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1、v1.0可編輯可修改求軌跡方程的常用方法:題型一直接法此法是求軌跡方程最根本的方法,根據(jù)所滿足的幾何條件,將幾何條件M |P(M)直接翻譯成x, y的形式f(x, y) 0 ,然后進(jìn)行等價(jià)變換,化簡(jiǎn) f (x, y) 0 ,要注意軌跡方程的純粹性和完備性,即曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn),也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)適合這個(gè)條件而毫無(wú)例外(純粹性);反之,適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏(完備性).例1過(guò)點(diǎn)A( 2,3)任作互相垂直的兩直線 AM和AN ,分別交x,y軸于點(diǎn)M , N ,求線段MN中點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x, y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及M,N在軸上得M (0,2y),N(

2、2x,0)(x,yAM ANkAM kAN0 3 2yR)13口2x 2 0 23當(dāng)x 1時(shí),M (0,3) , N(2,0),此時(shí)MN的中點(diǎn)P(1q)它也滿足方程4x 6y 13 0, 所以中點(diǎn)P的軌跡方程為4x 6y 13 0.變式1動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線l :x 4的距離是它到點(diǎn) N (1,0)的距離的2倍.(1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2) 過(guò)點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn).假設(shè)A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.一 1 (x 1),化簡(jiǎn)得 4x 6y 13 0 (x 1)題型二定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要,應(yīng)特別重視利用圓錐曲線的定義解題,包括用定義法求軌

3、跡方程.v1.0可編輯可修改例2動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)P( 4,0),且與圓C : x2 y2 8x 0相切,求動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程.解:根據(jù)題意|MC | | MP | 4,說(shuō)明點(diǎn)M到定點(diǎn)C、P的距離之差的絕對(duì)值為定值,故點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.2a 4a 2, c 4b 一 c2 a21222故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為y- 1412變式2在4ABC中,BC 24, AC, AB上的兩條中線長(zhǎng)度之和為 39,求 ABC的重心的軌跡方程.解:以線段BC所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如圖1, M為重心,那么有 BM CM| 2 39 26 .M點(diǎn)的軌跡是以B, C為焦點(diǎn)的橢圓,其中 c

4、 12, a 13 . b Ja2 c2 5 .22;所求 ABC的重心的軌跡方程為 - -y- 1(y 0)169 25題型三相關(guān)點(diǎn)法C上的點(diǎn)(x', y')的坐標(biāo),可先用x, y來(lái)此法的特點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn) M(x, y)的坐標(biāo)取決于曲線表示x',y',再代入曲線 C的方程f (x, y) 0,即得點(diǎn)M的軌跡方程.例3如圖,從雙曲線x2 y2 1上一點(diǎn)Q引直線x y 2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程分析:從題意看動(dòng)點(diǎn) P的相關(guān)點(diǎn)是Q, Q在雙曲線上運(yùn)動(dòng),所以此題適合用相關(guān)點(diǎn)法.解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xyj ,那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

5、2x x1,2y y1)N在直線x y 2上,v1.0可編輯可修改2x x1 2y y12又 P Q垂直于直線2,yy1xx11,即xyV1x10由解得x1yi3-x21x212V32y又點(diǎn)Q在雙曲線上,2x12V1代入,得動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程為2x22y22x 2y變式3 ABC勺頂點(diǎn)B( 3,0)C(1,0),頂點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng),求 4ABC的重心G的軌跡方程.解:設(shè) G(x, y) , A(Xo,y0),由重心公式,得3 13上,3X0x0 3x 2,V. 3y.A(%, yo)在拋物線2 ,x上,yo將,代入,得3y(3x2)2(y0),即所求曲線方程是y2,3x 4x3(y題型四參數(shù)

6、法選取適當(dāng)?shù)膮?shù),分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,得出軌跡的參數(shù)方程,消去參數(shù),即得其普通方程,選參數(shù)時(shí)必須首先充分考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素,然后在選取適宜的參數(shù),因?yàn)閰?shù)不同,會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量的不同,常見(jiàn)的參數(shù)有截距、角度、斜率、線段長(zhǎng)度等.例4線段AA2a ,直線l垂直平分AA于O ,在l上取兩點(diǎn)P, P ,使有向線段滿足OfP1 OP4,求直線AP與AP的交點(diǎn)M的軌跡方程.解:如圖2,以線段AA所在直線為x軸,以線段 AA的中垂線為y軸建立3v1.0可編輯可修改直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn) P(0 t)(t 0),一一_ 一 4那么由題意,得P 0,. t由點(diǎn)斜式得直線AP, A P的方程分別為y (x

7、a), y (x a). ata兩式相乘,消去t ,得4x2 a2y2 4a2(y 0).這就是所求點(diǎn) M的軌跡方程.2變式4設(shè)橢圓方程為x2 1 ,過(guò)點(diǎn)M (0,1)的直線l交橢圓于點(diǎn) A, B,O是坐標(biāo)原點(diǎn), 411 1、, 1,l上的動(dòng)點(diǎn)P滿足OP -(OA OB),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(萬(wàn),萬(wàn)),當(dāng)l繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)時(shí),求:(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2) |NP|的最小值與最大值.分析:(1)設(shè)出直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出 x1 x2, y1 y2,進(jìn)而表示出點(diǎn)P坐標(biāo),用消參法求軌跡方程;(2)將|NP|表示成變量x的二次函數(shù).解:(1)法一:直線l過(guò)點(diǎn)M (0,1),當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)其

8、斜率為k ,那么l的方程為y kx 1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題設(shè)可列方程為y kx 1 2 x2 1 4將代入并化簡(jiǎn)得:(4 k2)x2 2kx 3 0,x1所以y1x2y22k4 k284 k2于是.P19A OB -T,六)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),那么v1.0可編輯可修改k4 k244k2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),消去參數(shù)k得4x2 y2 y 0A, B的中點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)0,0,也滿足方程,所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2 y2 y 0.法二:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),Axyi, Bx2,y2在橢圓上,所以2 xi2 x22 yi42 y24一得:2xi2x2所以(x1x2)(x1x2)4(yi24(yiv2)0Y2)(YiV2)0當(dāng)xi x2時(shí),有xiix2 4(yiyiy2_y2)-0 xix2xi x2x 2并且 y Y一紅2y i yi y2x xi x2將代入并整理得 4x2 y2 y 0當(dāng)xix2時(shí),點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為0,2、0, 2,這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,0,也滿足,所以點(diǎn)P的軌跡方程為2 xii.3(x J)2 67_i2i6

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