函數(shù)定義域值域求法總結(jié)

1、函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)一、定義域是函數(shù)y=f(x)中的自變量x的范圍。求函數(shù)的定義域需要從這幾個方面入手：(1)分母不為零(2)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。(3)對數(shù)中的真數(shù)部分大于00(4)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于0,且不等于1(5) y=tanx 中 乂*卜冗+九/2； y=cotx 中 xwk九 等等。另解：要使函數(shù)有意義，必須:例2求下列函數(shù)的定義域:(6 ) x0 中 x 0 f(x) _1一1Ax f(x) f (x),x23x42x 1(x 1)0,lx x常用的求值域的方法：(1)直接法(2)圖象法(數(shù)形結(jié)合)(3)函數(shù)單調(diào)性法(4)配方法(5)換元法(包括三角換元)(6)反函數(shù)法(

2、逆求法)(7)分離常數(shù)法(8)判別式法(9)復(fù)合函數(shù)法(10)不等式法(11)平方法等等這些解題思想與方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍13 3x 7解：要使函數(shù)有意義，必須:，函數(shù) f(x) -.j4x2 1即:x . 3三、典例解析要使函數(shù)有意義，必須:1的定義域?yàn)?3x13, 34或x13H x 11、定義域問題例1求下列函數(shù)的定義域：-11 f (x): f (x)<3x 2； f (x) 7x 1 x 22 x_r，一1 一一、解：.x-2=0 ,即x=2時，分式 無意義，x 21而x 2時，分式有意義，這個函數(shù)的定義域是x|x 2 .x 2,3

3、x+2<0,即x<-2時，根式v'3x 2無意義，3而3x 2 0,即x 2時，根式43x 2才有意義,312.這個函數(shù)的定義域是x|x -.3x 1 0且2 x 0,即x 1且x 2時，根式JT7和分式 同時有意義,2 x.這個函數(shù)的定義域是x|x 1且x 2，定義域?yàn)椋?x| x要使函數(shù)有意義，必須:.函數(shù)的定義域?yàn)椋簒|x要使函數(shù)有意義，必須: 定義域?yàn)椋簒 | x要使函數(shù)有意義，必須:4R且 x0,1,x 23x 70x即x< 1或x> ，定義域?yàn)椋簒|x-3313例3若函數(shù)y2axax1，一的定義域是R,求實(shí)數(shù) aa的取值范圍.解：,一定義域是R, 1

4、_ 2axax1 0恒成立, aa等價于a204a 1 a例4若函數(shù)y f(x)的定義域?yàn)?11,求函數(shù)yf (x;)1,一f(x 一)的定義域.4解：要使函數(shù)有意義，必須:141454343454，函數(shù)yf(x4)f (x1 ,一-)的定義域?yàn)?4x|例5已知f(x)的定義域?yàn)?, 1,求f(2x 1)的定義域。分析：法則f要求自變量在1,1內(nèi)取值，則法則作用在2x-1上必也要求2x-1 在1, 1內(nèi)取值，即一102x101,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義 域；或者從位置上思考f(2x 1)中2x1與f(x)中的x位置相同，范圍也應(yīng)一 樣， 102x101,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的

5、定義域。(注意：f(x)中的x與f(2x 1)中的x不是同一個x,即它們意義不同。)解：f(x)的定義域?yàn)?, 1,.- -1<2x-1<1,解之 0&x&1, .f(2x 1)的定義域?yàn)?, 1。例6已知已知f(x)的定義域?yàn)?1,1,求f(x 2)的定義域。答案：10x201 x2< 11<x<1練習(xí)：設(shè)f(x)的定義域是?3 ,<2 ,求函數(shù)f (Vx2)的定義域.解：要使函數(shù)有意義，必須:xx >00xx 2.20x64-. 2.函數(shù)f(Jx 2)的定域義為：x|0x 6 4.2例7已知f(2x 1)的定義域?yàn)? , 1,求f(

6、x)的定義域因?yàn)?x1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由2x-1, x 0,1求得的值域1, 1 是f(x)的定義域。已知f(3x 1)的定義域?yàn)?1, 2),求f(2x+1)的定義域。(提示：定義域是自變量x的取值范圍)練習(xí)：已知f(x 2)的定義域?yàn)?, 1,求f(x)的定義域A.已知函數(shù)x的定義域是0,2f 2x1,1A. A B2、求值域問題1的定義域是2)1D.1 xB B. B A的定義域?yàn)锽,利用常見函數(shù)的值域來求(直接法)一次函數(shù)y=ax+b(ak反比例函數(shù)y -(k x二次函數(shù)f (x) ax20)的定義域?yàn)镃. Ap BR,值域?yàn)镽D. A0)的定義域?yàn)閤|x 0，值域?yàn)閥|y0

