【南方鳳凰臺(tái)】2017版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章算法、統(tǒng)計(jì)與概率第68課幾何概型及互斥事件的概率文

1、第68課 幾何概型及互斥事件的概率(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修3P110習(xí)題5改編)取一根長度為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1 m的概率是.【答案】(第1題)【解析】如圖，取線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)C，D，則在線段CD內(nèi)任何一點(diǎn)剪斷都滿足條件，所以所求概率為線段CD與AB的長度比，即P=.2.(必修3P109練習(xí)3改編)在10 000km2的海域中有40 km2的大陸架貯藏著石油，假如在該海域中任意一點(diǎn)鉆探，鉆到油層面的概率是.【答案】【解析】P=.3.(必修3P115練習(xí)1改編)拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗(yàn)，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”

2、，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則事件A+發(fā)生的概率為.【答案】【解析】事件A+表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，所以P=.4.(必修3P120復(fù)習(xí)題6改編)一個(gè)裝有6個(gè)彩色球(3紅、2黃、1藍(lán))的盒子中隨機(jī)取出2個(gè)球，則這2個(gè)球顏色相同的概率是.【答案】【解析】記3個(gè)紅球?yàn)榧t1，紅2，紅3，2個(gè)黃球?yàn)辄S1，黃2，1個(gè)藍(lán)球?yàn)樗{(lán)1，則從這6個(gè)彩色球中隨機(jī)取出2個(gè)球的所有可能情況為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，黃1)，(紅1，黃2)，(紅1，藍(lán)1)，(紅2，紅3)，(紅2，黃1)，(紅2，黃2)，(紅2，藍(lán)1)，(紅3，黃1)，(紅3，黃2)，(紅3，藍(lán)1)，(黃1，黃2)，(黃1，藍(lán)1

3、)，(黃2，藍(lán)1)，共15個(gè)基本事件.記事件A表示取出兩個(gè)紅球，事件B表示取出兩個(gè)黃球，則事件A與事件B互斥，所以取出2個(gè)球顏色相同的概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.5.(必修3P116習(xí)題4改編)在人民商場(chǎng)付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為.【答案】0.74【解析】所求概率為1-(0.1+0.16)=0.74.1.幾何概型(1)幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件的區(qū)域的測(cè)度(長度、面積及體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概型.(2)幾何概型的概率公式在區(qū)域D中

4、隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A)=.(3)幾何概型的特點(diǎn)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2.互斥事件與對(duì)立事件(1)互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.(2)對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.(3)互斥事件的概率如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A，B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1+A2+An)

5、=P(A1)+P(A2)+P(An).(4)對(duì)立事件的概率事件A的對(duì)立事件表示為；對(duì)立事件的概率和等于1，即P(A)+P()=P(A+)=1.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破幾何概型例1如圖，在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，求使得AOC和BOC都不小于30°的概率.(例1)【思維引導(dǎo)】首先確定射線OC所在的區(qū)域，即區(qū)域D；然后確定所求的事件中射線OC所在區(qū)域d；分別計(jì)算區(qū)域D和d的測(cè)度；最后計(jì)算所求概率為.【解答】記F=作射線OC，使AOC和BOC都不小于30°，作射線OD，OE，使BOD=30°，AOE=30°.當(dāng)OC在DOE

6、內(nèi)時(shí)，AOC和BOC都不小于30°，所以P(F)=.【精要點(diǎn)評(píng)】古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個(gè)，而幾何概型則是無限個(gè)；對(duì)于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型問題，構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的測(cè)度來求隨機(jī)事件的概率.變式如圖(1)，AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點(diǎn)C.(1)求AOC為鈍角三角形的概率；(2)求AOC為銳角三角形的概率.【解答】如圖(2)，由平面幾何知識(shí)知，當(dāng)ADOB時(shí)，OD=1；當(dāng)OAAE時(shí)，OE=4，BE=1.(1)當(dāng)且

7、僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE(不包括端點(diǎn))上時(shí)，AOC為鈍角三角形，記“AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)=0.4，即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE(不包括端點(diǎn))上時(shí)，AOC為銳角三角形，記“AOC為銳角三角”為事件N，則P(N)=0.6，即AOC為銳角三角形的概率為0.6.事件的分類與事件關(guān)系的判斷例2判斷下列各組事件是否是互斥事件，并說明道理.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生.【解答】(1)

