地震緊急撤離問題數(shù)學建模

1、遼 寧 工 業(yè) 大 學2012年數(shù)學建模（論文）題 目： 火災緊急撤離問題院（系）： 機械工程及自動化專業(yè)班級：機械1106班 學生姓名：王哲、郭爽、吳建彬起止時間：2012.5.212012.5.27摘 要本文借用流體動力學中的微分關(guān)系，通過將離散的人員轉(zhuǎn)化為連續(xù)的人流，以人流密度為研究主體，建立了人員撤離的動態(tài)微分方程優(yōu)化模型，分析了地震發(fā)生時人員緊急撤離的問題。并根據(jù)我們所在教學樓的樓層建筑的數(shù)據(jù)分別估算了混亂狀況下與有組織時人員撤離的時間，為人員的緊急撤離提供了參考方案。 第一，本文分析了在無組織的狀態(tài)下，人員撤離的一般情形。一方面，無組織下人員的運動具有隨機性，故此引入人流密度作為基

2、本研究對象。另一方面，流量的變化率是人流密度對距離積分后對時間的導數(shù)，人流量對時間的積分即為撤離人員的數(shù)量。由此幾方面關(guān)系，可以列出整個動態(tài)過程的微分方程。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，單位時間的人流量與密度和速度成正比關(guān)系，而整體的人流速度與密度之間又是成一次線性關(guān)系，恰好符合流體力學中的流量、流速與密度之間的關(guān)系。根據(jù)實際情況對整求解過程做了簡化，以樓道中的平均人流量為研究主體， 最終以數(shù)值解求得全部人員逃離所需時間大約為420s. 第二，利用得出的人流量隨時間變化的圖像可知，由于人員無組織的涌出教室，導致人流密度很大，人群得不到有效的移動，從而使流量達到最大值后又迅速減小。故最好的撤離方式是在達到流量最大

3、的時候，保持住一定的人流密度從而來維持最大的流量。結(jié)合數(shù)據(jù)后可知，在撤離開始一分鐘的時候應該有人組織撤離，這樣可以避免由于人員的過多涌入樓道而導致的擁堵現(xiàn)象。這樣子調(diào)控后最佳的撤離時間可以降到240秒左右。 第三，除去人為堵塞的因素對撤離時間影響較大外，改變樓層的設(shè)計同樣可以縮短撤離所用時間。于是，文章討論了實際樓層中的參數(shù)，如樓層中疏散通道的寬度、教室門的寬度以及疏散口的數(shù)量等，對緊急撤離時間的影響。并得出結(jié)論疏散口的增加與疏散通道的加寬對撤離時間的縮短有明顯的提高。 最后，由于不同的樓層人員速度不一樣會導致在樓道中的互相推擠現(xiàn)象， 此舉對人員在樓道中人員的有效流動有較大影響。故我們引入混亂

4、時間的概念，用來具體量化由此導致的時間的浪費情況。分析后可知混亂時間主要決 定于相臨兩層人員的速度差，由于混亂時間與速度差成正比關(guān)系，而且在速 度差為正值的時候時間較大，而為負值時時間較小，故利用指數(shù)函數(shù)來表示兩者的關(guān)系。由此建立了以總的混亂時間最小為目標的優(yōu)化模型。利用atlab 對各種指派情形進行比較，得出最了優(yōu)解。 關(guān)鍵詞：人流量動態(tài)微分方程 最佳撤離 混亂時間目 錄一、問題的提出1二、基本假設(shè)及符號說明22.1 基本假設(shè)22.2 符號說明2三、問題分析33.1問題一33.2問題二33.3問題三33.4 問題四3四、模型準備4五、模型建立5六、參考文獻12七、附錄13一、 問題的提出近年

5、來，諸如地震、火災等突發(fā)事件時常發(fā)生。雖然人們在很多情況下還不能準確預報這些突發(fā)事件，但當災難發(fā)生時，盡可能在災難中減少傷亡人數(shù)是人們應對突發(fā)事件的首選。在突發(fā)事件中，身處災難環(huán)境的人員快速撤離災難地點可以有效減少傷亡人數(shù)。本著居安思危的態(tài)度，假設(shè)某一天上午，學生正在我校C教學樓上課，突然該樓發(fā)生火災，請你完成任務(wù):1. 用數(shù)學建模方法，給出一種使學生快速撤離C教學樓的方案；2. 針對我校C教學樓，用你的方案給出其第一、二樓學生快速撤離的具體方案和所用的時間。二、基本假設(shè)及符號說明2.1 基本假設(shè) 疏散過程中，人群的流量與疏散通道的寬度、行走速度有關(guān)； 所有人員在突發(fā)事件發(fā)生后同時疏散，中途不