7、；bxc(a 0)的定義域?yàn)镽,當(dāng)a>0時，值域?yàn)?y 1y例1求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1 x 1)小1y x (記住圖像)x解：.一-1 x 1,-32(4ac b);當(dāng) a<0 時，值域?yàn)?y1y 4a2 f(x) ，(1x3) 3x3x 3,.-13x+2 5,即-1 y 5, .值域是-1 , 52(4ac b )4a略當(dāng)a>0時，則當(dāng)xB時，其最小值2aymin2(4ac b ).,4aD 當(dāng) x>0, y1 = (Vx ；)2 2 2 x , x當(dāng)x<0時,) = (Jxx 1 )2 2x值域是(2+ ).(此法也稱為配方法)當(dāng)a<0時

8、，則當(dāng)x-b時，其最大值v2aymax(4ac b2)4a若定義域?yàn)閤 a,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間a,b.若x0再比較a,b,則f(xo)是函數(shù)的最小值(a>0)f(a), f (b)的大小決定函數(shù)的最大(小)值時或最大值(a<0)時,函數(shù)y x1 ，的圖像為:x若x。a,b,則a,b是在f(x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi),只需比較f (a), f (b)的大小即可決定函二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：數(shù)的最大(小)值.例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域:注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值;當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)

9、系進(jìn)行討論Dy4x1；4x 1, x3,44x1,x 0,1； y x2練習(xí):1、求函數(shù)y=3+V(23x)的值域4x1,x0,5；解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知， (2 -3x) >0,解：y4x 1 (x 2)2 3, 頂點(diǎn)為(2,-3),頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故 3+，(2 -3x)>3o，函數(shù)的值域?yàn)?,拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R,，x=2時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是y|y-3 .2、求函數(shù)y2x 5 , x 0,5的值域.頂點(diǎn)橫坐標(biāo) 2 3,4當(dāng) x=3 時,y= -2 ; x=4時，y=1;y3I21解： 對稱軸0,5.在3,4上,ymin =-2ymax

10、= 1；值域?yàn)?21.-2 -1 o-1-2-31時，叫，y miny max;頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 0,1,當(dāng) x=0 時，y=1; x=1 時,y=-2,.在0,1上,ymin =-2ymax = 1；值域?yàn)?2,1.,一頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 0,5,當(dāng) x=0 時，y=1; x=2 時,y=-3, x=5時,y=6,.在0,1上,y min =-3ymax=6；值域?yàn)?3 , 6.20值域?yàn)?4,20求函數(shù)y=4x V 1-3x(x < 1/3)的值域。解：法一：(單調(diào)性法) 設(shè)f(x)=4x,g(x尸-V1-3x ,(x < 1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù),從而 y=f(x)+g(x

11、)= 4x V 1-3x在定義域?yàn)閤w 1/3上也為增函數(shù)，而且 yWf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函數(shù)值域?yàn)?y|y W4/3 。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增 減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。注：對于二次函數(shù) f (x) ax2bx c(a 0),練習(xí)：求函數(shù)y=3+ V4-x的值域。(答案：yy >3)法二：換元法(下題講)若定義域?yàn)镽時,例4 求函數(shù)y x 25一x的值域解：(換元法)設(shè)、1x t ,則 y t2 2t 1 (t 0)對稱軸t 10,，且開口向下當(dāng) t 1 時，y

12、max 2值域?yàn)?,2點(diǎn)評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函 數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=Vx-1 - x的值域。(答案：y|y w 3/4例5(選)求函數(shù)y JXF J5X的值域解：(平方法)函數(shù)定義域?yàn)椋簒 3,5y2 (x 3) (5x)2 .x28x15由 x 3,5 ,得x28x150,1y22,4原函數(shù)值域?yàn)? ,2例6(選不要求)求函數(shù) y x J x2的值域解：(三角換元法)1x1設(shè)x cos 0,例7 求y x 3 x 1解法一：(圖象法)可化為觀察得值域 y 4解法二：(零

13、點(diǎn)法)畫數(shù)軸-1的值域4y 2 2x4y 4利用I a bx 11 x 3x 3表示實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的距離可得。解法三：(選)(不等式法)x 3 x 1 |(x 3) (x 1)4x 3 x 1 (x 1) 4 x 1 x練習(xí)：y x x 1的值域呢例8 求函數(shù)y 9x 3x 2 (x 0,1 )的值域同樣可得值域4 x 14(1,)(三種方法均可)y cos sin cos sin<2sin()1,J24原函數(shù)的值域?yàn)?,、.2小結(jié)：(1)若題目中含有 a 1,則可設(shè)a sin ,(或設(shè) a cos ,0)22若題目中含有a2 b2 1則可設(shè)a cos ,b sin ,其中02(3)

