統(tǒng)計學(xué)第七章

1、第七章 平均數(shù)差異的顯著性檢驗教 學(xué) 目 的掌握：1.相關(guān)樣本的檢驗方法；2.獨立樣本的檢驗方法；3.總體方差為齊性條件下的各種檢驗方法；4.總體方差非齊性條件下的各種檢驗方法；5.方差齊性檢驗的方法。第一節(jié) 平均數(shù)差異檢驗的基本原理一、平均數(shù)差異檢驗的邏輯原理 雙樣本檢驗原理與單樣本相同，即考察在以中心的抽樣分布上出現(xiàn)概率的大小。若在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率較大（P0.05），則保留零假設(shè)HO，則兩個總體平均數(shù)與無顯著性差異；若在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于事先規(guī)定的水平，則拒絕HO而接受H1即與有顯著性差異。二、平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤是進(jìn)行檢驗的重要指標(biāo)，要進(jìn)行檢驗要先求（的標(biāo)準(zhǔn)

2、誤的估計量）。即：兩個變量之差的平均數(shù)等于兩個變量平均數(shù)之差。 因此，要求的標(biāo)準(zhǔn)誤，關(guān)鍵是求D變量的總體標(biāo)準(zhǔn)差，欲求D變量的總體標(biāo)準(zhǔn)差；先求D變量的樣本方差。D的離差：D的離差平方和： D的樣本方差： 當(dāng)r=0時： ：此處與教材（107頁）略有不同。第二節(jié)相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗相關(guān)樣本：兩個樣本內(nèi)的個體存在著一一對應(yīng)關(guān)系，數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)的。兩種常見的相關(guān)樣本形式：同一組被試先后兩次測試結(jié)果；匹配組情況。一、相關(guān)大樣本兩總體為正態(tài)分布，兩樣本為相關(guān)樣本，雖然總體未知，但n30時，可用Z檢驗（也可用t檢驗）?！纠?】：某校將100名學(xué)生按匹配原則配成50對，將每對學(xué)生隨機(jī)分入實驗班和對照班

3、。實驗班按新教學(xué)方法施教，對照班按傳統(tǒng)教學(xué)方法施教。一學(xué)期后用同一套試題測驗，實驗班的平均分為82，標(biāo)準(zhǔn)差為6分；對照班的平均分為80.5，標(biāo)準(zhǔn)差為7分，兩班成績的相關(guān)系數(shù)為 0.70，問實驗班的成績與對照班的成績有無顯著性差異？檢驗： 假定兩總體為正態(tài)分布，未知，兩樣本為相關(guān)樣本，且n =5030，故采用Z檢驗。 3、確定檢驗形式?jīng)]有資料說明新方法是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，故采用雙側(cè)檢驗。4、統(tǒng)計決斷|Z|= 2.05*1.96=Z 0.05 P0.05因此，在0.05 水平上拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。結(jié)論為實驗班的成績顯著高于對照班的成績?！纠?】： 32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練后與訓(xùn)練

4、前測驗分?jǐn)?shù)已知（參看教材111頁表7.2所示），問三天集中訓(xùn)練有無顯著效果？檢驗：用D計算3、確定檢驗形式由于過去的資料表明三天射擊訓(xùn)練有效果，即訓(xùn)練后射擊得分的總體平均數(shù)與訓(xùn)練前射擊得分的總體平均數(shù)之差大于零，故采用右側(cè)檢驗。4、統(tǒng)計決斷根據(jù)單側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，本例Z0.05=1.652.057*2.33=Z0.01，則0.01P0.05，于是在職0.05顯著性水平上拒絕Ho而接受H1 。結(jié)論為：三天射擊訓(xùn)練有顯著效果。二、相關(guān)小樣本的檢驗總體為正態(tài)，總體未知，相關(guān)樣本，n30時，必須采用t檢驗?！纠?】：某教師設(shè)計了一種開發(fā)學(xué)生智力的訓(xùn)練方法，并對15名學(xué)生進(jìn)行了為期一個月的訓(xùn)練。在訓(xùn)

5、練前后分別用智力量表進(jìn)行了智力測量。訓(xùn)練前的平均智商為 103，標(biāo)準(zhǔn)差為12；訓(xùn)練后的平均智商為105，標(biāo)準(zhǔn)差為13，兩次測量的相關(guān)系數(shù)為0.65。試問該教師的訓(xùn)練方法是否顯著地提高了學(xué)生的智力？檢驗： 假定兩總體為正態(tài)，未知，兩樣本為相關(guān)樣本，且n =1530，故采用t檢驗。3、確定檢驗形式：因題中問是否提高了學(xué)生的智商，故采用左側(cè)檢驗。4、統(tǒng)計決斷|t|=0.711.76=t(14)0.05 （單側(cè)臨界值）P0.05因此，在0.05水平保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為該教師的訓(xùn)練方法對提高學(xué)生智力效果不顯著。【例2】： 為了揭示小學(xué)二年級的兩種識字教學(xué)法是否有顯著性差異，根據(jù)學(xué)生的智力水平

