實(shí)變函數(shù)論習(xí)題選解

1、實(shí)變函數(shù)論習(xí)題選解一、集合與基數(shù)1.證明集合關(guān)系式： （1）；（2）；（3）；（4）問(wèn)成立的充要條件是什么？證 （1），（對(duì)偶律），（交對(duì)并的分配律），. （2）. （3）.（4）. 證 必要性（左推右，用反證法）：若，則但，從而，于是；但，從而左邊不等式不成立，矛盾！充分性（右推左，顯然）：事實(shí)上，如圖所示：故.2.設(shè)，試證一切排列所成之集的勢(shì)（基數(shù)）為.證 記為所有排列所成之集，對(duì)任一排列，令，特別，即對(duì)每一排列對(duì)應(yīng)于區(qū)間上的一個(gè)2進(jìn)小數(shù)，則是一一對(duì)應(yīng)（雙射），從而集合與集合對(duì)等（即），而對(duì)等的集合有相同的基數(shù)，故.3.證明：整系數(shù)多項(xiàng)式的全體是可列的（可數(shù)的）. 證 對(duì)任一，次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)

2、于一個(gè)序列：，而每個(gè)取自可數(shù)集，因此，全體次整系數(shù)多項(xiàng)式是有限個(gè)（個(gè)）可數(shù)集之并集，仍是可數(shù)的.故全體整系數(shù)多項(xiàng)式所構(gòu)成的集合就是可數(shù)個(gè)可數(shù)集之并集，由定理1.3.8可知：它仍是可數(shù)的.4.設(shè)表示區(qū)間上一切連續(xù)函數(shù)所成之集，試證它的勢(shì)為. 證 首先，對(duì)任意實(shí)數(shù)，看作常值連續(xù)函數(shù)， ，即 ；另一方面，實(shí)數(shù)列全體之集的基數(shù)，為證，只需證與的一個(gè)子集對(duì)等即可.事實(shí)上，把中的有理數(shù)排列成 .對(duì)任何，則由它在處的值所完全確定.這是因?yàn)橹惺浅砻艿?，即?duì)任何，存在上述有理數(shù)列的一個(gè)子列，由的連續(xù)性知：.現(xiàn)在，作映射，則是單射，而集是全體實(shí)數(shù)列的一個(gè)子集，故，即 .綜上可知：.附注 若，又：，：.則存在：；假

3、如，的意義同前，問(wèn)是否存在到的一一對(duì)應(yīng)？解 若，令 則就是到的一一對(duì)應(yīng).若，則與之間不一定存在一一對(duì)應(yīng).例如：，則是到的一一對(duì)應(yīng)，是到的一一對(duì)應(yīng).但，顯然與之間不存在任何一一對(duì)應(yīng).幾個(gè)常見(jiàn)的一一對(duì)應(yīng)：（），； ，；（），將中的有理數(shù)排列為，而中的有理數(shù)排列為.作其間的對(duì)應(yīng)如下：則是與間的一一對(duì)應(yīng). 注意 這種一定不是連續(xù)的（為什么？）. （），. 這是因?yàn)槿我蛔匀粩?shù)均可唯一表示為（非負(fù)整數(shù)，正奇數(shù)），而對(duì)非負(fù)整數(shù)，正奇數(shù)，又有唯一的使得. （），則. 證 .； 設(shè)為的任一子集，為的特征函數(shù)，即 當(dāng)均為的子集，時(shí)，.記， 則，.而，從而有，即. . 對(duì)每一，有平面上一點(diǎn)集 （即的圖形）與之對(duì)應(yīng).

