北京市懷柔區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理(1)

1、懷柔區(qū)20162017學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)理試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第n卷3至8頁,共150分.考試時間120分鐘.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共40分）注意事項:1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案，不能答在試卷上.、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在空間，可以確定一個平面的條件是A.兩條直線.一點(diǎn)和一條直線.

2、 一個三角形182 .直線x y0的傾斜角是A.6B.4C.3D.223.若橢圓252y161上的一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)的距離為A. 7B. 5C. 3D. 24.在空間，下列結(jié)論正確的是A.平行直線的平行投影重合B.平行于同一直線的兩個平面平行C.垂直于同一平面的兩個平面平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行25 .已知雙曲線16A. 721的離心率為5 ,則mm4B. 6C. 9 uur uuuD. 86 .已知 A( 2,0)B(2,0),動點(diǎn) P(x, y)滿足 PA PBx2,則動點(diǎn)P的軌跡為A,橢圓C.拋物線B.雙曲線D.兩條平行直線7.某四棱錐的三視圖如圖所

3、示，該四棱錐的側(cè)面積為A. 8B. 16.2C. 108.設(shè)點(diǎn)M (X0,1),若在圓O: x2 y2 1上存在點(diǎn)N ,使得 OMN 45°,則X0的取值范圍是A- 1,1 B 2T C 應(yīng)6 D 號第n卷（非選擇題 共110分）注意事項：1 .用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在答題紙上.2 .答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9 .原點(diǎn)到直線4x 3y 1 0的距離為 .10 .拋物線y2 2x的準(zhǔn)線方程是 .11 .已知 a （1,2，石）,b （ 1,3,0），則 a b b .12 .過點(diǎn)（1,0）且與直線x-2

4、y-2=0平行的直線,方程是.13 .大圓周長為4兀的球的表面積為 .14 .九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下 問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米 幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個 圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為 8尺，米堆的高為5尺， 米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為 3,則堆放的米約有 斛（結(jié)果精確到個位）. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15.（本題滿分13分）如圖，在四BUP ABCD中，PD 底面ABCD ,底面ABCD為

5、正方形，PD DC 2,G, F分別是AD,PB的中點(diǎn).(I)求證：CD PA;(n)證明：GF 平面PBC .16 .(本題滿分131分)已知直線l經(jīng)過直線3x 4y 2 0與直線2x y 2 0的交點(diǎn)P ,并且垂直于直線x 2y 1 0.(I)求交點(diǎn)P的坐標(biāo)；(n)求直線l的方程.17 .(本小題滿分13分)如圖，正方體 ABCD A1B1clD1的棱長為1, E、F分別是BB和CD的中點(diǎn).BD(I)求AE與A1F所成角的大小；(n)求AE與平面ABCD所成角的正切值.18 .（本小題共13分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（2,1）和點(diǎn)（4,3）.（I ）求直線l的方程；（n）若圓C的圓心在直線l上，

6、并且與y軸相切于（0,3）點(diǎn)，求圓C的方程.19 .（本小題滿分14分）如圖，PD垂直于梯形 ABCD所在的平面， ADC BAD 90 , F為PA中點(diǎn)，PD J2 ,一 一 1八AB AD -CD 1 .四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N .2EC(I)求證：AC/平面DEF ;(n)求二面角 A BC P的大??；(m)在線段 EF上是否存在一點(diǎn) Q ,使得BQ與平面BCP所成角的大小為 ？若存在，求出6Q點(diǎn)所在的位置；若不存在，請說明理由.20 .(本小題滿分14分)已知圓O：x2 y2 1的切線l與橢圓C:x2 3y2 4相交于A, B兩點(diǎn).(I)求橢圓C的離心率；(n)求證：

7、OA OB；(出)求 OAB面積的最大值.高二數(shù)學(xué)理科參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn).2017.1、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678答案DBADCDBA6小題，每小題5分，共30分.二、填空題：本大題共10.11.273 1;12. x-2y-1=0 ;13.14.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15.(本題滿分13分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，PD 底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD DC 2,G, F分別是AD,PB的中點(diǎn).(I)求證：CD PA；(n)證明：GF 平面PBC .解法一:(I )證明:P因為AB

8、CD是正方形,所以CD AD.又PD 底面ABCD ,所以PDCD .又 AD I PD D ,所以CD平面PAD .而PA 平面PAD ,所以CDPA.1(n )取 PC 的中點(diǎn) M ,連結(jié) DM , FM ,所以 fm / BC , FM BC , 2因為GD /BC, GD又易證BC平面PDC1 ”E，一 ，一 E，“，一一BC ,所以四邊形FMDG為平行四邊形， 所以GF / DM . 2，所以DM BC,又PD DC, M為PC的中點(diǎn)，所以DMPC .則 GFBC 且 GF PC .又 BC PC C,所以GF，平面PCB13(I)證明：以D為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系解法則 A(2

9、,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)P(0,0,2)(0, 2,0).uuuumr所以 PA (2,0, 2), DCuuu uuiruiur(n)設(shè) G(1,0,0)則 fguuu(0, 1, 1), CB則 PA DC 0，所以 PA CD .uuu uuuFG CB 0, 又 uuir uuirFG PC 0,故GF,平面PCB.13分16 .(本題滿分13分)已知直線l經(jīng)過直線3x 4y 2 0與直線2x y 2 0的交點(diǎn)P ,并且垂直于直線x 2y 1 0.(I)求交點(diǎn)P的坐標(biāo)；(n)求直線|的方程.左 ,3x 4y 2 0,/口 x2,解：(I)由 y 得2x y 2 0,

