專題：簡單的線性規(guī)劃含答案

1、高考復習專題：簡單的線性規(guī)劃專題要點簡單的線性規(guī)劃：能從實際問題中抽象出二元一次不等式組.理解二元一次不等式組表示平面的區(qū)域,能夠準確的畫出可行域.能夠?qū)嶋H問題抽象概 括為線性規(guī)劃問題,培養(yǎng)應用線性規(guī)劃的知識解決實際問題的水平.線性規(guī)劃等內(nèi)容已成為高考的熱點,在復習時要給于重視,另外,不等式的證實、繁瑣的推理逐漸趨于淡化,在復習時也應是注意.考查主要有三種：一是求給定可行域的最優(yōu)解；二是求給定可行域的面積； 三是給出可行域的最優(yōu)解,求目標函數(shù)(或者可行域)中參數(shù)的范圍.多以選 擇填空題形式出現(xiàn),不排除以解做題形式出現(xiàn).考綱要求了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組;了

2、解線性規(guī)劃的意義并會簡單應用典例精析線性規(guī)劃是高考熱點之一,考查內(nèi)容設計最優(yōu)解,最值,區(qū)域面積與形狀等,x y 1x y 1,那么z x 2y的最小x 1 0通常通過畫可行域,移線,數(shù)形結(jié)合等方法解決問題.考點1:求給定可行域的最優(yōu)解例1. (2021廣東文)變量x、y滿足約束條件值為A. 3B. 1C.5D. 6解析:C.畫出可行域,可知當代表直線過點 A叱 取到最小值.聯(lián)立'1 ,解得X 1,所以z x 2y的最小值為5.y x 1y 2x y 3例2. (2021天津)設變量x, y滿足約束條件：x y 1.2x y 3那么目標函數(shù)z=2x+3y的最小值為(A) 6(B) 7(C

3、) 8(D) 23x y 3解析：畫出不等式 x y 1表示的可行域,如右圖,2x y 3讓目標函數(shù)表示直線y 2x +在可行域上平移,知在點B自目標函數(shù)取到33最小值,解方程組 X y 3得2,1,所以Zmin 4 3 7,應選擇B.2x y 3發(fā)散思維：假設將目標函數(shù)改為求Z 丫的取值范圍；或者改為求 Z 上 的取值 xx 3范圍；或者改為求z x2 y2的最大值；或者或者改為求z x 12 y2的最 大值.方法思路：解決線性規(guī)那么問題首先要作出可行域,再注意目標函數(shù)所表示或邊界上的點,的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找出目標函數(shù)到達最值時可行域的頂點2x y 2 0x 2y 4 0,那么目標函數(shù)但要

4、注意作圖一定要準確,整點問題要驗證解決.x 1 0 D. 32y得y 3x二,由圖象可知當 22-的截距最大,而此時2練習1. 2021天津設變量x,y滿足約束條件z 3x 2y的最小值為A.5B. 4C.2【解析】做出不等式對應的可行域如圖,由z 3x直線y x 經(jīng)過點C0,2時,直線y x222z 3x 2y 最小為 z 3x 2y 4,選 B.0<x<1,練習2.在約束條件 0&y&2,下,x x-1 2 + y2的最小值為 2yx> 1,解析 在坐標平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域,注意到xj x-1 2+y2可視為該區(qū)域內(nèi)的點x, y與點1,0

5、之間距離,結(jié)合圖形可知,該| 1 1| 2/5距離的最小值等于點1,0到直線2yx=1的距離,即為5 = 5 . 答案2 ；55練習3、2021廣東文、理數(shù)平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組y<2給定.假設Mx,y為D上的動點,點A的坐標為| 、歷,1,那么z而而的最大值為A 3B、4 C 、3企D 4/2解答：解：首先做出可行域,如下圖：z=0jf?0A=V2s+y,即y=-|x/lx+z做出l0: y=-Vx,將此直線平行移動,當直線y=-匹x+z經(jīng)過點A時,直線在y軸上截距最大時,z有最大值.由于A 祗,2,所以z的最大值為4應選B練習4. 2021福建O是坐標原點,點 A1

