含有參數(shù)的一元二次方程專題

1、8含參一元二次方程專題復(fù)習(xí)一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理、一元二次方程根的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做 一元二次方程根或解.、b2 4ac叫作一元二次方程的判別式：0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為 b*2 4ac , X2b4ac2a2a2a0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 x2;0方程沒有實(shí)數(shù)根.、韋達(dá)定理：一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）的兩個(gè)根x1、x2,則 x1 x2二、基本技能習(xí)得、分析系數(shù)對(duì)方程的影響，對(duì)方程要深入理解，并靈活應(yīng)用；、要分清楚題目條件是“一元二次方程”還是“方程”；、注意隱含條件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根為正數(shù)，而且還有 相等的根.三、基本

2、思想導(dǎo)航注重?cái)?shù)學(xué)思想方法滲透，如方程思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想.、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再實(shí)際操作中使用配方法 和韋達(dá)定理解決問題。例3第2小問，求解中利用等腰三角形的兩腰相等建立方程， 使問題得到解決；、轉(zhuǎn)化思想：例2中在求A |xi x2|最值時(shí)，通過平方，把問題絕對(duì)值去 掉轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，利用配方法求解；、數(shù)形結(jié)合思想：在例3中，解題過程中充分利用幾何圖形的代數(shù)表現(xiàn)形 式，從而實(shí)現(xiàn)了幾何和代數(shù)的溝通；、分類思想：要分清楚題目條件是“一元二次方程”還是“方程” ，如果 是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判別是都要分類， 認(rèn)清楚是“

3、有實(shí)數(shù)根” （ 0）還是“不相等的實(shí)數(shù)根" （ 0）如例1、例3 和例4.在解題的過程中不是單一的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，而是綜合使用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。在本節(jié)中沒有例題都有體現(xiàn)，特別是例 3.四、典型例題經(jīng)驗(yàn)例1、已知常數(shù)k為實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程(k 3)x2 (2k 1)x k 0的實(shí)數(shù)根的 個(gè)數(shù)情況。【解析】此題是對(duì)一元二次方程定義和其判別式應(yīng)用的小綜合考查，解決此題學(xué)生要有分類的數(shù)學(xué)思想又一定的感悟。在分類基礎(chǔ)上運(yùn)用一元一次不等式和一元 一次方程的知識(shí)解決問題.【解答】當(dāng)k 3 0,即k 3時(shí)原方程為5x 3 0 , x-原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)5根當(dāng)k 3 0,即k 3時(shí)原方程為

4、一元二次方程，其判別式當(dāng)k 1,且k 3原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；81.、一 當(dāng)k原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；8,1、當(dāng)k 二原方程沒有實(shí)數(shù)根.8【解法】先分一元二次方程、一元一次方程兩類，再根據(jù)判別式和k 3 0,求出k的值。例2、方程x2 (m 4)x m 0的兩個(gè)根分別是x1、x2,試判斷方程的根的情況；設(shè)A |x1 x2 |則是否存在最大值或最小值？若存在， 求出這個(gè)值；若不存 在說明理由.【解析】通過判別式b2 4ac (m 4)2 4 1 ( m)的進(jìn)行必要的變形后，由關(guān)于m的代數(shù)式的值來確定方程根的情況。直接求 A |x1 x2|最值比較困難，但題目給出方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，而A |

5、x1 x2|的形式來看，它一個(gè)對(duì)稱式，這兩 點(diǎn)提示我們用韋達(dá)定理來求解。沿著這個(gè)思路，通過平方，把絕對(duì)值去掉。由A2 |x1 x2 |2 (x x2)2 4x1x2可把A2轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的代數(shù)式，從而求解.【解答】由題意得：(m 4)2 4 1 ( m) (m 2)2 12方程一定存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根. Q x1 x2 m 4XgX2A, A 2 ,22c2/、2,Q A| x1x2| A |XiX2|Xi2X1X2X2(XiX2)4x1X2,即(m 4)2 4 1 ( m) (m 2)2 12,Q(m 2)2 0 (m 2)2 12 12,當(dāng)m 2時(shí)代數(shù)式(m 2)2 12有最小值12,即A2有

6、最小值12,又QA |x1 x2| 0, A2 12 時(shí)，A 破 2百,A I" X2I存在最小值，且最小值為2/3.【解法】在判斷 的符號(hào)時(shí)和討論A2的最值時(shí)，都用到了配方法，可見在配方 法是初中數(shù)學(xué)的常用方法.在解決第小時(shí)，用到了轉(zhuǎn)化的思想，表面上看，A |X1 X21最值和韋達(dá)定理沒有聯(lián)系，但是通過兩邊平方之后，將問題轉(zhuǎn)化為A2的最值，使問題得到順利解決.例3、 ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于的一元二次方程 x2 2k 3 x k2 3k 2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5 .k為何值時(shí)，ABC®以BC為斜邊的直角三角形？k為何值時(shí)， ABC是等腰三角形？并求Z

