(guān)系： ：銳角三角函數(shù)： A的 =；A的 = ,A的 =注：三角函數(shù)值是一個(gè)比值2.三角函數(shù)的大小比較(1) 同名三角函數(shù)的大小比較正弦、正切是增函數(shù)三角函數(shù)值隨角的增大而 ，隨角的減小而 余弦、余切是減函數(shù)三角函數(shù)值隨角的增大而 ，隨角的減小而 。(2) 異名三角函數(shù)的大小比較tanASinA，由定義知tanA= ，sinA= ；因?yàn)閎c，所以tanAsinAcotA cosA由定義知cosA= ，cotA= ；因?yàn)?ac，所以cotAcosA若0 A45，則cosAsinA，cotAtanA；若45A90，則cosAsinA，c

3、otAtanA3、運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題1、實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)的意義：仰角與俯角：在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下往上看，視線與 的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做 .如圖1. 坡角與坡度：坡面與 的夾角叫做坡角，圖2中的 是坡角；坡面的垂直高度h和 的比叫做坡度.即坡度3、 例題精析【例1】等腰三角形底邊長(zhǎng)為10，周長(zhǎng)為36cm，那么底角的余弦等于（ ） （A） （B） （C） （D）課堂訓(xùn)練題在ABC中，若三邊BC ,CA,AB滿足 BC：CA：AB=5：12：13，則cosB= （ ）A. B. C. D.【例2】已知，且A為銳角，則A=（ ）A.30 B.4

4、5 C.60 D.75課堂訓(xùn)練題cos30=( )A.B. C.D.【例3】王英同學(xué)從A地沿北偏西60方向走100 m到B地，再?gòu)腂地向正南方向走200 m到C地，此時(shí)王英同學(xué)離A地 （）（A） m （B）100 m （C）150 m （D） m 【解題思路】作出如圖所示的圖形，則BAD906030，AB100，所以BD50，cos30，所以AD50，CD20050150，在RtADC中，AC100.課堂訓(xùn)練題在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小霞同學(xué)從營(yíng)地點(diǎn)出發(fā)，要到距離點(diǎn)的地去，先沿北偏東方向到達(dá)地，然后再沿北偏西方向走了到達(dá)目的地,此時(shí)小霞在營(yíng)地的（ ）A. 北偏東方向上 B. 北偏東方向上 C. 北

5、偏東方向上 D. 北偏西方向上【例4】如圖，已知ABC中，ABC=45，F(xiàn)是高AD和BE的交點(diǎn)，CD=4，則線段DF的長(zhǎng)度為( )A B4 C D課堂訓(xùn)練題如圖6-32，在菱形ABCD中，ADC=120，則BDAC等于（ ） （A） （B） （C）12 （D） 【例5】如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45,則船與觀測(cè)者之間的水平距離BC= 米課堂訓(xùn)練題如圖，孔明同學(xué)背著一桶水，從山腳出發(fā)，沿與地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（處），米，則孔明從到上升的高度是 米【例6】如圖，某高速公路建設(shè)中需要確定隧道AB的長(zhǎng)度.已知

6、在離地面1500 m，高度C處的飛機(jī)，測(cè)量人員測(cè)得正前方A、B兩點(diǎn)處的俯角分別為60和45，求隧道AB的長(zhǎng).OA， OB=OC=1500， AB=(m).即隧道AB的長(zhǎng)約為635m. 課堂訓(xùn)練題ACDBEFG某興趣小組用高為1.2米的儀器測(cè)量建筑物CD的高度如示意圖，由距CD一定距離的A處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為，在A和C之間選一點(diǎn)B，由B處用儀器觀察建筑物頂部D的仰角為測(cè)得A，B之間的距離為4米，試求建筑物CD的高度 【例7】如圖，一條小船從港口出發(fā)，沿北偏東方向航行海里后到達(dá)處，然后又沿北偏西方向航行海里后到達(dá)處問(wèn)此時(shí)小船距港口多少海里？（結(jié)果精確到1海里）友情提示：以下數(shù)據(jù)可以選用

7、：，解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為點(diǎn)，則四邊形為矩形， ，； ，； ，由勾股定理，得即此時(shí)小船距港口約25海里.課堂訓(xùn)練題如圖所示，MN表示某引水工程的一段設(shè)計(jì)路線，從M到N的走向?yàn)槟掀珫|，在M的南偏東方向上有一點(diǎn)A，以A為圓心，500米為半徑的圓形區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，則MN上另一點(diǎn)B，測(cè)得BA的方向?yàn)槟掀珫|.已知米，通過(guò)計(jì)算回答，如果不改變方向，輸水路線是否會(huì)穿過(guò)居民區(qū)？【例8】如圖，某貨船以20海里/時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí)，接到氣象部門(mén)通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里/時(shí)的速度由A向北偏西60方向移動(dòng).距臺(tái)風(fēng)中心2

