7二元一次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題

1、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題一、一周知識概述本周學(xué)習(xí)內(nèi)容是用二元一次不等式表示區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃問題（1）了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；（2）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；（3）了解線性規(guī)化問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題；（4）培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力；探求解決線性規(guī)劃實際問題的基本方法和步驟，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力二、重難點知識的歸納與剖析1、二元一次不等式axby

2、c>0和axbyc0表示的平面區(qū)域（1）二元一次不等式axbyc>0在平面直角坐標系中表示直線axbyc=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式axbyc0表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線（2）判斷方法：由于對在直線axbyc=0同一側(cè)的所有點（x,y），把它的坐標（x,y）代入axbyc，所得的實數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個特殊點（x0,y0），以的正負情況便可判斷axbyc>0表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當(dāng)c0時，常把原點作為此特殊點2、簡單的線性規(guī)劃（1）求線性目標函數(shù)的在約束

3、條件下的最值問題的求解步驟是：作圖畫出約束條件（不等式組）所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l；平移將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的位置；求值解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)點的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值.（2）在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，問怎樣安排，能使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源量最小不管是哪種類型，解線性規(guī)劃的實際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)條件寫出線性的約束條件及線性目標函數(shù)，然后作出可行域，在可行域內(nèi)求出最優(yōu)解.（3）尋找整點最優(yōu)解

4、的方法平移找解法：先打網(wǎng)格，描整點，平移直線l，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點便是最優(yōu)整點解，這種方法應(yīng)充分利用非整點最優(yōu)解的信息，結(jié)合準確的作圖才行，當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整點個數(shù)又較少時，可逐個將整點坐標代入目標函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解.調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程的知識調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出整點最優(yōu)解.三、典型例題講解例1、畫出不等式2xy-60表示的平面區(qū)域分析：先畫出直線，將原點代入看是否符合不等式，如符合，則在含原點的部分，否則，在不含原點的部分解：先畫直線2xy-6=0（畫線虛線）,取原點（0，0），代入2xy-6，2xy-60，  原點在不等式2xy-

5、60表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式2xy-60表示的平面區(qū)域如圖陰影部分例2、畫出不等式組：表示的平面區(qū)域.分析：在不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分本題的問題關(guān)鍵在于正確地描繪出邊界直線，然后根據(jù)給出的不等式，判斷出所表示的平面區(qū)域，為此必須分別畫出每個不等式所表示的平面區(qū)域，然后取各平面區(qū)域的公共部分.解答：不等式x<3表示直線x=3左側(cè)點的集合.不等式2yx即x2y0表示直線x2y=0上及左上方點的集合.不等式3x2y6，即3x2y60表示直線3x2y6=0上及右上方點的集合.不等式3y<x9即x3y9>0表示

6、直線x3y9=0右下方點的集合.綜上可得：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分.小結(jié)：（1）解決類似本題的問題時，先應(yīng)對每一個不等式所表示的平面區(qū)域作出正確的判斷，保證不因某一不等式所表示的平面區(qū)域產(chǎn)生失誤，其次應(yīng)注意所表示的平面區(qū)域是否包括了邊界（2）畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點定“域”，即先畫出對應(yīng)的直線，再將原點坐標代入直線方程中，看其值比零大還是比零??；不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分.例3、求不等式|x2|y2|2所表示的平面區(qū)域的面積.分析：解答本題的關(guān)鍵是正確作出不等式所表示的平面區(qū)域，可先通過討

7、論去掉絕對值符號，再作圖.解答：原不等式等價于作出其所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，它是邊長為的正方形，面積等于8.點評：正確畫出不等式表示的區(qū)域，觀察圖形的特殊性，是解決本題的關(guān)鍵所在例4、解線性規(guī)劃問題：求z=3xy的最大值，使式中的x,y滿足約束條件.分析：按照解線性規(guī)劃問題的步驟解題第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；第二步：在可行域中找到最優(yōu)解所對應(yīng)的點；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標函數(shù)的最大值或最小值解答：作出可行域，如圖五邊形OABCD所表示的平面區(qū)域作出直線l0:3xy=0將它平移至點B，顯然B的坐標是可行域中的最優(yōu)解，它使z=3xy達到最大值解方程組得B點的坐標為（9