6、、努力程度、識字量多少、家庭輔導(dǎo)力量等條件基本相同的原則，將學(xué)生配成10對，然后把每對學(xué)生隨機(jī)地分入實驗組和對照組。實驗組施以分散識字教學(xué)法，對照組施以集中識字教學(xué)法，后期統(tǒng)一測驗結(jié)果如教材108頁表7.1。檢驗：用觀察值的差數(shù)D表示在這里D表示觀察值的差數(shù)，n表示差數(shù)的個數(shù)計算t值：3、確定檢驗形式?jīng)]有資料可以說明兩種教學(xué)方法哪一種效果好，故采用雙側(cè)檢驗。4、統(tǒng)計決斷根據(jù)自由度df =n-1=10-1=9，得 t（9）0.05=2.262, t（9）0.01=3.250實際計算出來的| t |=3.456*3.250= t（9）0.01，則P0.01，根據(jù)檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，在0.01顯著性水

7、平上拒絕H0,而接受H1。其結(jié)論為：小學(xué)分散識字與集中識字教學(xué)法有極其顯著性差異。分散識字教學(xué)法的平均分?jǐn)?shù)高于集中識字教學(xué)法的平均分?jǐn)?shù)，即，所以分散識字教學(xué)法優(yōu)于集中識字教學(xué)法。當(dāng)r未知時可通過逐對計算差數(shù)D，再計算標(biāo)準(zhǔn)誤：第三節(jié)獨立樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗一、獨立大樣本條件下的檢驗當(dāng)兩總體為正態(tài)分布，未知，兩樣本為獨立樣本，n1和n2都大于30時，可用Z檢驗方法檢驗。標(biāo)準(zhǔn)誤用：或【例1】：某校初二年級的數(shù)學(xué)考試中，150名女生的平均分為82分，標(biāo)準(zhǔn)差為12分，160名男生的平均分為83.5分，標(biāo)差為11.8分，問初二年級男女生的數(shù)學(xué)成績有無顯著性差異？檢驗：假定總體為正態(tài)分布，未知，獨立大

8、樣本，故采用Z檢驗3、確定檢驗形式過去無資料表明男女生的數(shù)學(xué)成績有差異，故采用雙側(cè)檢驗。4、統(tǒng)計決斷|Z|=1.111.96=Z0.05 P0.05因此，在0.05水平上保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為男女生的數(shù)學(xué)成績無顯著性差異。二、獨立小樣條件下檢驗n1、n2都小于30，或有一個小于30時的獨立樣本為獨立小樣。對獨立小樣進(jìn)行檢驗時，要考慮總體方差是否為齊性。 （假定兩個總體方差為齊性）我們用兩個樣本的離差平方和之和比上兩個樣本自由度之和，作為的最佳估計量（用S2表示），S2稱作匯合方差。標(biāo)準(zhǔn)誤的估計量：注：獨立小樣本，方差為齊性，用t檢驗。思考與練習(xí)：當(dāng)時，【例1】：在一次數(shù)學(xué)競賽中，A校

9、10名參賽者的平均分為78分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，B校12名參賽者的平均分為76分，標(biāo)準(zhǔn)差為11分（假定兩總體方差為齊性），問A、B兩校的成績有無顯著性差異？檢驗：兩總體為正態(tài)分布，兩總體方差為齊性，兩樣本為獨立小樣本，故采用t檢驗。3、確定檢驗形式過去無資料說明兩校成績有差異，故采用雙側(cè)檢驗。4、統(tǒng)計法斷|t|=0.412.09=t（20）0.05 P0.05因此，在0.05水平上保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為A、B兩校成績無顯著性差異?！纠?】：從高二年級隨機(jī)抽取兩個小組，在化學(xué)教學(xué)中實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗結(jié)果（教材117頁表7.4所示），問兩種教學(xué)法是否有

10、顯著性差異？（已有經(jīng)驗：啟發(fā)式優(yōu)于講授法） 檢驗：兩組化學(xué)測驗分?jǐn)?shù)假定是從兩個正態(tài)總體隨機(jī)抽出的獨立樣本，而兩個相應(yīng)總體標(biāo)準(zhǔn)差為未知，經(jīng)方差齊性檢驗兩個總體方差相等，兩個樣本容量都小于30，其樣本平均數(shù)之差與相應(yīng)總體平均數(shù)之差的離差統(tǒng)計量呈t分布，故應(yīng)當(dāng)采用t檢驗。 3、確定檢驗形式4、統(tǒng)計決斷根據(jù)自由度df=n1+n2-2=10+9-2=17，得t(17)0.01=2.567，t(17)0.005=2.898實際計算出|t|=2.835，t(17)0.01=2.5672.835*2.898=t(17)0.005，則0.005P3.090 = t0.01，則P7.49=F（17,6）0.01，則P0.01，于是在0.01顯著性水平上拒絕Ho而接受H1。結(jié)論為：走讀生與住宿生自學(xué)能力得分的方差不齊性，并有極其顯著性差異。三、兩個相關(guān)樣本的方差齊性檢驗對兩個相關(guān)樣本檢驗時，需要用t檢驗，而不能用F檢驗?！纠纭浚河肁、B兩卷對36名學(xué)生的測驗結(jié)果，其A卷的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，B卷的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，A、B兩卷的相關(guān)系數(shù)=0.40，問A、B兩試卷的方差是否齊性？檢驗:由于兩組分?jǐn)?shù)是用A、B卷對同一批學(xué)生的測驗