4、記 ，則， . 為平面上一切點(diǎn)集全體的子集，而，從而有. 綜合，立知 . 附注 此題提供了證明兩個(gè)無(wú)限集對(duì)等的一般方法，這便是Cantor-Bernstein定理. 其特殊情況是：若，而，則（此結(jié)果更便于應(yīng)用）.5.試證任何點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)全體組成的集是開(kāi)集. 證 設(shè)集的內(nèi)點(diǎn)集為（稱(chēng)為的內(nèi)部），下證為開(kāi)集. ，由內(nèi)點(diǎn)的定義，存在的鄰域.現(xiàn)作集，則顯然為開(kāi)集，且.另一方面，對(duì)任意，存在，使得，所以，為的內(nèi)點(diǎn)，即，也就是說(shuō).綜上有為開(kāi)集.6.開(kāi)映射是否連續(xù)？連續(xù)映射是否開(kāi)？ 解 開(kāi)映射未必連續(xù).例：在每個(gè)區(qū)間上作Cantor三分集，且令，而，則為開(kāi)集.又設(shè)的構(gòu)成區(qū)間為.（教材P21例1中的Cantor集

5、即本題中的） 現(xiàn)在上定義函數(shù) 則在上映開(kāi)集為開(kāi)集，但并不連續(xù).事實(shí)上，若開(kāi)區(qū)間含于某個(gè)構(gòu)成區(qū)間內(nèi)，則就映為開(kāi)區(qū)間； 若開(kāi)區(qū)間中含有中的點(diǎn)，則就映為.然而中的每個(gè)點(diǎn)都是的不連續(xù)點(diǎn). 又連續(xù)映射未必為開(kāi)映射.例：在上連續(xù)，但開(kāi)集的像為非開(kāi)非閉.7.設(shè)是Cantor集的補(bǔ)集中構(gòu)成區(qū)間的中點(diǎn)所成的集，求. 解 .分以下三步：設(shè)Cantor集為，其補(bǔ)集（或叫余集）為，則.考察中的點(diǎn)的三進(jìn)制表示法，設(shè) （）.由Cantor集的構(gòu)造知：當(dāng)時(shí)，的小數(shù)點(diǎn)后任一位數(shù)字都不是1，因而可設(shè)； 當(dāng)時(shí)，可設(shè)；特別，對(duì)于的構(gòu)成區(qū)間的右端點(diǎn)有； 對(duì)于的構(gòu)成區(qū)間的左端點(diǎn)有 . 由此可見(jiàn)，且當(dāng)時(shí)，有.下證Cantor集中的點(diǎn)都是

6、的極限點(diǎn)：對(duì)，由于，取，則.由于與的小數(shù)點(diǎn)后前位小數(shù)相同，從而， 故當(dāng)時(shí)，有，即，即 .下證，有.事實(shí)上，有兩種情況：10.若，則只能是的構(gòu)成區(qū)間的中點(diǎn)，即.由Cantor集的構(gòu)造知：對(duì)，都有 ，所以，；20.若且，則，于是，有，所以，.故中的點(diǎn)不屬于.綜上所述，我們有：中的點(diǎn)都是的極限點(diǎn)，不在中的點(diǎn)都不是的極限點(diǎn)，從而.8.設(shè)點(diǎn)集列是有限區(qū)間中的非空漸縮閉集列（降列），試證. 證 用反證法：若，則，從而 為有界漸張開(kāi)集列（升列），且覆蓋，由數(shù)學(xué)分析中的“有限覆蓋定理”（Borel）可知：存在子覆蓋，使得，即 . ，從而，故，矛盾！ 附注 更一般地，若非空閉集套：滿(mǎn)足， 則存在唯一的.（這等價(jià)