8、，2）.zmax=3×92=29點評： 若目標函數(shù)設(shè)為z=x3y，約束條件不變，則z的最大值在點C（3,6）處取得.事實上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對應(yīng)的點在何處，與目標函數(shù)z=axby(a0,b0)，所確定的直線l0：axby=0的斜率有關(guān)就這個例子而言，當(dāng)l0的斜率為負數(shù)時，即時，若（直線2x3y=24的斜率）時，線段BC上所有點都使z取最大值（如本例）；當(dāng)時，點C處使z取最大值（比如z=x3y），若，請同學(xué)思考例5、某家具廠有方木90m3，五合板600m2，準確加工成書桌和書櫥出售已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一張

9、書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少元？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利多少元？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？分析：（1）問什么，設(shè)什么，建立目標函數(shù).（2）根據(jù)已知條件列出不等式組，找出可行域. 解析：（1）設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲利潤z元.則所以當(dāng)x=300時，zmax=80·300=24000（元）.即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元.（2）設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤z元.所以當(dāng)x=450時，zmax=120·450=54000（元）.如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個書櫥，獲得利潤54000元.

10、 （3）設(shè)生產(chǎn)書桌x張、書櫥y個，利潤總額為z元.則z=80x120y.在直角坐標平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.作直線l：80x120y=0，即直線2x3y=0.把直線l向右上方平移到l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，此時z=80x120y=0取得最大值.由解得點M的坐標為（100，400）.所以當(dāng)x=100，y=400時，zmax=80·100120·400=56000（元）因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大. 小結(jié)：線性規(guī)劃問題在解決實際問題時，要注意條件. 在線測試窗體頂端一、選擇題1、(x2y1)(xy3)0表示的平面區(qū)域

11、為（）ABCD2、設(shè)a>0，點集S的點（x,y）滿足下列條件：x2ay2axyaxayyax則S的邊界是一個有幾條邊的多邊形？（）A4 B5C6 D73、點（3，1）和（4，6）在直線3x2ya=0的兩側(cè)，則（）Aa<7或a>24 B7<a<24Ca=7或a=24 D以上都不對4、如圖所示陰影部分的區(qū)域可用二元一次不等式組來表示的是（）ABCD5、已知函數(shù)z=yx，則z在的約束條件下的最大值是（）A5 B1C5 D86、給出平面區(qū)域如圖所示，若使目標函數(shù)z=axy（a>0）取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值為（）ABC4 D7、滿足線性約束條件的可行域中

12、，共有多少個整點可行解?（）A4 B3C2 D不同于以上答案8、購買8角和2元的郵票若干張，并要求每種郵票至少要2張，如果小明帶有10元錢，他有多少種買法（）A13B12C11D不同于以上答案 窗體底端B卷二、填空題9、在ABC中，A（3，1），B（1，1），C（1，3），則ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組為_.10、不等式|x2|y2|2表示的平面區(qū)域的面積為_.答案三、解答題11、若變量x、y滿足約束條件求目標函數(shù)S=3x3y的最大值.答案12、已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)答案13、設(shè)滿足約束條件組，求的最大值和最小值。答案14、要將甲、乙兩種長短不同的鋼管截成A、B、C三種規(guī)格

13、，每根鋼管可同時截得三種規(guī)格的短鋼管的根數(shù)如下表如示：A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格甲種214乙種231今需A、B、C三種規(guī)格的鋼管各13、16、18根，問各截這兩種鋼管多少根可得所需三種規(guī)格鋼管，且使用鋼管根數(shù)最少.第1題答案錯誤!正確答案為 C第2題答案錯誤!正確答案為 C第3題答案錯誤!正確答案為 B第4題答案錯誤!正確答案為 A第5題答案錯誤!正確答案為 B第6題答案錯誤!正確答案為 B第7題答案錯誤!正確答案為 C第8題答案錯誤!正確答案為 C 提示： 1、原不等式等價于不等式組分別畫出各不等式的區(qū)域，觀察圖像，選C.2、如圖所示，分別畫出各不等式表示的區(qū)域，并畫出公共區(qū)域，可得到平面六邊形，即

