解三角形高考題集

1、17.已知a, b, c分別為 ABC三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，acosC+J3asinCbc求A；(2)若a=2, 4ABC的面積為 J3 ,求b, c.17.解：(1)由acosC+ 出asinCbc= 0及正弦定理得 sinAcosC + 33 sinAsinC sinB sinC = 0.因?yàn)锽 =兀一 A C,所以 /3 sinAsinC cosAsinC sinC = 0.，一Ll,、，冗1由于 sinCw。，所以 sin(A ) . 62一一 一一兀又 0VAv Tt,故 A .3(2)AABC 的面積 S -bcsinA 73 ,故 bc=4.2而 a2= b2+ c2

2、2bccosA,故 b2 + c2 = 8.解得b= c= 2.17.在 ABC 中，若 sin2A+sin2Bvsin2C,則 ABC 的形狀是()直角三角形 不能確定 a2+b2<c2,0,A,銳用二角形C.鈍角三角形B.D.17. C 由正弦定理可知 2,22a b c 從而cosC 2ab.C為鈍角，故該三角形為鈍角三角形.花11.在 ABC中，若A 一，則/ C的大小為3花11.答案：一2解析：由正弦定理得,sin Asin B從而,即 sin B sin B./ B=30°或 / B= 150° . ./ B=30°.由a>b可知/B= 1

3、50°不合題意, ./ C= 180° 60°30°= 90°.=(5.如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE= 1,連結(jié)EC, ED,則sin/ CED )C.5.3.101010B.D.B 因?yàn)樗倪呅?1010在15、.兀ABCD是正萬(wàn)形，且 AE = AD= 1,所以/ AED= 4RtAEBC 中，EB=2, BC= 1,所以 sinZ BEC= , cos/ BEC =-25 sin/CED 55.,冗 V2=sin(/ BEC) = cos/ BEC 1016.在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a, b,c.

4、已知a= 2, c22 ,cosA(1)求sinC和b的值；,兀,(2)求 cos(2A+ &)的值.16.解：(1)在ABC中，由cosA "4可得sinA/14又由c ” 八及a = 2,sinA sinC由 a2= b2+ c2 2bccosA,得c 近,可得sinCb2 + b2=0.因?yàn)閎>0,故解得b=1.所以sinC(2)由 cosA立，sinA414 _o,得 cos2A= 2cos2A4,sin2A= 2sinAcosA = 冗所以，cos(2A+ ) = cos2Acos -2sinBcosA= sinAcosC16.設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C所

5、對(duì)邊的長(zhǎng)分別為 a, b, c,且有 + cosAsinC.(1)求角A的大?。?2)若b=2, c= 1, D為BC的中點(diǎn)，求 AD的長(zhǎng).16.解：(1)方法一：由題設(shè)知,.1cosA 一.22sinBcosA= sin(A+ C) = sinB,因?yàn)閟inBw 0,所以由于0V Av TT,故A方法二：由題設(shè)可知,2bb22,22a b cb2是 b2+ c2 a2= bc,所以2bccosA2c2bc2ab122bc由于0<A< Tt,故auuur2(2)方法一：因?yàn)锳Duur冗 7uuurAC )21 uur2-(AB 4uuur2 ACuuu2ABuurAC)=-(1 +

6、 4 + 2x 1X2X cos-)=-,uuir所以AD-,從而 AD -221萬(wàn)法二：因?yàn)?a2=b2 + c2-2bccosA=4+ 1-2X2X 1 x _2=3,所以a2+ c2 = b2,因?yàn)锽D旦2所以AD4217 .在 ABC 中，內(nèi)角 A,B, C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c.已知 sinB(tanA+ tanC) = tanAtanC.求證：a, b, c成等比數(shù)列；(2)若 a=1, c= 2,17.解：(1)證明：sinA所以sinB(-cosA求 ABC的面積S.在ABC 中，由于 sinB(tanA + tanC) = tanAtanC,sinC、 sinA sin

7、C二)7 二,cosC cosA cosC因此 sinB(sinAcosC+ cosAsinC) = sinAsinC, 所以 sinBsin(A+C)= sinAsinC,又 A+B+C= tt,所以 sin(A +C)= sinB, 因止匕 sin2B= sinAsinC. 由正弦定理得b2=ac, 即a, b, c成等比數(shù)列.22.2一，, 二，一、一1_ a c b(2)因?yàn)閍=1,c=2,所以b V2，由余弦te理得cosB 2ac1222 22工,4/ J44372 ,則 AC=(A. 4點(diǎn) B.2x/3C.33D.6.一 BCB 由正弦定理得 sinA生，即冬sinB sin60

