固體物理重點計算題詳細解答

1、1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是體心立方。（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。所以，體心立方的倒格子是面心立方。1.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長.解：簡單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面間距：2.1、證明兩種一價離子組成的一

2、維晶格的馬德隆常數(shù)為（）。 證明：設(shè)想一個由正負兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負離子取負號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有 前邊的因子2是因為存在著兩個相等距離的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為當(dāng)X=1時， 2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為 試求：（1）平衡間距；（2）結(jié)合能（單個原子的）；（3）體彈性模量；（4）若取，計算及的值。解：（1）求平衡間距r0由，有：結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個能量稱為結(jié)合能（用

3、w表示）（2）求結(jié)合能w（單個原子的）題中標明單個原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個原子，而非原子團、離子基團，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時，晶體的勢能，即Umin即： （可代入r0值，也可不代入）（3）體彈性模量由體彈性模量公式：（4）m = 2，n = 10， w = 4eV，求、 將，代入詳解：（1）平衡間距r0的計算晶體內(nèi)能平衡條件，（2）單個原子的結(jié)合能，（3）體彈性模量晶體的體積，A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能由平衡條件，得 體彈性模量（4）若取，3.2、討論N個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個格波解，當(dāng)= 時與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng)。

4、 解：質(zhì)量為的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；質(zhì)量為的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 牛頓運動方程N個原胞，有2N個獨立的方程設(shè)方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，則兩種不同的格波的色散關(guān)系一個q對應(yīng)有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波.總的格波數(shù)目為2N. 當(dāng)時，兩種色散關(guān)系如圖所示：長波極限情況下，與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯地為和，令兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫出色散關(guān)系曲線。此問題模擬如這樣的雙原子分子晶體。（注 ：課本中的c即為此題中的 k對應(yīng)q)答：（1）淺色標

5、記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色標記原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。第2n個原子和第2n1個原子的運動方程：體系N個原胞，有2N個獨立的方程方程的解：，令，將解代入上述方程得：A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足：因為、，令得到兩種色散關(guān)系： 當(dāng)時，當(dāng)時，（2）色散關(guān)系圖：44.2、寫出一維近自由電子近似，第n個能帶(n=1，2，3)中，簡約波數(shù)的0級波函數(shù)。解第一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3、電子在周期場中的勢能 0 ， 其中d4b，是常數(shù)試畫出此勢能曲線，求其平均值及此晶體的第一個和第二個禁帶度解(I)題設(shè)勢能曲線如下圖所示(2)勢能的平均值：由圖可見，是個以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分這時，于是 。（3），勢能在-2b,2b區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)利用積分公式得第二個禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有51、設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫成 ， 其中為晶格常數(shù)，是電子的質(zhì)量。(注：課本無第一問）試求（1）能帶寬度；（2）電子在波矢k狀態(tài)的速度； （3）帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。 解：