7、于“分析學(xué)”或“拓?fù)鋵W(xué)”中著名的“壓縮映像原理”） 證 由非空，取，則為Cauchy基本收斂列.事實(shí)上，由于，所以，從而， 由極限存在的Cauchy準(zhǔn)則知：存在唯一的使得.又由為閉集立知，從而.存在性得證.下證唯一性： 若另有，則，而， 所以，.這就證明了唯一性.9.若，則 為閉集. 證 只要證：若為的極限點(diǎn)（即聚點(diǎn)），必有. 由為的極限點(diǎn)，故有點(diǎn)列，滿(mǎn)足； 又由于諸以及的連續(xù)性，從而有 以及 . 這就證明了.9*.若在上，記， 證明：. 證 一方面，當(dāng)時(shí)，使得，即當(dāng)時(shí)，.另一方面，使當(dāng)時(shí)，. 即 （），從而. 綜上可得 .10.每一個(gè)閉集是可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交集. 證 設(shè)為閉集，作集，其中表示點(diǎn)到

8、集的距離，則為開(kāi)集.下證：. 事實(shí)上，由于對(duì)任意有，故有； 另一方面，對(duì)任意，有 ，令有.所以，（因?yàn)殚]集），從而.綜上可知：. 附注 此題結(jié)果也說(shuō)明：可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交不一定是開(kāi)集，因而才引出了-型集的概念.11.證明：開(kāi)區(qū)間不能表示成兩兩互不相交的可數(shù)個(gè)閉集的并集. 證 可有兩種證法（很麻煩）：一種是反證法，即若，其中為兩兩互不相交的閉集列，我們?cè)O(shè)法找到一點(diǎn)，但，從而得出矛盾； 另一種證法是：記，證明下述更強(qiáng)的結(jié)果：若為含于內(nèi)的任一組兩兩互不相交的閉集列，則的勢(shì)（基數(shù)）等于連續(xù)勢(shì)，從而立知不可能有. 取，令，由為閉集，故，且. 又記（非空），則有兩種情況： 若中至少有一個(gè)空集，比如，而，所以，

9、.因此， .問(wèn)題得證.均不為空集，對(duì)，在中存在最小的下標(biāo)使，顯然，以及，從而為含于開(kāi)區(qū)間內(nèi)的閉集，對(duì)此閉集仿上作出兩個(gè)閉區(qū)間，它們滿(mǎn)足：（）互不相交； （）.對(duì)在中挖去后余下的四個(gè)開(kāi)區(qū)間重復(fù)上述步驟，以此類(lèi)推，用歸納法假設(shè)第步作出閉區(qū)間，它們滿(mǎn)足：（）互不相交； （）（因?yàn)椋?在開(kāi)區(qū)間中挖去閉區(qū)間后余下的個(gè)開(kāi)區(qū)間中，如果至少有一個(gè)開(kāi)區(qū)間比如與的交為空集，則由（）知與的交也為空集，從而.問(wèn)題得證.若不然，則這個(gè)開(kāi)區(qū)間均與相交，重復(fù)上述步驟得到一列閉區(qū)間，再利用完備集的結(jié)構(gòu)定理可知它關(guān)于的余集為非空完備集，又在（）中令，得所以，集的勢(shì)（基數(shù)）等于連續(xù)勢(shì). 附注 我們知道：可數(shù)個(gè)閉集的并集不一定是閉

10、集，而此題結(jié)果又說(shuō)明了“開(kāi)區(qū)間（是開(kāi)集）卻不能表示成可數(shù)個(gè)互不相交的閉集的并集”，所以又引出了-集. 任何閉區(qū)間不可能表示成可數(shù)個(gè)疏集的并集（提示：用反證法，若，其中為疏集，可構(gòu)造一閉區(qū)間套，則導(dǎo)出矛盾?。?2.證明：用十進(jìn)位小數(shù)表示中的數(shù)時(shí)，其用不著數(shù)字7的一切數(shù)成一完備集. 證 對(duì)中的任一數(shù)均可表示為（的這種表示法不一定唯一），而如此表示的級(jí)數(shù)其值都在內(nèi). 記表示中數(shù)的十進(jìn)位可能表示中必有某一個(gè)的那些數(shù)的全體，從而只要證明關(guān)于的余集為完備集. 作開(kāi)區(qū)間，其中為不等于7而小于10的非負(fù)整數(shù). 顯見(jiàn)這些開(kāi)區(qū)間為中可數(shù)無(wú)窮個(gè)無(wú)公共端點(diǎn)的互不相交的開(kāi)區(qū)間，其內(nèi)點(diǎn)用十進(jìn)位數(shù)表示時(shí)至少有一個(gè)，而端點(diǎn)用