6、,1,假設點Mx, y為平面區(qū)x + y>2,域x&1,上的一個動點,那么OA-OM勺取值范圍是y<2A. 1,0 B . 0,1 C . 0,2 D . -1,2x + y>2,【分析】由于OA-OMk x+y,實際上就是在線性約束條件x<1,下,y<2求線性目標函數(shù)z = x + y的最大值和最小值.【解析】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖,又OA-OMk-x+y,取目 標函數(shù)z = x+y,即y = x + z,作斜率為1的一組平行線.當它經(jīng)過點C1,1時,z有最小值,即zmin = 1 + 1 = 0;當它經(jīng)過點B0,2 時,z有最大值,即zmax

7、= 0+2=2.z的取值范圍是0,2,即OA- OMj取值范圍是0,2,應選C.考點2:求給定可行域的面積 例3.在平面直角坐標系中,不等式組x 3y 4表示的平面區(qū)域的面積為3x y 4A. 3B, -C.23D. 34答案c考點3:給出最優(yōu)解求目標函數(shù)或者可行域中參數(shù)x y 2>0,例4. 2021廣州一模文數(shù)在平面直角坐標系中,假設不等式組x y 2>0,表示的x& t平面區(qū)域的面積為4,那么實數(shù)t的值為A. 1B. 2C. 3D. 4答案Bx y 1 0練習5. (2021福建卷文)在平面直角坐標系中,假設不等式組x 1 0 (為ax y 1 0常數(shù))所表示的平面區(qū)

8、域內(nèi)的面積等于2,那么a的值為A. -5 B. 1 C. 2 D. 3解析解析 如圖可得黃色即為滿足 x 1 0與x y 1 0的可行域,而ax y 1 0的直線恒過(0, 1),故看作直線繞 點(0, 1)旋轉(zhuǎn),當a=-5時,那么可行域不是一個封閉區(qū)域,當 a=1時,面積是 1; a=2時,面積是3 ;當a=3時,面積恰好為2,應選D.2x 2y 19 0, 練習6.設二元一次不等式組x y 8 0,所表示的平面區(qū)域為 M使函數(shù)y2x y 14 0= ax(a>0, a乎1)的圖象過區(qū)域 M的a的取值范圍是4(A) 1,3(B)2,、而(C) 2,9(D) 10 ,9x+ 2y>

9、0,假設z的最大值為6,那么z的最練習7.設z= x+y,其中x、y滿足x-y<00<y<k小值為A. - 3B. 3C. 2D. -2解析 如下圖,作出不等式組所確定的可行域OAB, 辦2Vf?好目標函數(shù)的幾何意義是直線 x + y z=0在y軸上的截距,由圖尸卜一 一,一 ,一xy=o,可知,當目標函數(shù)經(jīng)過點 A時,取得最大值,由解 M 4y=k,得A(k, k),故最大值為z=k+k = 2k,由題意,得2k= 6,故k= 3.當目標函數(shù)x + 2y= 0,經(jīng)過點B時,取得最小值,由解得B( 6,3),故最小值為z= -6y=3,+ 3= 3.應選 A.答案 A練習8.