6、退后；所有人員在疏散過程中不發(fā)生踩踏事件； 每個年級在同一個樓層；2.2 符號說明 符號 說明 i (x,t) 第x 位置，第t 時刻，第i 層樓的人員密度； Qi (x,t) 第x 位置，第t 時刻，第i 層樓的人流量； Lw 走廊寬度； Ls 樓梯寬度； () 人員密度為 時的擁擠調(diào)控系數(shù)； Vw 撤離人員在走廊的平均速度； VwMax 撤離人員在走廊的最大速度； Vs 撤離人員在樓梯的平均速度； VsMax 撤離人員在樓梯的最大速度； R(t) 第i 層樓進入樓梯間的人數(shù)； M 單位時間內(nèi)從教室進入走廊的人員數(shù)； Ni 第i 個教室的總?cè)藬?shù)；三、問題分析3.1問題一 根據(jù)人流運動的特點，

7、建立基于流體動力學的微分方程模型。將每一個樓層分為教室出口處和非教室出口處，由于不同位置流入流出的人流量不同， 故可以動態(tài)的分析出不同時刻不同位置的人流量密度。以任意小區(qū)間段的人流量為考慮對象，該區(qū)間兩端人流量之差即為該區(qū)間人數(shù)變化率。根據(jù)此關(guān)系建立微分方程，接觸各個位置的人流量密度函數(shù)。此時，用出口處的人流量對時間積分即為已撤離出的人員數(shù)目。求解積分方程，得到當撤離人數(shù)為教學樓總?cè)藬?shù)時所經(jīng)歷的時間，即為人全部撤離出所消耗的時間。3.2問題二 通過分析問題一結(jié)果發(fā)現(xiàn)影響撤離時間的主要因素為人流量密度，當人流量密度過大時會導致人員移動區(qū)間變小，使得撤離速度的下降。故當撤離人流量最大時，應使撤離人

8、數(shù)與從教室流入走廊的人數(shù)相同，以此保持人流量密度一直保持在最好的水平，使得單位時間內(nèi)撤離的人數(shù)最多，此為最佳撤離方案。 3.3問題三 分析問題一所列出的微分方程式，結(jié)合實際，認為走廊、樓道寬度以及樓梯數(shù)量為制約撤離時間的主要因素，應適當改進。并結(jié)合實際情況中的其他因素，提出若干可行性建議。 3.4 問題四 認為每一個樓層只安排一個年級，將撤離時間定為無干擾時的撤離時間以及相鄰兩層互相制約而產(chǎn)生的混亂時間之和。無論樓層如何安排，無干擾撤離時間不變。而對于混亂時間，其數(shù)值正比于下層撤離速度與該層速度之差。如果下一層的速度比本層大，則混亂時間很小，如果下一層的撤離速度大于該層，則會產(chǎn)生很大的混亂時間

9、?；诖饲闆r，定義混亂時間是關(guān)于相鄰兩層人員撤離速度差的指數(shù)函數(shù)。通過編程，對各種情況進行遍歷，可以求出混亂時間最小時的樓層安排方案，即為最合理的教室分配方案。四、模型準備 4.1 基本公式準備 撤離人員從走廊、樓梯撤離，其情形就像在湍急的江河中奔騰的流水一樣。故我們運用流體動力學中的概念去解決該問題。根據(jù)流體動力學中速度與密度的定義，得到速度與流體密度關(guān)系公式： 其中： m表示單位平面內(nèi)能夠容納的最多人數(shù)； VwMax表示人在撤離穩(wěn)定時期能夠行走的最大速度； 此公式表示在人流密度增大初期，人行走速度逐漸降低，當人流密度到達最大值的時候由于沒有行走空間，所以人行走速度降為零。 由于在穩(wěn)定的時候