11、十進(jìn)位數(shù)表示時(shí)可使所有.作這些開(kāi)區(qū)間的并集記為，則為開(kāi)集，且根據(jù)完備集的結(jié)構(gòu)定理知關(guān)于的余集為一完備集，于是，只要證明即可. 由的定義顯見(jiàn)；另一方面，若，則在的所有可能的十進(jìn)位表示中均必有一個(gè)，且不妨設(shè)此為滿(mǎn)足等式的最小整數(shù)即均不等于7.首先證明下述兩種情況不能發(fā)生：，此時(shí)表示區(qū)間的左端點(diǎn)，它有另一十進(jìn)位表示：，在此表示中一切，因此不可能是這種情況；，此時(shí)表示區(qū)間的右端點(diǎn)，它有另一十進(jìn)位表示：，在此表示中一切，因此也不可能是這種情況.由此可知.綜上所證可知.證畢！ 附注 ； 在中不稠密（因）.13.試在上定義一個(gè)函數(shù)，它在任一有理點(diǎn)不連續(xù)，但在任一無(wú)理點(diǎn)連續(xù). 解 設(shè)為一收斂的正級(jí)數(shù)，因上全體

12、有理數(shù)可數(shù)，故可記為.對(duì)，定義函數(shù)，其中和式是對(duì)的那些相應(yīng)的求和.則為上單調(diào)遞增函數(shù)且在無(wú)理點(diǎn)連續(xù)，有理點(diǎn)不連續(xù)其躍度為.事實(shí)上，因?yàn)閷?duì)任意，所以，為增函數(shù)；又記，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，所以，. 同理可證，所以，在無(wú)理點(diǎn)連續(xù)；當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，有，所以，且此時(shí)類(lèi)似亦有（），從而 .微積分中熟知的Riemann函數(shù) 亦為所求函數(shù). 附注 不存在上這樣的函數(shù)，它在每一有理點(diǎn)連續(xù)，而在每一無(wú)理點(diǎn)不連續(xù)； （提示：只要證任何在中有理點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)，至少在一個(gè)無(wú)理點(diǎn)上連續(xù).可利用閉區(qū)間套定理）.設(shè)為非空不交閉集（可無(wú)界），則存在滿(mǎn)足：，且當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，；(提示：，其中為點(diǎn)到集的距離.再證分子連續(xù)，分母大于0連續(xù)，從而

13、連續(xù).而滿(mǎn)足條件顯然) 更一般地，此結(jié)果可推廣到個(gè)非空不交閉集上：設(shè)為個(gè)非空不交閉集，連續(xù)函數(shù)使得時(shí)，（為常數(shù)，），則即可.二、勒貝格（Lebesgue）測(cè)度1.設(shè)、均為有界可測(cè)集，試證. 證 因、可測(cè)，則可測(cè)，可測(cè)，且. 又由，得.2.試證可數(shù)個(gè)零測(cè)度集的并仍是零測(cè)度集. 證 設(shè)，則可測(cè)，且有， .3.設(shè)有兩個(gè)開(kāi)集，且，那么是否一定有？ 解 不一定成立.例：，則，但.4.對(duì)任意開(kāi)集，是否一定有成立？ 解 不一定.例 ：對(duì)中的所有有理數(shù)，作開(kāi)集如下：，則為開(kāi)集，且. 但由，可得.故.5.設(shè)是中個(gè)可測(cè)集，且滿(mǎn)足，試證. 證 由1題可知：.又， ，而，.（由已知）6*.設(shè)，則對(duì)任何，存在，使得（稱(chēng)