7、XABC的周長。【解析】根據(jù)題意得出AB AC的長，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論： A況AC,A況BGBC= AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值.【解答】:ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BO 5 AB2 AC2= 25,AB AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 3 x k2 3k 2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， . AB AC=2k 3, ABgAC=k2 3k 2,. _2_2_2_ _AB AC = AB AC -2ABgAC,即 AB AC=2k 3, ABgAC=k2 3k 2,222k 3 2k 3k 2 =25,

8、解得k=2或與（不符合題意舍去）.ABC是等腰三角形；.當(dāng) AB= AC時(shí)， =b2Yag 0, 2 2k 3 -4 k2 3k 2 = 0 解彳導(dǎo) k 不存在；當(dāng) AB= BC 時(shí)，即 AB=5, .5 AC=2k 3,5AC= k2 3k 2,解得 k=3或 4, . AC=4 或 6, .ABC的周長為14或16.【解法】本題是一元二次方程根與幾何問題相結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用典型例題。 在解答 時(shí)，應(yīng)注意把幾何知識(shí)用代數(shù)符號(hào)表示如：勾股定理（ AB2 AC= 25）;三角形 三邊關(guān)系（A五AGAB= BGB熱AQ結(jié)合韋達(dá)定理和判別式求解。同時(shí), 綜合運(yùn)用分論討論、數(shù)形結(jié)合和方程的思想。例4、m是

9、什么整數(shù)時(shí)，方程 m2 1 x2 6 3m 1 x+ 72= 0有兩個(gè)不相等的正整 數(shù)根.【解析】首先根據(jù)已知條件可得m2-1*0,進(jìn)而得到 廿±1,然后根據(jù)根的判 別式4。，可得m#3;再利用求根公式用含 m的式子表示x,因?yàn)?，方程有?個(gè)不相等的正整數(shù)根，所以分情況討論 m的值即可.【解答】解法1首先，m2 1 0, m 1.36 m 3 2>0,所以m 3,用求根公式可得：612X1 、 X2 ，m 1 m 1由于X1, X2是正整數(shù)，所以，m 1 1236; m 1 1234612;解得m 2這時(shí)x, 6,x2 4。解法2首先，m2 1 0, m 1。設(shè)兩個(gè)不相等的正整

10、數(shù)根為 , x2,則由 根與系數(shù)的關(guān)系知：m2 1 23,468912,1824,36,72,即 m2 3457910,1319 253773,只有m2 4925才有可能，即m 2, 3, 5。經(jīng)檢驗(yàn)，只有m 2時(shí)方程才有兩個(gè)不同的正整數(shù)根.【解法】說明一般來說，可以先把方程的根求出來（如果比較容易求解），然后利 用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問題，解法1就是這樣做的。有 時(shí)候也可以利用韋達(dá)定理，得到兩個(gè)整數(shù)，再利用整除性質(zhì)求解，解法2就是如 此，這些都是最自然的做法。綜上來說，此題主要考查了一元二次方程的二次項(xiàng) 系數(shù)不能為0,根的判別式和求方程的整數(shù)解的綜合運(yùn)用，還用到了數(shù)學(xué)中的

11、分 類討論思想，綜合性較強(qiáng).五、模塊練習(xí)提升A級(jí)1. （2019.鹽城）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2 = 0（k為實(shí)數(shù)）根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定2. （2019年淄博市）若xi+x2 = 3, xi2+x22=5,則以xi, x2為根的一元二次方程 是（）A. x2-3x+2=0 B. x2+3x-2 = 0C. x2+3x+2=0D. x2 3x-2 = 03. （2019.濰坊）關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方 和為12,則m的值為（）A . m= 2 B, m=3C, m=3 或 m=

12、 2D. m= 3 或 m=24. （2019.蒼南）若一元二次方程 x2 3x c 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 c的值 是.5. （2019.白銀）關(guān)于x的一元二次方程x2而x 1 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m 的取值為.6. （2019.邵陽）關(guān)于x的一元二次方程x2 2x m 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m的最小整數(shù)值是.7. （2018.成都）若關(guān)于x的一元二次方程x2 （2a 1）x a2 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.8. （2019.黃石）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 6x （4m 1） 0有實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍;(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為X、X2 ,且 |Xi

13、X2 | 4 ,求 m 的值.B級(jí)9. (2019.廣元)若關(guān)于x的一元二次方程ax2 x - 0(a 0)有兩個(gè)不相等的實(shí) 4數(shù)根，則點(diǎn)P(a 1, a 3)在第 象限.10. (2019.羅湖區(qū))在等腰 ABC中，三邊分別為a, b, c,其中a 2,若關(guān)于x的方程x2 (b 1)x b 1 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 ABC的周長是.11. (2018.綏化)已知關(guān)于x的一元二次方程x2 5x 2m 0有實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m 5時(shí)，方程的兩根分別是矩形的長和寬，求該矩形外接圓的直徑.212. (2019.沙坪壩)從4,1, 0, 1, 2, 4, 6這八個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽一個(gè)