10、，撤離人員處于穩(wěn)定連續(xù)狀態(tài)。所以根據(jù)流體動力學知識有如下方程： 表示： 時刻t，區(qū)間a，b內(nèi)的撤離人員的數(shù)量為單位時間內(nèi)通過a，b 點的流量Qi(a,t),Qi(b,t)之差等于撤離人員數(shù)量的變化率。 4.2 樓梯間中行走長度的確定 根據(jù)實際情況，假設(shè)在樓梯間行走的距離為，如圖1：圖 樓梯長度示意圖五、模型建立 5.1 針對問題一 5.1.1 模型一 將整棟樓看作一個整體，設(shè)其密度均勻，人員從20 個教室流入，從樓出口處流出，根據(jù)3.1 節(jié)中基本公式列微分方程求解。將整個撤離過程分為穩(wěn)定前階段和穩(wěn)定階段兩個時間段。1）穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教室的人員到達下一樓層之前的時

11、間段。此時，由于整個教學樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。由此可以確定出到達穩(wěn)定階段時，樓梯間以及走廊的初始密度?？梢缘玫椒€(wěn)定前階段所消耗的時間： 2）穩(wěn)定階段根據(jù)3.1 節(jié)中的公式，可以列微分方程： 其中： 表示整個教學樓的平均密度； 表示在樓梯間中的平均撤離速度； 表示走廊長度總和； 表示樓梯間的長度總和； 該方程未考慮由于走廊擁堵而造成的教室中人員無法到達走廊的情況，為 考慮此情況，引入擁擠調(diào)控系數(shù) 表示在教室出口處的密度與能夠從教室出去人數(shù)的調(diào)控函數(shù)，如果出口處 密度為零時,即教室里面的撤離人員均能到達走廊。如果出口處的密度已為最大值，即教室里面的撤離人員無法到

12、達走廊。此時的微分方程為： 根據(jù)3.1 節(jié)，將速度與密度的關(guān)系代入上式有： 解微分方程可以得到人員撤離密度關(guān)于時間的函數(shù)，設(shè)經(jīng)過T時間，所有人員撤離完畢，有： 反解出時間T 即為穩(wěn)定時期撤離完畢所花費的時間。故全部人員撤離消耗的時間為：由于此模型過于簡化，并沒有考慮到各層樓走廊和樓梯間的擁堵情況，分析問題過于粗略。故我們將每層的走廊和樓梯間分開考慮，引入模型二。5.1.2 模型二 將每一個樓層看作一個整體，將其密度視為均勻，記為i(t)。此時依舊從穩(wěn)定前與穩(wěn)定兩個階段去分析整個撤離過程。穩(wěn)定前階段與模型一一致，在此不詳細論述。對于穩(wěn)定時期，對每個樓層進行分析，根據(jù)模型一的思想，列方程如下： 代

13、入人流量與密度方程，化簡得到： 如模型一考慮，引入擁擠調(diào)控系數(shù) ()，得到方程如下： 解微分方程可以得到 ，得到第i 個樓層進入樓梯間的人數(shù)： 每一個樓層均為此，考慮樓梯間的情況。將每一個樓層視為教室，整個樓梯間為走廊，列類似微分方程： 解該微分方程，可以得到樓梯間的人流密度 (t)。此時，得到最終從出口撤離的人員數(shù)量與時間的關(guān)系：5.1.3 模型三 對整個走廊和樓梯間的整個長度分成無限小段，基于流體動力學知識，建立更具有一般性的模型，計算出全部人員撤離完畢需要時間。依舊將整個撤離過程分為穩(wěn)定前、穩(wěn)定兩個階段進行分析。 1）針對穩(wěn)定前階段 設(shè)定穩(wěn)定前狀態(tài)即為距離樓梯間最近的教師的人員到達下一樓

14、層之前的時間段。 此時，由于整個教學樓均處于暢通的狀態(tài)，所以設(shè)此階段的撤離速度為Vbefor。 由此可以確定出到達穩(wěn)定階段時，樓梯間以及各層走廊的初始密度。 可以得到穩(wěn)定前階段所消耗的時間：2）針對穩(wěn)定階段 對每一層進行考慮，根據(jù)實際位置分布建立坐標系，如圖 圖 任意樓層走廊坐標系的建立 確定每一樓層每一個時刻不同位置的撤離人員密度。由于在教室的出口處會有撤離人員流向走廊，所以在每個教室的出口處，密度變化率大于其他位置，如圖： 圖 教室出口處的密度變化示意圖 i 教室出口處的密度變化率：取平均位置，設(shè)撤離人員流出位置為教室門 處，列微分方程如下：簡化得：令t0有：原式iv 樓梯間里面各個位置密