14、為“外測(cè)度的介值定理”）.（以下證明最好能看懂，否則Pass！） 證 先設(shè)是有界集，即，. 令，則是上單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù).事實(shí)上，10.因，則，；當(dāng)，且時(shí)，由外測(cè)度的單調(diào)性，有.所以，是上的單調(diào)不減函數(shù).20.因； 同理，當(dāng)時(shí)，. .于是，讓為上任意一點(diǎn)，而，則有，故當(dāng)時(shí)，即.由，即，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，使得，即.當(dāng)無(wú)界時(shí)，令，則可測(cè)，滿(mǎn)足，且有， . 由極限的保號(hào)性，使得.記，而 為有界集：.如前兩步所證，作函數(shù) 則在上連續(xù)不減，且.由，使得，即. 附注 若可測(cè)，則 ，可測(cè)集，使.7.試作一閉集，使中不含任何開(kāi)區(qū)間，但. 解 仿照Cantor集的方法構(gòu)造閉集： 第一步：將作12等份

15、，挖去中央的開(kāi)區(qū)間，長(zhǎng)度為； 第二步：將余下的兩個(gè)閉區(qū)間和再各12等份，分別挖去中央的開(kāi)區(qū)間 ，各長(zhǎng)，共長(zhǎng)； 第步：在余下的個(gè)閉區(qū)間中，分別挖去其中央處長(zhǎng)為的開(kāi)區(qū)間，記這 個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間之并為，其長(zhǎng)度為；將這手續(xù)無(wú)限進(jìn)行下去，得一串開(kāi)集. 令，則為開(kāi)集，且有與Cantor集類(lèi)似的性質(zhì)： 為閉集且是完備集；不含任何開(kāi)區(qū)間（疏集）；可測(cè)，且由于，故. 附注 當(dāng)?shù)诖稳サ舻膫€(gè)開(kāi)區(qū)間的長(zhǎng)度為時(shí)，則；對(duì)任何，當(dāng)?shù)诖稳サ舻膫€(gè)開(kāi)區(qū)間的長(zhǎng)度為時(shí)，所得開(kāi)集的測(cè)度為，則，這可作為一般公式來(lái)應(yīng)用.8.試證定義在上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)集至多可數(shù)，因而是0測(cè)度集. 證 設(shè)為上的單增函數(shù)，則間斷點(diǎn)必為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，即若

16、為的間斷點(diǎn)，則.記，則，為軸上的一個(gè)開(kāi)區(qū)間，每個(gè)開(kāi)區(qū)間中可取一有理數(shù)，則中每個(gè)元與有理數(shù)集中一元相對(duì)應(yīng)，即與的一個(gè)真子集一一對(duì)應(yīng)，故，即至多可數(shù)，故.9.設(shè)為可測(cè)集列，且，則. 證 ， 使.而，.故 .10.試舉出一列可測(cè)集，含在一個(gè)有限區(qū)間中，而且存在，但. 解 考察如下集列 顯然 .又 ， .（從而不存在）所以，.雖然不存在，但存在極限：. 附注 一般，若為可測(cè)集列，且有界，則，.（不妨一證）11*.設(shè)為中互不相交的點(diǎn)集列，則. 證 因，且互不相交，則對(duì)每個(gè)，有型集，使，且.仍為型集.又對(duì)于的型集，且.但，故有.三、可測(cè)函數(shù)1.證明是上可測(cè)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任一有理數(shù)，集恒可測(cè).如果集恒

