高考數(shù)學壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《平面解析幾何》解析

1、一、選擇題 221.已知橢圓x2 y2 a b數(shù)學平面解析幾何高考知識點1(a b 0)的焦點分別為Fi , F2,點A, B在橢圓上,AB F1F2于 F2, AB 4, F1F22x/3,則橢圓方程為（）2【解析】【分析】y2 1C2 x B. 32C.2 y_6D.122/3可彳導c2b2利用橢圓的性質(zhì)，根據(jù) AB 4, F1F2推出橢圓方程.【詳解】22橢圓x_與 a b1（ ab 0)的焦點分別為E, F2,點A, B在橢圓上,AB F1F2于 F2, |AB 4, IF1F2I 273,可得 c V3,必 ac2 a2 b2 ,解得 a 3, b 66 ,所以所求橢圓方程為:221

2、 ,故選C.96本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，橢圓方程的求法，是基本知識的考查.2.已知直線y kx 2k 1與直線y值范圍是()1-x 2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取2,1.1 , .1A. k -B. k 一或 k C. 6 k 2262【答案】D【解析】【分析】D.y聯(lián)立ykx 2k 11,可解得交點坐標(x, y),由于直線y kxx 222k 1與直線1x 0y - x 2的交點位于第一象限，可得，解得即可.2y 0【詳解】解：聯(lián)立2 4k x 2k 16k 1y 2k 1kx 2k 11,解得x 22Q直線y kx 2k 1與直線y1 c ,、-x 2的交點位于第一象限,

3、2U 02k 1,解得：-k -6k 1 0622k 1故選：D.【點睛】 本題考查兩直線的交點和分式不等式的解法，以及點所在象限的特征.23.已知直線l：y 2x b被拋物線C:y2 2px(p 0)截得的弦長為5,直線l經(jīng)過C : y2 2 Px(p 0)的焦點，M為C上的一個動點，若點 N的坐標為 4,0 ,則MN的 最小值為()A. 273B. MC. 2D. 272【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程利用弦長公式列方程，結(jié)合直線過拋物線的焦點，解方程可得P 2 ,再利用兩點的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)配方法即可得結(jié)果.【詳解】y 2x b 22由 24x2 (4b 2p)x b

4、2 0,y 2px2b p b2x1 x2, x1x2 一,24因為直線l：y 2x b被拋物線C:y2 2px(p 0)截得的弦長為5,5 W 22|x1 x ，2. 222 2bp , b所以 51 24 (1)24又直線l經(jīng)過C的焦點，則 b 2 b P (2)2 2由(1) (2)解得p 2 ,故拋物線方程為y2 4x .設 M %, y0 , y2 4xo .22222則 |MN|2 % 4y0 Xo 4 45 % 212,故當X 2時，|MN|min 2志.故選：A.【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了弦長公式以及配方法的應用，意在考查綜 合應用所學知識解答問題白能力

5、，屬于中檔題.4.設拋物線E： y2 線的垂線，垂足分別是A. 4舊【答案】C【解析】【分析】6x的弦AB過焦點A , B ,則四邊形B. 8、.3F , | AF | 3| BF | ,過A, B分別作E的準AAB B的面積等于()C. i6.3D. 32.3由拋物線的方程可得焦點坐標及準線方程，設直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長 AB,由拋物線的性質(zhì)可得梯形的上下底之和求出，求出A, B的縱坐標之差的絕對值，代入梯形的面積公式即可求出梯形的面積.【詳解】 3解：由拋物線的方程可得焦點F(3,0),準線方程：x由題意可得直線AB的斜率存在且不為0,設直線AB的

6、方程為：xmyA(Xi, y), B(X2 ,聯(lián)立直線與拋物線的方程:3my 2，整理可得:6x所以 y-i y2 6m , y1y2因為|AF |3| BF |,所以9 uuu AFXi uur 3FBX2m(yi y2)3即(士 Xi2y1)3(x2可得:yi3y2所以可得:2 y2 3y226m 即m由拋物線的性質(zhì)可得:AA| |BBABXiX226m26g36| yiy21 .(2yi 丫2) 4y1y2.36m2 3636 473 ,由題意可知，四邊形 AABB為直角梯形，所以 Saabb 1(AA BB )g y1 V2 | 1g3g4%/3 16/3 , 22本題考查拋物線的性質(zhì)