15、度的變化率：針對于樓梯間內(nèi)部，將其類比為某一樓層的走廊，各個樓層進入樓梯間的 撤離人員數(shù)量相當于該樓層各個教室進入走廊的數(shù)量?；诖思僭O(shè)，列出類似微分方程： 最終只需計算出從出口撤離的人員數(shù)量與時間的關(guān)系即可： 此時，經(jīng)過時間T，所有人員撤離完畢，有如下方程： 反解出T 即可。此時所有人員撤離需要的時間為： 但是由于模型三方程過于復雜，無法給出解析解，只能利用微分轉(zhuǎn)差分進行數(shù)值分析。鑒于前兩個模型已經(jīng)給出相應的撤離時間，故此模型并沒有作相應的計算，僅作為一更詳細的基本方程。5.2 問題二 5.2.1 模型建立 題目要求給出撤離時間最短的時候的人員撤離方案，由圖可以清楚的看 出，撤離人員的總?cè)藬?shù)

16、即為圖像所圍成的面積。 在總?cè)藬?shù)不變的情況下，要縮短撤離總時間，只能使得各個時刻出口處的 人流量保持最大值，增大圖像面積，如圖8 豎線所示。 根據(jù)上題分析，出口處人流量降低的主要原因是樓道人流量密度過大，導 致撤離速度降低、人流量變小。 為解決上述問題，應當在撤離過程進行了50 秒左右時，保持樓梯間的人 員數(shù)量，使得人流量密度為最恰當?shù)臄?shù)值。 由圖8 可知，人流量最大為每秒4.3 人，要保持人流量密度則要從教室進 入走廊的人數(shù)等于撤離教學樓的人數(shù)。5.2.2 模型檢驗 根據(jù)參考文獻 中，給出的相應的疏散時間經(jīng)驗公式： 其中： Tmart 表示穩(wěn)定前時間； N 表示總?cè)藬?shù)； Ls 表示逃生口寬度

17、； E 表示有效流動系數(shù)； 根據(jù)經(jīng)驗取E=1.1 人/秒，根據(jù)我們的基本數(shù)據(jù)，計算出來的撤離總時間為 383.98 秒。與計算得到的撤離時間相似，結(jié)果較為符合實際。 5.3 問題三 結(jié)合問題一中模型三的方程，考慮樓房設(shè)計的最合理方案，給出該微分方程： 根據(jù)上述方程，可以明顯看出，要是某時刻撤離的人員最多能采取如下方法： 1）增大走廊的寬度 以及樓梯間的寬度 ； 2）一般應在靠近建筑標準層的兩端設(shè)置樓梯間。樓梯間的布置應均勻。且有多方向的出口。 3）高樓層應配套增加緊急通道，可以直接從5 樓到達1 樓； 4）增設(shè)廣播設(shè)備，當險情發(fā)生時能夠及時通知，縮短人員的反應時間； 5.4 問題四 5.4.1

18、 模型準備 根據(jù)4.2 節(jié)中的用作模型檢驗的撤離時間經(jīng)驗公式，定義撤離時間如下： 其中： T 為需要的總時間； Tmart 為達到穩(wěn)定狀態(tài)之前需要的準備時間； N 為整棟樓的總?cè)藬?shù)； Q 平均每秒鐘的撤離的人數(shù)； 5.4.2 考慮擁堵時候的撤離時間 如果不考慮擁堵情況，第i 層人員的撤離時間 滿足上述定義，總時間即為其求和 。 現(xiàn)在考慮擁堵情況，故在此基礎(chǔ)上加入混亂時間 表示第i 層的人員和第i+1 層的人員交匯之后因為擁堵產(chǎn)生的附加時間。時整個撤離時間即為： i 認為 與相鄰兩層人員的速度差成正比關(guān)系， Ii 如果Vi>Vi+1，說明下層人的速度大于上層，上層人員無法進入下層人員的撤離人流，對下層影響很??； iii如果 Vi<Vi+1，說明下層人的速度小于上層，上層人員混入下層人員的撤離人流，對下層