17、可測(cè)，問(wèn)是否一定可測(cè)？證 必要性：顯然， 有理數(shù)屬實(shí)數(shù)集.充分性：設(shè)對(duì)任一有理數(shù)，集恒可測(cè)，則對(duì)，有理數(shù)列，使得.從而為可測(cè)集.又如果對(duì)任何有理數(shù)，集恒可測(cè)，則不一定是可測(cè)的.例如：，是 中的不可測(cè)集（它是存在的，盡管不容易構(gòu)造，教材P65定理2.5.7），對(duì)任意，；，.則對(duì)任何有理數(shù)，恒可測(cè)，但是不可測(cè)集，從而不可測(cè).2.設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，分別為中的開(kāi)集和閉集，試問(wèn)和是否可測(cè)？這里記號(hào). 答 和均可測(cè). 證 令，時(shí)，即（）為開(kāi)集的構(gòu)成區(qū)間.是上的可測(cè)函數(shù)，是中的可測(cè)集，從而仍為可測(cè)集. 又對(duì)中的閉集，令，則為開(kāi)集.由上面證明可知可測(cè)，故仍可測(cè).3.（1）證明：；（2）設(shè)是下述點(diǎn)集：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)

18、，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.證明：有極限，并求此極限.證 （1）.（2）， .4.試作上的可測(cè)函數(shù)，使對(duì)任何連續(xù)函數(shù)有.此結(jié)果與魯金（Lusin）定理是否矛盾？ 解 作函數(shù) 則顯然是上的可測(cè)函數(shù). 設(shè)是上的任一連續(xù)函數(shù)，則在上有界，于是，使得（）.而在上，所以有.故. 這就是說(shuō)，上任何連續(xù)函數(shù)都有. 此結(jié)果與魯金定理并不矛盾.事實(shí)上，可取閉集，則 ，而所作的函數(shù)在上顯然是連續(xù)的. 此題也說(shuō)明魯金定理結(jié)論中的可任意小，但都.5.設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是上的可測(cè)函數(shù)，試證明：是可測(cè)函數(shù). 證 ，由在上連續(xù)可知：是開(kāi)集，設(shè)其構(gòu)成區(qū)間為 （）.于是，當(dāng)時(shí)，；反之，若，則必有，使.所以，. 但由題設(shè)：在上可測(cè)，則可測(cè)

19、，故可測(cè).6.設(shè)函數(shù)列在上依測(cè)度收斂于（即），且在上幾乎處處有.試證在上幾乎處處有. 證 ，由黎斯（Riesz）定理，子列，使 ，a.e.于（），即，于，且. 令，則；而由題設(shè)：，a.e.于（）可知，（），則有，即，而在上有（）且（）. 故（），即，a.e.于.7.設(shè)函數(shù)列在上依測(cè)度收斂于，且在上幾乎處處有，則在上幾乎處處收斂于（即，a.e.于）.證 ，由黎斯（Riesz）定理，子列，使 ，a.e.于（）；再由，a.e.于，則必有，a.e.于.8.設(shè)函數(shù)列在上依測(cè)度收斂于，而（稱(chēng)為對(duì)等，也即，a.e.于），則在上也依測(cè)度收斂于. 證 ，且，a.e.于，則，且. ， . 又 ，即 .9.試舉例說(shuō)

20、明：對(duì)于葉果洛夫（Egorov）定理，不能加強(qiáng)為除掉一個(gè)0測(cè)度集外， 一致收斂于. 解 構(gòu)造函數(shù)列如下： 則是上的連續(xù)函數(shù)列，必可測(cè)，且 于. 下面證明：對(duì)任一時(shí)，在上不會(huì)一致收斂. 取，無(wú)論取得多么大，總可取，令，則顯然非空（為什么？）.但 ， . 所以，在上不一致收斂.由此可知：葉果洛夫定理不能加強(qiáng)為：除掉一個(gè)0測(cè)度集外， 一致收斂于.10.幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列的充要條件是：對(duì)任何正數(shù)和，存在，當(dāng)時(shí)，（即它是依測(cè)度的Cauchy列）. 證 必要性 由，則時(shí)，. 又易知：，則， 從而當(dāng)時(shí)，. 下證充分性：先找出一個(gè)子序列，a.e.于. 任取數(shù)列.由題設(shè)條件可知：存在，使得， 從而可取，且