14、若題目中含有41x2,則可設(shè)xcos,其中0(4)若題目中含有41x2,則可設(shè)xtan,其中一一22(5)若題目中含有 x y r (x 0, y 0, r 0),則可設(shè) x r r cos2 , y dr sin2解：(換元法)設(shè)3xt ,則1 t 3原函數(shù)可化為1y t2 t 2,對稱軸 t 1,32t 1 時，ymin 2 ; t 3 時，ymax 8值域?yàn)?,8x2 2 x1例9求函數(shù)y 一 的值域3解：(換元法)令tx2 2x (x 1)2 1 ,則y1由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域?yàn)橐唬?其中0，一2例10求函數(shù)y 2x (x 0)的值域解：（圖象法）如圖，值域?yàn)?0,1原函數(shù)

15、的值域?yàn)?,1解法二：（換元法）設(shè)x2 1 t ,則t 10-21 y 1t原函數(shù)值域即得解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 （y 1）x2 0 x y 1 01） y 1時不成立2） y 1 時， 00 4（ y 1）（ y 1） 01 y 1x 1例11 求函數(shù)y 的值域x 2解法一：（逆求法）解出x,x L_2y觀察得 原函數(shù)值域?yàn)閥 y 11 yx 2 33解法二：（分離常數(shù)法） 由y1 1 ,可得值域 y y 1x 2 x 2ax b小結(jié)：已知分式函數(shù)y （c 0）,如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內(nèi)，cx d一a. .值域?yàn)?yy ；如果是條件定義域（對自變量有附加條件）

16、，采用部分分式法將原函c數(shù)化為.ad bc (adcx d例12 求函數(shù)y3x3x 1的值域解法一：（逆求法）3x 一 01 ybc）,用復(fù)合函數(shù)法來求值域。1)、2)值域y |解法四:（三角換元法）1tan原函數(shù)的值域?yàn)?,1tan2小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。1 tan2cos2cos21,1解法二：（換元法）設(shè)3x 13x 1 13x 113x原函數(shù)的值域?yàn)?1練習(xí)：y=272x1-、一;(ye(-1 ,1).例13函數(shù)yx2 1x2 1的值域解法一:（逆求法）例14yt10 1t1 + t1 1 t原函數(shù)的值域?yàn)閥| 11求函數(shù)y2x2 4x 3的值域

17、1) y0時，不成立2) y0時，0得(4y)8y(3y 5) 00y 5解法一：（判別式法）0 y 5化為2 yx2綜合1）、2）值域y |0y 54yx (3y 5)解法二：（復(fù)合函數(shù)法） 令2x2 4x 3 t ,則y 5t_2t 2（ x 1）1 1值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）y的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最0 y 51. .例15 函數(shù)y x 1的值域X解法一：（判別式法）原式可化為所以，值域y |0 y 5大最小值;如果不滿足用基本不等式的條件,轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)yax - （x 0）的單調(diào)性去解。x練習(xí)：x2 (1

18、 y)x 1 00(1 y)2 4 0 y 3或 y 1原函數(shù)值域?yàn)椋?3,1解法二：(不等式法)1)當(dāng)x 0時，x 1 2 y 3x11八.2) x 0時，x -( x)2 y 1x( x),211、y x 9(x 0);x一111 . 9斛：, x 0, y x 丁 9 (x )xx另外，此題利用基本不等式解更簡捷：y11 , y 11.21x 9 2 9 11（或利用對勾函數(shù)圖像法） x綜合1） 2）知，原函數(shù)彳1域?yàn)椋?3,y 2 2x 4x 30<y 5.3、求函數(shù)的值域例16 （選）求函數(shù)yx2 2x 2 / (xx 1 y 2 . 4x x21）的值域解：令u 72 x 0

19、,則x 2 u2,解法一：（判別式法）原式可化為 x2 （2 y）x 2 y 00（2 y）2 4（2 y） 0 y 2 或y 2x 1 y 2舍去原函數(shù)值域?yàn)? ,原式可化為y 2 u2 u (u -)2 -, 24. u 0, y 9 ,.函數(shù)的值域是(-,X .44解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為2(x 1)1 d 1y x 1 2 ( x 1)x 1x 1解：令t=4x? x2 0得0 x 422.在此區(qū)間內(nèi)(4x? x ) max=4, (4x? x ) min =0當(dāng)且僅當(dāng)x 0時取等號，故值域?yàn)?2 ,例17 （選）求函數(shù)y2_-x 2x 2 ( 2x 1x 2）的值域，函數(shù)y 2 v4x x2的值域是