14、S的邊界是具有六條邊的多邊形.3、把兩點（3，1）和（4，6）代入3x2ya中，其符號應(yīng)相異. （3×32×1a）3×（4）2×6a0.解得7<a<27，故選B.4、可選取特殊點進行判斷，（1，1）顯然在區(qū)域內(nèi)，代入A、B、C、D中，僅A適合，故A正確.5、畫出可行域可知最優(yōu)解為（3，8）. 6、欲使z=axy(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則必有axy=0的斜率與直線AC的斜率相等.7、作出可行域，可判斷可行域中整數(shù)點為（1，1），（2，2），共2個.8、設(shè)8角郵票買x張，2元郵票買y張.則不等式組表示的平面區(qū)域如上圖，而在該

15、域內(nèi)，x,y都是不小于2的整數(shù)，這樣的點的個數(shù)為11個，故小明有11種購買方法，分別為（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），（6，2），（7，2），故選C.9、答案： 提示：如圖：AB所在直線為x2y1=0BC所在直線為xy2=0AC所在直線為2xy5=0將（0，0）分別代入檢驗范圍得10、答案：8提示：分x2，y2x2，y<2x<2，y2x<2，y<2四種情況討論，畫出各區(qū)域，區(qū)域為矩形，可求得面積為811、解答：作出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖所示）. 作直線l：3x3y=0，即xy=0，將此直

16、線向右上方平移，當(dāng)l恰好與直線BC：xy=45重合時，與原點的距離最大，從而Smax=3×45=135，此時BC邊上每一點的坐標都是最優(yōu)解，因此最優(yōu)解的個數(shù)有無窮多個，而它們對應(yīng)的目標函數(shù)S的值都是135.12、解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點分別為，則坐標分別為，作一組平行線：平行于：，當(dāng)往右上方移動時，隨之增大，當(dāng)過點時最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取，當(dāng)時，代入原不等式組得，；當(dāng)時，得或，或；當(dāng)時，故的最大整數(shù)解為或說明：最優(yōu)整數(shù)解常有兩種處理方法，一種是通過打出網(wǎng)格求整點，關(guān)鍵是作圖要準確；另一種是本題采用的方法，先確定區(qū)域

17、內(nèi)點的橫坐標范圍，確定的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有相應(yīng)整數(shù)值，即先固定，再用制約13、解：由知，代入中，得， 原約束條件組可化為，如圖，作一組平行線：平行于：，由圖象知，當(dāng)往左上方時，往左上方移動時隨之增大，當(dāng)往右下方移動時，隨之減小，所以，當(dāng)直線經(jīng)過時，；當(dāng)直線經(jīng)過時，14、解析：設(shè)需截甲種鋼管x根，乙根鋼管y根，則作出可行域（如圖）目標函數(shù)為z=xy，作出一組平行直線xy=t中（t為參數(shù)）經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線4xy=18和直線x3y=16的交點A（），直線方程.由于都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點（）不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行

18、域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是xy=8，經(jīng)過的整點是B（4，4），它是最優(yōu)解.答：要截得所需三種規(guī)格的鋼管，且使所截兩種鋼管的根數(shù)最少方法是，截甲種鋼管、乙種鋼管各4根.高考解析1.（2009年湖北卷）在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為（）A2000元B2200元C2400元D2800元答案：B解析：設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標函數(shù)z400x300y的最小值解得當(dāng)時，2200，故選B2.（2009年天津卷）設(shè)變量x、y滿足約束條件則目標函數(shù)z2x3y的最小值