8、AC-A ,解得 AC 2P . sin4516.在 ABC 中，角 A, B, C.(1)求 cos A;(2)若a=3, ABC的面積為C的對(duì)邊分別為a,b, c.已知 3cos(B C) 1 = 6cos Bcos2近,求b, c.因?yàn)?0vBv tz,所以 sinB1icos2B故 AABC 的面積 S= acsinB= 12 226.在 ABC 中，若/ A=60°, / B=45°, BC16.解：(1)由 3cos(BC)1 = 6cos Bcos C,得 3(cos Bcos C sin Bsin C) = 1,1 一一即 cos(B + C)= -，從而

9、cos A=cos(B+ C)=3(2)由于 0vAv ti, cos A=-,所以 sin A= 2五 33又 Saabc =2衣，即1 bcsin A 272 ,解得 bc= 6.2由余弦定理 a2 = b2 + c2 2bccos A,得 b2+c2=13.立、工bc6,/口b 2fb 3,解萬(wàn)程組 22得 或b2 c213,c 3,c 2.18.在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,且bsinA= 33 acosB.(1)求角B的大??；(2)若 b=3, sinC=2sinA,求 a, c 的值.a b18. 解：(1)由 bsinA= "3 aco

10、sB 及正弦te理 ,sinA sinB得 sinB= 33 cosB,所以tanB= 石，所以B -3(2)由 sinC=2sinA 及 -, 得 c=2a.sinA sinC由 b = 3 及余弦定理 b2 = a2 + c2 2accosB,得 9 = a2 + c2 ac.所以 a 33, c 2J3.8.設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)， 且 A>B>C, 3b=20acosA,貝 U sinA： sinB： sinC J()A.4：3：2 B.5：6： 7C. 5：4：3 D.6：5： 48 . D 由題意可設(shè) a=

11、b+1, c = b 1.又3b = 20a cosA , ，3b=20(b +1) b一(b 1)一(b 1),整理得，7b227b40=0,解得 b=5,故 a= 6, b=5, c= 4, 2b(b 1)即 sinA : sinB : sinC = a : b ： c= 6 ： 5 ： 4.8.C.在 ABC中,立23 J2AC = V7, BC = 2, B = 60°,則BC邊上的高等于()3.3B.2D 舊商48.B 在ABC中，由余弦定理可知:AC2=AB2+BC22AB BCcosB, 即 7=AB2+4-2X2X ABX -.2 整理得 AB22AB 3=0.解得A

12、B = 1(舍去)或AB=3.故BC邊上白高 AD=AB sinB=3 x sin603.3213.在 ABC中，已知/13.答案：72 解析：如圖： 由正弦定理得AC BC , sin B sin ABAC=60°,/ ABC=45°, BC J3 ,則 AC =即上sin 45sin 60AC22,33，故 AC 2 .17.在 ABC 中，角 A, B,B, C成等差數(shù)列.2求cosB的值；(2)邊a, b, c成等比數(shù)列，求 sinAsinC的值.17.解：(1)由已知 2B=A+C, A+B + C=180°,解得 B=60°,1 所以cosB

13、 一 .21 (2)解法一：由已知 b2=ac,及cosB ，2根據(jù)正弦定理得sin2B= sinAsinC, 3 所以 sinAsinC= 1 cos2B=.41 解法二：由已知 b2 = ac,及cosB 一，222根據(jù)余弦定理得cosB acac ,解得a= c, 2ac3所以 A= C= B = 60 ,故 sinAsinC =413.設(shè) ABC的內(nèi)角1-A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 a=1, b= 2, cosC=一,則 4sinB =“1513.答案：-一4解析：由余弦定理得15c2= a2+ b2 2abcosC= 4,故 c=2,而 sinC=4, b= c

14、,故,15 sinB=sinC =413.在 ABC中，角A, B, C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a, b, c.若a=2,貝U b=.13. 2解析：b2=a2+c2 2accosB=4+12 2 x 2X16.在ABC 中，若 sin2A+sin2Bvsin2C,2>/3=4 ,b=2.則4 ABC的形狀是(A.銳角三角形 C.鈍角三角形B.D.16. C 由正弦定理可知 2,22a b c 從而cosC 直角三角形不能確定a2 + b2< c2,0,2ab. .C為鈍角，故該三角形為鈍角三角形.17.已知a, b, c分別為 ABC三個(gè)內(nèi)角 =0.A, B, C 的對(duì)邊，acosC +

15、 V3asinC- b c求A;(2)若a=2, 4ABC的面積為 由，求b, c.17.解：(1)由 acosC+J3asinCbc= 0 及正弦定理得 sinAcosC + 由 sinAsinCsinBsinC = 0.因?yàn)锽 =兀一 A C,所以 /3sinAsinC cosAsinC sinC = 0.由于sinCw。，所以sin(A花6)又 0VAV Tt,故 A(2)AABC的面積S31 -bcsinA 2J3 ,故 bc = 4.而 a2= b2+ c2 2bccosA,故 b2 + c2 = 8.解得b= c= 2.17. 4ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a,