7、及直線與拋物線的相交弦長，梯形的面積公式，屬于中檔題.225.已知雙曲線 4 1(b 0)的左右焦點分別為F1, F2 ,其一條漸近線方程為2 b2y x,點_uur uuurP(J3, y°)在該雙曲線上，則 PFi PF2=()A. 12【答案】C【解析】B. 2C. 0D.由題知y二 uuur umuPF1 PF22,故三士4口 三 土1,丹(-2,0)/式2,0),2 3, 1)(273, 1) 3 4 1 0 ,故選擇 C.6.已知雙曲線2 x C: 12O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為POQ為直角三角形,則 PQA. 2【答案】C【解析

8、】【分析】B. 4C. 6D.由題意不妨假設P點在第一象限、Q點在第四象限,OPQ 90 ,解三角形即可.不妨假設P點在第一象限、Q點在第四象限， OPQ90 .則易知 POF 30 ,OFOP 2>/3,在 n POQ 中,POQ 60OPQ 90 , OP 273PQ,3 OP 6.故選C【點睛】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)雙曲線的特征設出 即可結(jié)合條件求解，屬于常考題型 .P , Q位置，以及VPOQ的直角,7.已知直線y kx k 0與雙曲線直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F2xa,若2 1 a 0,b bABF的面積為0交于A, B兩點，以AB為A. 72【答案】D【解析】【分

9、析】C. 24a2 ,則雙曲線的離心率為D. .5通過雙曲線和圓的對稱性，將 公式可以建立a與b的關(guān)系,【詳解】ABF的面積轉(zhuǎn)化為 FBF從而推導出離心率的面積；利用焦點三角形面積Q AB為圓的直徑F為雙曲線的左焦點AFB 90o根據(jù)雙曲線、圓的對稱性可知：四邊形AFBF為矩形S ABF又 S FBFe2 51二 SAFBFS FBF2b- b2 4a2,可得:tan 45e 、. 522c 5a本題正確選項：D【點睛】a,c的齊次方程,本題考查雙曲線的離心率求解，離心率問題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于 從而配湊出離心率的形式.8.已知拋物線y2 = 4x上的點P到拋物線的準線的距離為di,至ij

10、直線3x4y+9=0的距離為d2,則di + d2的最小值是（）12A. 一5.5D.5【解析】一一一一 2試題分析：根據(jù)拋物線白定義可知拋物線y 4x上的點P到拋物線的焦點距離 PF di,所以di d2 MF d2,其最小值為F 1,0到直線3x 4y 9 0的距離，由點到直線的一3 912 ，一距離公式可知 d d2 MF d2 .一，故選a.F 2 min2 min J32 425考點：拋物線定義的應用.229.若雙曲線3mx my =3的一個焦點是A. -1B. 1【答案】A【解析】2x22_雙曲線3mx my =3的標準方程為 1m 13焦點在y軸上，一一4 ,且m 0, m mm

11、 1.故選A.0,2，則m的值是10C.20D.1010.如圖，設橢圓E ：2x2ab 0）的右頂點為A,右焦點為第二象限上的點，直線 的離心率是（）BO交橢圓E于點C,若直線BF平分線段AC于M ,則橢圓E1A. 一22B.一31D.一4【答案】C【解析】如圖，設AC中點為M,連接OM,8則OM為AABC的中位線,于是OFMsAFB,且OF| |OMFAAB1 2,即=1 可得 e=.a c 2 a 3 1故答案為1.3點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a, b, c的方程或不等式，再根據(jù) a, b, c的關(guān)系消掉b得到a, c的關(guān)系式，建立關(guān)于 a, b,