10、y 2,所以P ( 2,2). 5分(n)因為直線|與直線x 2y 1 0垂直，所以K 2 ,所以直線l的方程為2x y 20.13分17 .(本小題滿分13分)如圖，正方體 ABCD A1B1clD1的棱長為1, E、F分別是BB和CD的中點(diǎn).(I )求AE與AiF所成角的大??；(n)求AE與平面ABCD所成角的正切值.(I )如圖，建立坐標(biāo)系 A-xyz,則 A(0 ,0, 0),E (1, 0,-),2Ai (0, 0, 1)F ( 1, 1, 0)2AE =(1,0,), 2A L 1A1F =( - , 1, -1)2AE AF =0所以AE A1F所以 AE與A1F所成角為90 &

11、#176;6分(n)解法 1： ABCD A1B1clD1 是正方體, BBL平面 ABCD/ EAB就是AE與平面ABCD所成角，又E是BB中點(diǎn),13在直角三角形 EBA中，tan / EAB =.2解法2：設(shè)AE與平面ABCD所成角為sin =cos< AE , n >=AE n 1可得tanAE AE與平面ABCD所成角的正切等于13平面ABCDr的一個法向量為n =（0,0,1）18.（本小題共13分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（2,1）和點(diǎn)（4,3）.（I）求直線l的方程；（n）若圓C的圓心在直線l上，并且與y軸相切于（0,3）點(diǎn)，求圓C的方程.3 1解：(I)由已知，直線l的斜率

12、k 1,4 2所以，直線l的方程為x y 1 0. 6分(n)因為圓C的圓心在直線l上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a 1),因為圓C與y軸相切于(0,3)點(diǎn)，所以圓心在直線 y 3上.所以a 4.所以圓心坐標(biāo)為(4,3),半徑為4.13所以，圓C的方程為(x 4)2 (y 3)2 16.19.(本小題滿分14分)如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面， ADC BAD 90 . F為PA中點(diǎn)， PD J2, AB AD 1CD 1,四邊形PDCE為矩形，線段 PC交DE于點(diǎn)N .2(I)求證：AC /平面DEF ；(II) 求二面角A BC P的大??；(III)在線段EF上是否存在一點(diǎn) Q ,使得B

13、Q與平面BCP所成角的大小為 一一？若存在，求Q點(diǎn)6所在的位置；若不存在，請說明理由 .解：(I)連接FN,在 PAC中，F(xiàn),N分別為PAPC中點(diǎn)，所以FN/AC,因為FN 平面DEF, AC 平面DEF ,所以AC/平面DEF(n )如圖以D為原點(diǎn)，分別以DA, DC, DP所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz.uuu則 P(0,0,展)，B(1,1,0),C(0,2,0)，所以 PB(1,1,uuir2), BC (1,1,0).ur uuuir. m PB設(shè)平面PBC的法向重為m (x, y, z),則ur uur m BC(x,y,z) (1,1, .2)0(x,y,

14、z) ( 1,1,0) 0解得x xz 2xx 1 ir_令 x 1 ,得 y 1 ,所以 m (1,1,J2).zJ 2r 因為平 面ABC的法向量n (0,0,1),r ur 所以cos n,mr irn mr_±rn m,22 ，由圖可知二面角 A BC P為銳二面角,所以二面角ABC P的大小為一.410(m)設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件，且 Q點(diǎn)與E點(diǎn)重合.12_ uur uur由 F(,0,),E(0,2,V2).設(shè) FQ FE(0 1), 22整理得 Q(1,2 ,21), BQ ( 1,21,21),2222因為直線BQ與平面BCP所成角的大小為所以 sin 一 6uuir u

15、ruur irBQ m| cosBQ, m/1 |-uuu-ur |BQ m6|5_1|_2 .19 2 107則2 1,由01知 1 ,即Q點(diǎn)與E點(diǎn)重合.1420.(本小題滿分14分)已知圓O：x2 y2 1的切線l與橢圓C:x2 3y2 4相交于A, B兩點(diǎn).(I)求橢圓C的離心率;(n)求證：OA OB;(出)求,OAB面積的最大值解：(I由題意可知a2 4, b2 3 所以c2 a2 b2 8 . 33所以e c aC的離心率為分(n)若切線l的斜率不存在，則l : x 1.2十x 在一43y2»人 "口一1中令x 1得y4uur uuu不妨設(shè) A(1,1),B(1

16、, 1),則 OA OB0 .所以 OA OB .同理，當(dāng)l :x 1時，也有OA OB .一，、一 m_22右切線l的斜率存在，設(shè)l : y kx m ,依題息 J 1 ,即k 1 m .,k2 1,ykx m ,口 222由：，得(3k21)x26kmx 3m24 0 .顯然x2 3y2 40.設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2),則 X %6 km3k2 1x1x23m2 43k2 1所以y1y2(kx1 m)(kx2 m), 22k x1x2 km(x1 x2) m .uuu uuu所以 OAOBxx2y1y2 (k2 1)x1x2 km(xi x2) m2(k223m46 km21)2 km-2 m3k 13k 12_2_22_22(k 1)(3m4) 6k m (3k1)m3k2 12. 24m 4k 43k2 1224(k1) 4k 420 ,3k2 1所以O(shè)A OB .綜上所述，總有 OA OB成立.10（m）因為直線 AB與圓O相切，則圓。半徑即為 OAB的高,當(dāng)l的斜率不存在時，由（n ）可知 AB 2 .則 SOAB 13m2 43k2 1當(dāng)l的斜率存在時，由（n）可知,AB222 2、r/2 yi -i22 2/ 6km 2/J(1 k )(% %)4221J1 kJ(