8、是互斥事件.理由是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“一名男生和一名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對(duì)互斥事件.(2)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“兩名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時(shí)發(fā)生.(3)不是互斥事件.理由是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“兩名都是男生”，這與“全是男生”可同時(shí)發(fā)生.(4)是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它和“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生.【精要點(diǎn)評(píng)】

9、判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，就是考查它們能否同時(shí)發(fā)生，如果不能同時(shí)發(fā)生，則是互斥事件，否則，就不是互斥事件.判斷對(duì)立與互斥除了用定義外，也可以利用集合的觀點(diǎn)來判斷.注意：事件的包含、相等、互斥、對(duì)立等，其發(fā)生的前提條件應(yīng)是一樣的；對(duì)立是針對(duì)兩個(gè)事件來說的，而互斥可以是多個(gè)事件的關(guān)系.變式在10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，從中任取3件.(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件嗎?(2)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是對(duì)立事件嗎?【解答】(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”都是隨機(jī)事件，且不可能同時(shí)發(fā)生，所以二者是互斥事件.(2)“恰有2件次品”，即“2件次品1件正品”，“至

10、多有1件次品”，即“3件正品”或“1件次品2件正品”，它們不可能同時(shí)發(fā)生且并起來是必然事件，所以二者是對(duì)立事件.互斥事件、對(duì)立事件的概率例3一盒中共裝有除顏色外其余均相同的小球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1個(gè)球.(1)求取出的1個(gè)球是紅球或黑球的概率；(2)求取出的1個(gè)球是紅球或黑球或白球的概率.【思維引導(dǎo)】事件“取出的1個(gè)球是紅球或黑球”可以看作事件“取出的1個(gè)球是紅球”和事件“取出的1個(gè)球是黑球”的和事件，而這兩個(gè)事件互斥，所以取出的1個(gè)球是紅球或黑球的概率等于取出的1個(gè)球是紅球的概率加上取出的1個(gè)球是黑球的概率.第(2)問正面情形比較復(fù)雜，所以可以考慮

11、對(duì)立事件的概率.【解答】記事件A1=任取1個(gè)球?yàn)榧t球，A2=任取1個(gè)球?yàn)楹谇颍珹3=任取1個(gè)球?yàn)榘浊?，A4=任取1個(gè)球?yàn)榫G球，則P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=.據(jù)題意知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.(1)P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.(2)方法一：P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+=.方法二：P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.【精要點(diǎn)評(píng)】求較復(fù)雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，即將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每個(gè)事件概率的計(jì)算通常為等可能事件的概率計(jì)算，這時(shí)應(yīng)

12、注意事件是否互斥，是否完備；二是間接求解法，先求出此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)=1-P().若解決“至少”、“至多”型的題目，用后一種方法就顯得比較方便.解題時(shí)需注意“互斥事件”與“對(duì)立事件”的區(qū)別與聯(lián)系，搞清楚“互斥事件”與“等可能性事件”的差異.變式拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.(1)求落地時(shí)向上的數(shù)不小于5的概率；(2)求落地時(shí)向上的數(shù)大于1的概率；(3)求落地時(shí)向上的數(shù)是最大或者最小的數(shù)的概率.【解答】設(shè)“骰子落地時(shí)向上的數(shù)為i”為事件Ai(i=1，2，3，4，5，6)，則 P(Ai)=.(1)設(shè)“落地時(shí)向上的數(shù)不小于5”為事件C，則P(C)=P(A5+A6)=+=.(2)設(shè)“落

13、地時(shí)向上的數(shù)大于1”為事件D，則P(D)=1-P()=1-P(A1)=.(3)設(shè)“落地時(shí)向上的數(shù)是最大或者最小的數(shù)”為事件E，則P(E)=P(A1+A6)=P(A1)+P(A6)=+=.1.如圖，將半徑為1的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在單位圓內(nèi)(陰影部分)，現(xiàn)在往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為.【答案】-1【解析】圖中空白處的面積為4×2=2-4，則陰影部分的面積為-(2-4)=4-，往圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形區(qū)域內(nèi)的概率P=-1.2.在區(qū)間0，上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin x”發(fā)生的概率為.【答案】【解析】sin x，又x0，所以x，所以所求概率P=.