12、 c的方 程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等11.已知拋物線C : y2 4x ,過其焦點F的直線l交拋物線C于A, B兩點，若AF 3fb ,則VAOF的面積（O為坐標原點）為（）A后3【答案】B【解析】【分析】B.P 4.3C.3D. 2.3首先過A作AAAB,ABM30°，AFH過B作BB1 A1B1 （ A1B1為準線），BM AA1 ,易得60°.根據(jù)直線AF ： y 73（ x 1）與拋物線聯(lián)立得到X1X210、一廣，一，根據(jù)焦點弦性質(zhì)得到3AB16,人口，一，結(jié)合已知即可得到3AHAF sin60° 2點,再計算Svaof

13、即可.【詳解】如圖所示:（ABi 為準線），BM AA., uuu 因為AFUM 杯 RR 3BF，僅 BFBB1A1M所以AM2k.在 RTVABM 中,AM21ABABM 30o.貝 U AFH 60o.F(1,0),直線 AF、 3（x1).y 、.3(x i)2y 4x3x210x0,XiX2103所以ABXiX2103163AF-|ab 44.在 RTVAFH中,AHAF sin60o2 3.所以SVAOF2 .3.3 .故選：B【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，同時考查焦點弦的性質(zhì)，屬于中檔題2 x12.已知曲線C的方程為 2m 121,現(xiàn)給出下列兩個命題：P :m1m 一是曲

14、線2C為雙曲線的充要條件,1-一是曲線C為橢圓的充要條件，則下列命題中真命題的 2B.A.C. p qD. p q【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件及雙曲線和橢圓定義，分別判定命題p與命題q的真假，進而判斷出復合命題的真假.【詳解】1若曲線C為雙曲線，則m 2m 10 ,可解得0 m 21若0 m ,則m 2m 10 ,所以命題p為真命題21若曲線C為橢圓，則 m 且 所以命題q為假命題2因而p q為真命題所以選C【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程，充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.2213.已知雙曲線j 4 1a 0,b 0的左右焦點分別為 F1 ,F2,M為雙曲線上一點，若 a

15、2 b21cos F1MF2 - , MF1| 2 MF2，則此雙曲線漸近線方程為（）4A. y &B. y xC. y xD. y 2x3【答案】A【解析】【分析】因為M為雙曲線上一點，可得MF 1MF2 2a,在F1MF2使用余弦定理，結(jié)合已知條件即可求得答案.【詳解】22Q雙曲線 14 1a 0,b 0的左右焦點分別為F1 , F2,M為雙曲線上一點 a bMF 1 MF2 2a ，解得：|MFj 4a, MF2 2a MF 12 MF2在F1MF2中，根據(jù)余弦定理可得：F1F2 2 MF1 2 MF2 2 2 MF1 MF2 cos F1MF22221可得：(2c)(4a)(2

16、a)2 4a 2a 4化簡可得：c 2a由雙曲線性質(zhì)可得：b2 c2 a2 4a2 a2 3a2可得：b -,3abQ雙曲線漸近線方程為：y xa則雙曲線漸近線方程為：y 、,3x故選：A.【點睛】本題考查了求雙曲線漸近線方程問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的基本知識，數(shù)形Z合，考查分析能力和計算能力屬于中檔題.14 .若A, B分別是直線x y 2 0與x軸，y軸的交點，圓C： 22x 4 y 48上有任意一點M,則 AMB的面積的最大值是()A. 6B, 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】先求出AB ,再求出M到直線的最大距離為點 M到直線x y 2 0加上半徑，進而可 得面積最大

17、值.【詳解】由已知A 2,0 , B 0, 2則 AB 222 222 72,又點M到直線的最大距離為 4 r42 88 5質(zhì),1 1 1所以最大面積為-2 2 5 2 10.2故選：C.【點睛】本題考查圓上一點到直線的最大距離問題，是基礎(chǔ)題15 .雙曲線定位法是通過測定待定點到至少三個已知點的兩個距離差所進行的一種無線電 定位.通過船(待定點)接收到三個發(fā)射臺的電磁波的時間差計算出距離差，兩個距離差即 可形成兩條位置雙曲線，兩者相交便可確定船位.我們來看一種簡單的 特殊”狀況；如圖所示，已知三個發(fā)射臺分別為A, B, C且剛好三點共線，已知 AB 34海里，AC 20海里，現(xiàn)以AB的中點為原

