定比分點的向量公式及應(yīng)用

1、定比分點的向量公式及應(yīng)用浙江省永康市古山中學(xué)(321307) 吳汝龍定比分點的向量公式：在平面上任取一點 O,設(shè)OR a，OP2 b，若pPPp2，則 OPa b。1 1 1 - 1 p 特別地，當 1時，即p為線段pp2的中點，則有 OP a -b。2 2用定比分點的向量公式，可使有些問題的解決更簡潔。下面舉幾例說明。一、求定比 的值：例1：已知A( 2,1)，B( 3, 1)及直線I : y4x 5，直線AB與I相交于P點，求P11點分AB的比解：設(shè)P(x, y)，則由AP PB，得1 131(x,y)(2,1)(3, 1)(,)，1 1 1 1又 P點在直線I上，.1_4(13 )51

2、1 '* * 。3例2:如圖所示，在ABC中，D為邊BC上的點，且BD kDC，E為AD上的一點，且解:CFFA ,BF1-BCBA，11又DEl EA，.BE1-BDlba，k1 l1 l而BDkDCBC，1 kDE l EA，延長BE交AC于F,求F分有向線段CA所成的比-kl 一BEkBCBA，(1l)(1 k) 1 l/ B、E、F 共線，.設(shè) BEtBF，而 tBFBCBAkl t t 一k BC BA BC -BA(1l)(1 k) 1 l 11標。1(1l)(1 k)，解得t l1 ri、求直線上點的坐標例3:已知點A( 1, 1), B(2,5),分析：先求岀C點分AB

3、的的值,解： ACACCB1(1 k)k點C為直線AB上一點，且 AC再利用定比分點的向量公式求岀點5BC，求C點的坐C的坐標。利用定比分點的坐標公式有1OC OA6 C點的坐標為5Ob 1(6 6 (1,4)。1, 1)536(2,5) $4)。 1 例 4：已知 A(2,3), B( 1,5)，且 AC 丄 AB , 3分析：由題設(shè)，運用定比分點的向量公式，可以求得點AD3AB，求點C, D的坐標。C, D的坐標。解：設(shè) C(X1, yj , Dg y2),AC 1CB 2根據(jù)定比分點的向量公式有OCOA1OB,1- (X1,yJ1 (2,3)1 -212121,5)(2,3)11(1,5

4、)(1,石)3同理由AD 3AB得2ADDB根據(jù)定比分點的向量公式有OC1 2OB，1(X2, y2)3 (2,3)1 32321 32(1,5)2 (2,3) 3 ( 1,5)( 7,9)點C的坐標為(1,) , D點的坐標為(7,9)。3三、證明三點共線例 5：已知點 A(a,b c) , B(b,c a) , C(c,a b)，求證：a、b、c三點共線證明：設(shè)C/(c, y)在AB 上, C/分AB的比為 ，貝Uc a c，解得c ba b c c,yy a b1- C/(c, y)與 C(c,a b)重合，由題設(shè)知C在AB上, A、B、C三點共線。四、求字母系數(shù)范圍例6：已知點A(3,

5、3)，B( 1,5)，一次函數(shù)y kx 1的圖象與線段 AB有公共點，求實數(shù)k的取值范圍。解：設(shè)P(x, y)為一次函數(shù)圖象與線段AB的交點，把P看作AB的定比分點，其定比為則有 0，由定比分點公式有OPOA 1 1而P點在函數(shù)y kx 35k311解得3k2k4， 3k20,即kk 4而當P點與B重合時, 1-OB(3,3)11圖象上，1，(1) (7-或 k 4，3k 4也適合例7：若直線yax 2與連接P( 2,1)，Q(3,2)兩點的線段有公共點，求實數(shù)a的取值范圍。3 4解：當直線過 p點時，a，直線過Q點時，a2 3當直線與線段 PQ的交點在P、Q之間時，設(shè)這個交點 M (x, y

6、)分PQ的比為111M點的坐標為(2 3,1 2 )11又直線過點 M,1 22 3a-2,112a 33a 4，又點M在線段PQ上知0,2a 3 門40,解得a或a3a 4343a或ao32由定比分點公式有五、解決平面幾何問題:例8:如圖所示，在平行四邊形32，OM -OP 10Q (卸)廠(3,2)( 1APABCD中, P點在線段AB上，且PBm，Q在線段AD上,且jAQ n , bq與cp相交于R,求QDPR的值RC分析：取兩基底，由定比分點的向量公式將有關(guān)向量用基底表示岀來，再求解 PRRC由題意有AP mPB,AQnQD ,111 -則BPPABAa ,mm 1m 11n1 -n

7、_BQ -BABDa(a1n1 n1 n1 n解：設(shè) BA a，BC b，PRRC，b)BRBP -1BC1 -a -(1)(1 m) 1又B、R、Q三點共線，.存在實數(shù)t 使 BQ tBR，ta(1)(1 m)Lb(1)(1 m)1，且PR(1 m)(1 nO，即 RC (1 而nO。例9:設(shè)直角三角形 AOB斜邊的三等分點為 D、E。求證|OD |2 |OE |2 |DE|2 |AB|2。分析：以O(shè)為原點，OA為x軸正向建立直角坐標系，設(shè)OA (a,0), OB (0,b)，用從而證明命題。證明：以直角頂點o為原點, 軸，y軸建立直角坐標系，如圖設(shè)點 A(a,0)，點 B(0,b),D(x

8、, y)直角邊OA OB所在直線為a， b表示相關(guān)線段的長度,12由定比分點的向量公式得一 2 1點d坐標為（_a,_b）33一 1 2同理點e坐標為（一a, b）,33得則D分AB的比為由兩點間距離公式,|OD |24a24b29 |OD |2|OE |2 |DE |2而 a2 b22|ab| ,- |OD |2|OE |2 |DE|2,| DE |2自 AB|2。已知 ABC ,求證:CF相交于一點G,且朋更AD BE分析：幾何問題應(yīng)用向量來解決，例10：如圖,b29b2)，ABC的三條中線AD BE、2。3CGCF關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量,可以在平面內(nèi)任取一點 O為向量的始點，將OA、OB、OC設(shè)岀證明：如圖，在平面內(nèi)任取一點O,設(shè)OA a , OB b ,OC又設(shè)Gi為AD上一點，且AG1 2G1D，則- D為 BC中點， OD -(b c),2O1 2 11二 OG1a(b c)