16、b, c,已知 cos(AC)+cosB= 1, a=2c, 求C.17.解：由 B=兀一(A+C),得 cosB= cos(A+C).1 -是 cos(AC)+cosB= cos(AC)cos(A+C) = 2sinAsinC,由已知得 sinAsinC = 2由a = 2c及正弦定理得 sinA=2sinC.1由得sin2C=1 ,于是sinC=(舍去)或 sinC=-. 22一一 兀又a = 2c,所以C -611.在 ABC中，若a=2, b+c=7, cosB11.答案：4解析：由余弦定理得,22,2a c bcosB 2ac4 (7 b)2 b22 2 (7 b)4.如圖，正方形=

17、()ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE= 1,連結(jié)1-，r1 ,解得4EC,ED,則b= 4.sin/ CEDC.31010 至 10B.D.1010154.B 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，且RtAEBC 中，EB=2, BC= 1 ,所以花AE = AD= 1,所以 / AED=-.sinZ BEC=, cos/ BEC =sin / CED55 ,.'冗/ cl- 五 , 五 , 五，2娓拆、屈= sin(/BEC)= cos/ BEC - sinZ BEC= ( ) .422255106.在4ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是 a, b, c.已知8b=5c, C=

18、2B,則cosC =()77A.257B.25C.D.246. A 在ABC中，由正弦定理:25 bsin B工 八, sinC25sinCsinBsin2BsinBcosC= cos2B = 2cos2B 1 = -15.設(shè) ABC的內(nèi)角 A, B,(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)一 一 立若ab>c2,則C -325C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為)右 a+b>2c,a,則下列命題正確的是若 a3+b3 = c3,則 C若(a+ b)cv 2ab,若(a2+ b2)c2<2a2b2,15.答案：解析：對(duì)于，由ab>c2可得cosC2. 22a b c2abb22abab2ab ab2ab

19、故C /，,.正確;3對(duì)于，由a+b>2c可得c故c2故 cosC222a b c2abb2 (a b)24 2ab(a b)24322 ab(a b )422abab 2ab - 2_ 2ab正確;對(duì)于，由a3 + b3 = c3可得c23,3a b故a2 +2,23,3a c b c (a b )22a (c a) b (cc b)3b2 c2 = a2 + b2 cb3c又 a3+ b3= c3,故c c>a, c>b,故4。a) 口。b) 0,故 a2+ b2>c2.故 C正確;對(duì)于,故 cosC2abc a b2,2a b2ab對(duì)于,4a2b2(a b)2b2

20、 ab2ab2, 24a b4ab1 . C由(a2+b2)c22a2b2可得 c222a2b2a2 b2Tt一，32a2b22ab不正確;ab ., a2 b2 c2 a2 b2 ab 2ab ab故 cosC 2ab2ab2ab花C不正確.綜上可知， 正確.317.在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c.已知*冗 I/冗bsin( 十 C) csin(一+ B) = a.(1)求證:(2)若 a_ TtB C =；2J2,求 ABC的面積.冗 一、 .TT.17. (1)證明：由 bsin( + C) csin( + B)=a,應(yīng)用正弦定理，得冗.一、 .一.，冗,一、

21、 .”sin Bsin( +C) sin Csin( + B)= sin A,2 一 二22sin B( sin CT- - cos C) sin C(sin BHcos B)=整理得 sin Bcos C cos Bsin C= 1,即 sin(B C) = 1,3由于0V B< -4一 _3，_ _ 冗0 v C v 兀，從而 B C =.(2)解：B + C =兀一A= 2 ,又因?yàn)锽-C=-,因此B2asinB 八.5 冗 2sin ,csinA8 asinC sinA8o -兀 2sin 一 ,8所以ABC的面積S1bcsin A2sin 2t sin .2cos- sin 1

22、8.在ABC中，內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c.已知cosAsinB= V5 cosC.求tanC的值;(2)若 aJ2,求 ABC的面積.18.解:(1)因?yàn)?0vAv Tt, cos A=得 sin A3又 75 cosC= sinB= sin(A+ C) = sinAcosC+ cosAsinC5 八2 .八=cosC -sinC .3所以tanC(2)由 tanC于是sinB_一一 5 一 1V5 ,得 sinC f= , cosC 7.66V5cqSC =.由a J2及正弦定理 JL _c_，得c 33. sinA sinC1設(shè)ABC的面積為S,則S acsinB 213.已知 ABC的三邊長(zhǎng)成公比為 J2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為13.答案： 4解析：設(shè)4ABC的最小邊長(zhǎng)為佰曰a2 (,2a)2 (2a)2值是cos2