21、有 .對(duì)這串作：，. 令，則 ，. 因此，所以，. 下面證明是上的收斂基本列. 記 ，則 . 若，則存在，使得.對(duì)任給的，必有，使得，故對(duì)一切，有. 所以，在上的收斂于，其中. 顯然，于是，對(duì)任何正數(shù)和，存在，當(dāng)時(shí)，. 而，所以，當(dāng)時(shí)，即 于.四、Lebesgue積分1.設(shè)都是上的可測(cè)函數(shù)，且在上幾乎處處成立，問(wèn)在上是否一定可積？ 解 未必可積，因不一定滿(mǎn)足非負(fù)性.例如：取， 則顯然 ， 但 不可積.2.設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)為零，而在的補(bǔ)集中長(zhǎng)為的構(gòu)成區(qū)間上定義為（），試證，并求積分值. 解 令 為的補(bǔ)集中長(zhǎng)為的各構(gòu)成區(qū)間之并，則 ，. 令 則簡(jiǎn)單函數(shù)列滿(mǎn)足，且 . . 即 ，且 .3

22、.設(shè)為可測(cè)函數(shù)，令 試證明. 證 由題設(shè)知：，且 ，則由勒維（Levi）定理可知 .4.設(shè)從中取個(gè)可測(cè)子集，假定中任一點(diǎn)至少屬于這個(gè)子集中的個(gè).試證：必有一集，它的測(cè)度不小于. 證 令 的特征函數(shù)為，則. 令 ，則 ，從而 ， .5.勒維（Levi）定理中去掉函數(shù)列的非負(fù)性假定，結(jié)論是否成立？ 解 Levi定理中函數(shù)列的非負(fù)性條件是必要的，不可去，否則結(jié)論未必成立. 例如：， 則 ，a.e.于，且有 ，. 但 ，故 不存在；同理， 也不存在.因此，Levi定理不成立.容易證明：若存在，滿(mǎn)足 ，則Levi定理成立（不妨一證）.6.設(shè)，又設(shè)上的可積函數(shù)滿(mǎn)足，試證. 證 ， 由積分的單調(diào)性（）可知.

23、（設(shè)法去掉等號(hào)！） 若，則由命題3.2.5的（）可知 ，a.e.于，與矛盾！故.7.設(shè)為上的可積函數(shù)，如果對(duì)任何有界可測(cè)函數(shù)，都有，則，a.e.于，試證明之. 證 由 的任意性，不妨設(shè) 則為上的有界可測(cè)函數(shù)，由題設(shè)，應(yīng)有. 而 ， 故由命題3.2.5的（）可知：，a.e.于.8 設(shè)為上的可積函數(shù)，若對(duì)任何，恒有，則，a.e.于. 證 用反證法：設(shè)在上不是幾乎處處為零，令 ， ，則中至少有一個(gè)大于0.不妨設(shè)，則存在閉集 ，滿(mǎn)足，從而. 令，則 . 現(xiàn)取，并令，則為開(kāi)集.由于對(duì)任何，恒有，于是有，所以， . （*） 又設(shè)，其中為互不相交的構(gòu)成區(qū)間，則必存在某個(gè)，使得（否則必有而與（*）式矛盾！）.但，為此矛盾！ 故 ，a.e.于.9.設(shè)，試證：對(duì)每個(gè)，（取整函數(shù)）可積且有等式. 證 當(dāng) （）時(shí)，. 為簡(jiǎn)單函數(shù)列，且 .故 .10.設(shè)對(duì)每個(gè)，在上可積，a.e.于，且一致有，為常數(shù)，則在上可積.試證明之.證 設(shè)，由于，得 于. 由法都（Fatou）定理，得 . ， ，于是有 ，即 在上可積，從而 在上可積.11.設(shè)，（）均是上的可積函數(shù)，a.e.于，且. 試證：在任意可測(cè)子集上，有 . 證 由法都（Fat