14、3.甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，給出下列說法：甲獲勝的概率是；甲不輸?shù)母怕适?；乙輸?shù)母怕适?；乙不輸?shù)母怕适?其中正確的說法是.(填序號(hào))【答案】【解析】設(shè)“甲獲勝”為事件A，“甲獲勝”是“和棋或乙獲勝”的對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率P(A)=1-=，故正確；設(shè)事件B為“甲不輸”，則B是“甲勝”、“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(B)=+=，故錯(cuò)誤；設(shè)“乙輸”為事件C，則P(C)=P(A)=，故錯(cuò)誤；設(shè)“乙不輸”為事件D，則P(D)=1-P(C)=，故錯(cuò)誤.4.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則事件A的對(duì)立事件為.【答案】至多有1件次品【解析】“至少有n個(gè)

15、”的反面是“至多有n-1個(gè)”.5.(2014·南昌模擬)在區(qū)間-6，6內(nèi)任取一個(gè)元素x0，若拋物線x2=4y在x=x0處的切線的傾斜角為，則的概率為.【答案】【解析】當(dāng)切線的傾斜角時(shí)，切線的斜率的取值范圍是(-，-11，+)，拋物線x2=4y在x=x0處的切線的斜率是x0，故只要x0(-，-22，+)即可.若在區(qū)間-6，6內(nèi)取值，則只能取區(qū)間-6，-22，6內(nèi)的值，這個(gè)區(qū)間的長度是8，區(qū)間-6，6的長度是12，故所求的概率是=.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)第135136頁.【檢測(cè)與評(píng)估】第68課幾何概型及互斥事件的概率一、 填空題1.記不等式組表示的

16、平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是.2.(2015·南通期末)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的點(diǎn)的正方體玩具)，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積不小于4的概率為.3.(2014·蘇北四市期末)在ABC的邊AB上隨機(jī)取一點(diǎn)P，記CAP和CBP的面積分別為S1和S2，則S1>2S2的概率是.4.在面積為S的ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則PBC的面積大于的概率是.5.(2014·鄭州模擬改編)分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示.若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則

17、該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為.(第5題)6.(2014·蘇州一模改編)已知m-1，0，1，n-1，1.若隨機(jī)選取m，n，則直線mx+ny+1=0恰好經(jīng)過第二象限的概率是.7.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=.8.(2014·石家莊質(zhì)檢改編)在圓的一條直徑上，任取一點(diǎn)作與該直徑垂直的弦，則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為.二、 解答題 9.已知正四面體ABCD的體積為V，P是正四面體ABCD內(nèi)部的點(diǎn).設(shè)“V”為事件X，求事件X發(fā)生的概率P(X).10.如圖，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y).(1

18、)求APB的面積大于的概率；(2)求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離小于1的概率.(第10題)11.(2014·錦州模擬)已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x，yR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M.(1)若集合P=-4，-3，-2，0，Q=0，1，2，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y，求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率；(2)若x0，3，y0，4，求點(diǎn)M落在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第68課幾何概型及互斥事件的概率1.【解析】如圖，平面區(qū)域D的面積為4，到原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)位于圖中陰影部分，其面積為4-，所以所求概率為.(第1題)2.【解析】記兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積不小于4為事件A，則：

19、兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積小于4.因?yàn)镻()=，所以P(A)=1-=.3.【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)M在AB上，且AM=2BM，則當(dāng)點(diǎn)P在線段BM(不包括點(diǎn)M)上時(shí)，滿足S1>2S2，即所求的概率P=.(第3題)4.【解析】如圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)锳BC與PBC是等高的，所以事件“PBC的面積大于”等價(jià)于事件“BPAB>”，即P=.(第4題)5.【解析】設(shè)AB=2，則S陰影=2-4，所以所求概率為=.6.【解析】隨機(jī)選取m，n，數(shù)組(m，n)有6個(gè)，其中(-1，1)，(0，1)使得直線不過第二象限，所以所求概率為1-=.7.【解析】如圖，設(shè)CD=4，根據(jù)對(duì)稱性，由題中條件知，P的活動(dòng)范圍為2，即CP(1，3).當(dāng)CP=3時(shí)，BP=4，解得BC=，所以ADAB=4，(第7題)8.【解析】如圖，設(shè)圓的半徑為r，圓心為O，AB為圓的一條直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為M.若CD為圓內(nèi)接正三角形的一條邊，則O到CD的距離為.設(shè)EF為