8、00海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會(huì)受到影響.（1） 問(wèn)B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2） 為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物？（供選用的數(shù)據(jù)：1.4，1.7）【參考答案】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BDAC，垂足為D.依題意得：BAC=30，RtABD中，BD=AB=2016=160200， B處會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響.（2）以點(diǎn)B為圓心，200海里為半徑畫(huà)圓交AC于E、F（如圖），由勾股定理可求得：DE=120，AD=160，AE=ADDE=160120， =3.8（小時(shí)）該船應(yīng)在3.8小時(shí)內(nèi)卸完貨物.課堂訓(xùn)練題如圖，某船以每小時(shí)36海里的速度向正東航行，在A點(diǎn)測(cè)得該島在北偏東60方

9、向上，航行半小時(shí)后到B點(diǎn)，測(cè)得該島在北偏東30方向上，已知該島周?chē)?6海里內(nèi)有暗礁.（1） 試說(shuō)明B點(diǎn)是否在暗礁區(qū)域外；（2） 若繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由.課后自我檢測(cè)A類題（10道題）1.在RtABC中，C90，若，則sinA（ ）A. B. C. D.2.在ABC中，C90，AB2，BC，則tan .3.計(jì)算的值是（ ）A. B. C. D.4.在RtABC中，C90，AC6，則BC的長(zhǎng)為（ ） A.6 B.5 C.4 D.25. ABC中，A、B均為銳角，且，試確定ABC的形狀.6.已知正方形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，P是OA上一點(diǎn)，且CPD60，則POAO .7.在R

10、tABC中，CD是斜邊AB上的高線，已知ACD的正弦值是，則的值是（ ） A. B. C. D.8.如圖，在RtABC中，C90，sinA，D為AC上一點(diǎn)，BDC45，DC6，求AB的長(zhǎng). 9.某水庫(kù)大壩橫斷面是梯形ABCD，壩頂寬CD3米，斜坡AD16米，壩高8米，斜坡BC的坡度13，求斜坡AB的坡角和壩底寬AB.10.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)河寬，如圖，某學(xué)生在點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊處有一點(diǎn)C，并測(cè)得CAD45，在距離A點(diǎn)30米的B處測(cè)得CBD30，求河寬CD（結(jié)果可帶根號(hào)）.B類題（10道題）1.某人沿傾斜角為的斜坡前進(jìn)100米，則他上升的高度為（ ）A.米 B.米 C.米 D.

11、米2.若，則銳角的度數(shù)是（ ） A.20 B.30 C.40 D.503.已知cos0.5，那么銳角的取值范圍是（ ） A.6090 B.060 C.3090 D.0304.ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高，則等于（ ） A.cosB B.tanA C.cosA D.sinA5.已知等腰梯形ABCD中，ADBC18cm，sinABC，AC與BD相交于點(diǎn)O，BOC120，試求AB的長(zhǎng).6.如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米.現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到，使梯子的底端到墻根O的距離等于3米，同時(shí)梯子的頂端B下降到，那么（ ）A.等于1米

12、B.大于1米 C.小于1米 D.不能確定 7.如圖，已知四邊形ABCD中，ABBC2，ABC120，BAD75，D60，求CD的長(zhǎng). 8.如圖，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處及樓底D處測(cè)得塔頂A的仰角分別為45和60，試求塔高與樓高（精確到0.01米）.（參考數(shù)據(jù)：1.41421，1.73205）9.如圖，直升飛機(jī)在跨河大橋AB的上方P點(diǎn)處，此時(shí)飛機(jī)離地面的高度PO450米，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上，測(cè)得大橋兩端的俯角分別為，求大橋AB的長(zhǎng)（精確到1米，選用數(shù)據(jù)：1.41，1.73）10.一艘漁船正以30海里小時(shí)的速度由西向東追趕魚(yú)群，在A處看見(jiàn)小島C在船的北偏東60方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時(shí)看見(jiàn)小島C在船的北偏東30方向，已知以小島C為中心周?chē)?0海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問(wèn)這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的可能？C類題（10道題）1.在RtABC中，C90，下列式子不一定成立的是（ ）A.cosAcosB B.cosAsinBC.sinAcosB D.2.已知，在ABC中，A60，B45，AC2，則AB的長(zhǎng)為 .3.如圖，兩條