18、點， AB所在直線為x軸建系.現(xiàn)根據(jù)船出的電磁波的時間差計算出距離差，得知船P在雙曲線 x 2736P接收到C點與A點發(fā)2y 1的左支上，根64據(jù)船P接收到A臺和B臺電磁波的時間差，計算出船P到B發(fā)射臺的距離比到 A發(fā)射臺的9032不7B.13532.2C.17, 一D. 45, 16/3【答案】B【解析】【分析】 22設由船P到B臺和到A臺的距離差確定的雙曲線方程為與 匕a b1 x a ,根據(jù)雙曲線的定義得出a 15,再得出由船P到B臺和到A臺的距離差所確定的雙曲線為X2y2x 27 22'匕 1 x 15 ,與雙曲線 xy- 1聯(lián)立，即可得出點 P坐標.225 643664【詳解

19、】設由船P到B臺和到A臺的距離差確定的雙曲線方程為22xy.-2 -21 x aa2b2由于船P到B臺和到A臺的距離差為30海里，故a15,又 c=17,故 b 8故由船P到B臺和到A臺的距離差所確定的雙曲線為2251 x 15642x 27聯(lián)立 362x2252y642工 1 x 2164,解得P 171 x 15距離遠30海里，則點P的坐標（單位：海里）為（）故選：B【點睛】 本題主要考查了雙曲線的應用，屬于中檔題16 .在復平面內(nèi)，虛數(shù)z對應的點為 A,其共軻復數(shù)Z對應的點為B,若點A與B分別在_，" _ uuv uuvy2 4x與yx上，且都不與原點O重合，則oa ob ()

20、A. -16B. 0C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】uuuuuu先求出OA (4,4), OB (4, 4),再利用平面向量的數(shù)量積求解.【詳解】 在復平面內(nèi)，z與Z對應的點關(guān)于x軸對稱，z對應的點是y2 4x與y x的交點.y2 4x由 y 得(4, 4)或(0,0)(舍)，即 z 4 4i，y x uuuuuu則 z 4 4i , OA (4,4) , OB (4, 4),uuu uurOA OB 4 4 4 ( 4) 0.故選B【點睛】本題主要考查共軻復數(shù)和數(shù)量積的坐標運算，考查直線和拋物線的交點的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力217.已知拋物線y

21、22 Px(p 0)的焦點為F ,過點F作互相垂直的兩直線 AB , CD與拋物線分別相交于B以及C1AF1BF1 ,則四邊形ACBD的面積的最小值為()A. 18【答案】C【解析】【分析】【詳解】B. 30C.32D. 36由拋物線性質(zhì)可知:1AF1BF1AF1BF即 y2 4x一八八，1設直線AB的斜率為k (kw。，則直線 CD的斜率為 一k直線AB的方程為y=k (x- 1),y k(x1一一 一 一聯(lián)立 y 2，消去 y 得 k2x2- (2k2+4) x+k2=0,y 4x從而 Xa Xb 22 , XAXB 1k，、，,-4由弦長公式得|AB|= 41，k21 .一o以 k 換

22、k 得 |CD|=4+4k 2, 114221故所求面積為一AB CD 4 =4 4k28 2 k232（當k2=1時取等2112k2k2號），即面積白最小值為32.故選C18 .橢圓滿足這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)22過橢圓的另一個焦點.現(xiàn)在設有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：上 £ 1,169點A、B是它的兩個焦點，當靜止的小球放在點A處，從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點 A時，小球經(jīng)過的最短路程是（）.A. 20B. 18C. 16D.以上均有可能【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)可知，小球從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點到兩焦點距離之和，進而根據(jù)橢圓的定 義可求得答案.【詳解】依題意可知小