整數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用

1、整數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用1.1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù).2.假設(shè)質(zhì)數(shù)p|ab,那么必有p|a或p|b o 3.假設(shè)正整數(shù)a, b的積是質(zhì)數(shù)p,那么必有a=p或b=p.4.定理1.設(shè)a是一個(gè)大于1的正整數(shù),那么a的大于1的最小正因數(shù)p 一定是質(zhì) 數(shù).5.定理2.假設(shè)p是質(zhì)數(shù),那么對(duì)任一整數(shù)a,或者p|a,或者p, a =16.定理3.質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè).7.形如4n-1n為正整數(shù)的質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè).8. 算術(shù)根本定理：任意一個(gè)大于1的整數(shù)N能分解成K個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積,假設(shè)不考慮質(zhì) 因數(shù)之間的順序,那么這種分解是唯一的,可以寫成標(biāo)準(zhǔn)分解形式 ：1.三個(gè)不同的質(zhì)數(shù) a ,b,c 滿足babc, a,2

2、000,求a+b+c的值.nn2.假設(shè)n是大于2的正整數(shù),求證：與中至多有一個(gè)是質(zhì)數(shù).2,12 ,13.用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地,選用邊長為xcm規(guī)格的地磚,恰用n塊；假設(shè)選用邊長為ycm規(guī)格的地磚,那么要比前一種剛好多用124塊,已知x、y、n都是正整數(shù),且x, y =1.試問這塊地有多少平方米？22224.設(shè)a,b,c,d 都是自然數(shù),且a, b,c , d,證實(shí)一定是合數(shù).a , b, c, d5.假設(shè)n為自然數(shù),n+3與n+7都是質(zhì)數(shù),求n除以3所得的余數(shù).226.設(shè)自然數(shù)n,n,79n,nnn ,且有,試求與的值.1212127.n是不小于40的偶數(shù),試證實(shí)：n總可以

3、表示成兩個(gè)奇合數(shù)的和.a8.假設(shè)a,b,c是1998的三個(gè)不同的質(zhì)因數(shù),且b , c,那么的值是多少？ a,b,c14549.四個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是,那么這四個(gè)質(zhì)數(shù)之和是多少？199510 .有四個(gè)數(shù),一個(gè)是最小的奇質(zhì)數(shù),一個(gè)是偶質(zhì)數(shù),一個(gè)是小于30的最大質(zhì)數(shù),另一個(gè)是45p, 3p, 3仍是質(zhì)數(shù),求的值.大于70的最小質(zhì)數(shù),求它們的和.11 .p是質(zhì)數(shù),p12.質(zhì)數(shù)p和q滿足,求的值.3p , 5q,313q , 11 .有三個(gè)正整數(shù),一個(gè)是最小的奇質(zhì)數(shù),一個(gè)是最小的奇合數(shù),另一個(gè)既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù),求三個(gè)數(shù)的積.2 .有三個(gè)數(shù),一個(gè)是偶質(zhì)數(shù),一個(gè)是大于 50的最小質(zhì)數(shù),一個(gè)是100以內(nèi)最

4、 大的質(zhì)數(shù),求這三個(gè)數(shù)的和.3 .設(shè)m與n是兩個(gè)大于2的質(zhì)數(shù),證實(shí)m+n是一個(gè)合數(shù).4 .假設(shè)p是一個(gè)質(zhì)數(shù),23p, 3p, 3仍為質(zhì)數(shù),求證：也是一個(gè)質(zhì)數(shù).5 .設(shè)P>5,證實(shí)：假設(shè)P和2P+1均為質(zhì)數(shù),WJ 4P+1為合數(shù).6 .假設(shè)P與P+3都是質(zhì)數(shù),求P除以3所得的余數(shù).P>3227.假設(shè)自然數(shù) n,n,2n,2n,19n,nn,n,且,求的值.121212128 .有四個(gè)不同質(zhì)因數(shù)的最小自然數(shù)是多少？9 .求200的正約數(shù)個(gè)數(shù),并求它的所有質(zhì)因數(shù)的和.545410.假設(shè)n,4, 545,那么n是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？11 .假設(shè)質(zhì)數(shù) m, n滿足5m+7n=129,求m+n的值.

5、12 .一個(gè)兩位質(zhì)數(shù),將它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后仍是一個(gè)質(zhì)數(shù),我們稱 它為“無暇質(zhì)數(shù),那么所有“無暇質(zhì)數(shù)之和是多少？13 .機(jī)器人對(duì)自然數(shù)從1開始由小到大按如下的規(guī)那么進(jìn)行染色：凡能表示為兩 個(gè)合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色,不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色,假設(shè)被染成紅色的數(shù)由 小到大數(shù)下去,求第1992個(gè)數(shù)是多少?14 .證實(shí)有無窮多個(gè)n,使多項(xiàng)式2n, n, 41 (1)表示合數(shù) (2)為43的倍 數(shù).qp15.正整數(shù)p ,q都是質(zhì)數(shù),且7p+q與pq+11也都是質(zhì)數(shù),試求p, q的 值.16. 1與0交替排列,組成下面形式的一串?dāng)?shù)：101, 10101, 1010101,101010101,請(qǐng)你答復(fù)：在這申數(shù)中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)？并證實(shí)你的結(jié)論.17.41名運(yùn)發(fā)動(dòng)所穿運(yùn)動(dòng)衣號(hào)是1, 2, , 40, 41這41個(gè)自然數(shù),問：(1)能否使這41名運(yùn)發(fā)動(dòng)站成