10、 2021課標文正三角形 ABC的頂點A1,1,B1,3, 頂點C在第一象限,假設點x, y在4ABC內(nèi)部,那么z x y的取值范圍是A. 1- ：3,2B. 0,2C. ；3-1,2D. 0,1+ ；3【命題意圖】此題主要考查簡單線性規(guī)劃解法,是簡單題.【解析】有題設知C1 + 4,2,作出直線lo： x y 0,平移直線10,有圖像知,直線l :z x y過B點時,zmax=2, 過C時,zmin=1 "z x y取值范圍為1- 3,2, 應選A.練習9. 2021福建文假設直線y 2x上存在點x,y滿足約x y 3 0束條件x 2y 3 0,那么實數(shù)m的最大值為x mA. -1

11、B. 1C. 3D. 22【答案】B【解析】x y 3 0與y 2x的交點為1,2,所以只有m 1才能符合條件,B正確.【考點定位】此題主要考查一元二次不等式表示平面區(qū)域,考查分析判斷水平.邏輯推理水平和求解水平.練習10. 2021福建理假設函數(shù)y 2x圖像上存在點x,y滿足約束 條件 x y 3 0x 2y 3 0,那么實數(shù)m的最大值為x mA. 1B. 1C. 3D. 222【答案】B【解析】x y 3 0與y 2x的交點為1,2,所以只有m 1才能符合條件,B 正確.【考點定位】此題主要考查一元一次不等式組表示平面區(qū)域,考查分析判斷水平、邏輯推理水平和求解計算水平考點四：實際應用與大題

12、 例5 2021四川卷理某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A原料1噸、B原料3噸.銷售 每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤 5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3萬元,該企業(yè)在一個 生產(chǎn)周期內(nèi)消耗 A原料不超過13噸,B原料不超過18噸,那么該企業(yè)可獲得最 大利潤是A. 12萬元 B. 20 萬元 C. 25 萬元 D. 27 萬元解析：設甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn) 潤z最大,故此題即x、y噸,可使利3x約束條件2x xy3y001318 ,求目標函數(shù)z 5x 3y的最大值,可求出最優(yōu)解為34,故小 15 12 27,故選擇Do練習11.2021四川理桶需耗A原

13、料1千克、某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品,生產(chǎn)甲產(chǎn)品1B原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是 400元.公司 在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通 過合理安排生產(chǎn)方案,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是A. 1800 元 B. 2400 元C. 2800 元D. 3100 元答案C解析設公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 X桶,乙種產(chǎn)品Y桶,公司共可獲得 利潤為Z元/天,那么由,得Z=300X+400YX且2XXY2Y 12Y 1200畫可行域如下圖,目標函數(shù)Z=300X+400EY= 3x

14、4解方程組z4002x這是隨Z變化的一族平行直線y 122y 124 I1即 A(4,4)46Vx 122x+y=12工十2產(chǎn)12ZmaY 1200 1600 2800iiiax點評解決線性規(guī)劃題目的常規(guī)步驟：一列列出約束條件、二畫畫出可 行域、三作作目標函數(shù)變形式的平行線、四求求出最優(yōu)解.練習12.2021廣州二模文數(shù)甲、乙、丙三種食物的維生素含量及本錢如下表 所示：食物類型甲乙丙維生素C 單位/ kg 300500300維生素D 單位/ kg 700100300本錢兀/ kg 543某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物,設所用食物甲、乙、丙的重量分別為1試以x,y表示混合食物的本

15、錢 P;(2)假設混合食物至少需含 35000單位維生素C及40000單位維生素D,問x,y,z取什么值時,混合食物的本錢最少?(本小題主要考查線性規(guī)劃等知識 意識)考查數(shù)據(jù)處理水平、運算求解水平和應用(1) 解：x y z 100, P 5x 4y 3z.由 x y z 100 ,得 z 100 x y ,代入 得P 300 2x y.(1) 解：依題意知 x 、 y 、 x 0, y 0,z 0,300x 500y 300z 35000, 6 分700x 100y 300z 40000.5x 4y 3z ,z要滿足的3條件x 0, y 0,把 z 100 xy代入方程組得100 x 2x y y 25.y50,0,如圖可行域(陰影局部)的一個頂點為A 37.5,25 . 讓目標函數(shù)2x y由此可知P 3003002xP在可行域上移動,y在A 37.5,25處取得最小值當 x 37.5 (kg