數(shù)值計算課后答案3

1、習(xí) 題 三 解 答1、用高斯消元法解下列方程組。（1）解：，消去第二、三個方程的，得：再由消去此方程組的第三個方程的，得到三角方程組：回代，得：，所以方程組的解為注意：算法要求，不能化簡?；唲t不是嚴(yán)格意義上的消元法，在算法設(shè)計上就多出了步驟。實際上，由于數(shù)值計算時用小數(shù)進行的，化簡既是不必要的也是不能實現(xiàn)的。無論是順序消元法還是選主元素消元法都是這樣。消元法要求采用一般形式,或者說是分量形式，不能用矩陣，以展示消元過程。要通過練習(xí)熟悉消元的過程而不是矩陣變換的技術(shù)。矩陣形式錯一點就是全錯，也不利于檢查。一般形式或分量形式：矩陣形式向量形式必須是方程組到方程組的變形。三元方程組的消元過程要有三

2、個方程組，不能變形出單一的方程。消元順序，不能顛倒。按為支援在方程組中的排列順序消元也是存儲算法的要求。實際上，不按順序消元是不規(guī)范的選主元素。不能化簡方程，否則系數(shù)矩陣會變化，也不利于算法設(shè)計。（2）解：，消去第二、三個方程的，得：再由消去此方程組的第三個方程的，得到三角方程組：回代，得：， 所以方程組的解為2、將矩陣作LU分解。解：設(shè)根據(jù)矩陣乘法，先求U的第一行，由，得。再求L的第一列，由矩陣乘法，因為，所以，而，所以，所以。再求U的第二行，得，則，則，則，再求L的第二列，得，則，則再求U的第三行，得，則，則再求L的第三列，得，則再求U的第四行，得，則所以，矩陣A的LU分解為：指出：用分?jǐn)?shù)

3、而表示元素，不能化成近似小數(shù)也不化成小數(shù)表示。3、用LU分解緊湊格式分解法解方程組。解一，用一般格式求解：將系數(shù)矩陣作LU分解得：Ly=b方程組為解之得同樣地，解方程組Ux=y得。 解二，用LU緊湊格式分解法求解：對增廣矩陣三角分解：原方程組化成同解的上三角方程組為：回代得。指出：緊湊格式是直接應(yīng)用公式進行計算，計算結(jié)果保存在A的相應(yīng)元素位置。從算法的角度，緊湊格式實際體現(xiàn)在數(shù)據(jù)的存儲方法上。由于緊湊格式計算時不再需要A的前面的元素，因此可以進行。4、 用列主元的三角分解法解線性方程組。解一，列選主元素消元法：先選第一列主元為，將第一個方程與第二個方程交換，消去得：再選第二列主元為，交換第二、

4、三兩個方程，消去得三角形方程組：回代求得方程組的解，所以方程組的解為。解二，列主元素三角分解法： 同解的三角形方程組為回代求得方程組的解，所以方程組的解為。說明：用矩陣討論中，矩陣元素進行了化簡。5用追趕法解方程組。分析：三對角矩陣可以分解如下形式的兩個矩陣：。即由矩陣乘法規(guī)則，有，這樣可以求出矩陣L和U的所有元素。設(shè)有系數(shù)矩陣為A的方程組：，這樣的方程組稱為三對角方程組。三對角方程組經(jīng)LU分解分解為，求解之，這就是所謂追趕法。解：由公式由此得下三角方程組和上三角方程組解上三角方程組代入并解上三角方程組6、用改進的Cholesky分解法解方程組解：設(shè)此方程組的系數(shù)矩陣為A，右端向量為b，則矩陣

5、A是對稱正定矩陣，可以進行喬累斯基分解。設(shè)由矩陣乘法得由得，再由得。7、用改進的Cholesky分解法解方程組解： 解下三角方程組得解上三角方程組得指出：6、7兩題應(yīng)用一般的喬累斯基分解而沒有采用書上的方法。用MATLAB求解為： format rat a=4,1,-1,0;1,3,-1,0;-1,-1,5,2;0,0,2,4a = 4 1 -1 0 1 3 -1 0 -1 -1 5 2 0 0 2 4 P,q=chol(a)P = 2 1/2 -1/2 0 0 1985/1197 -379/838 0 0 0 1179/553 1106/1179 0 0 0 5617/3180 q = 0

6、8、設(shè)，求解：9、設(shè)，求。解：；則解之得，則。指出：三次方程可用三次方程的求根公式求出根來。用我們學(xué)過的知識，三次方程的根有如下求法：用二分法求。10、設(shè)，計算，并比較與的大小。解：，。11、給定方程組。（1）寫出雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法的迭代格式；（2）證明雅可比迭代法收斂而高斯賽德爾迭代法發(fā)散。（3）給定，用迭代法求出該方程組的解，精確到。解：（1）此方程組變形為據(jù)此建立雅可比法迭代格式得高斯賽德爾迭代法迭代格式為（2）證明一：用定理2證明：系數(shù)矩陣雅可比迭代法的迭代矩陣為，則令，則，所以(BJ)=01所以雅可比迭代法收斂。高斯賽德爾迭代法的迭代矩陣為由此求出所以，高斯賽德爾迭代法發(fā)

7、散。證明二：用定理5證明： ，令，則，所以(BJ)=01。所以高斯賽德爾迭代法發(fā)散。（3）取迭代初值，用雅可比迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)3000011201023221431246584124658因為所以方程組的解為。用高斯賽德爾迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001121238240294319610258649563701336因為高斯賽德爾迭代法發(fā)散，不能求出滿足要求的解。12、給定方程組。（1）寫出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式。解：（1）方程組變形為所以，Jacobi迭代格式為Gauss-Seidel迭代格式為證明：用定理5證明： ，

8、令，則，所以，所以雅可比迭代法發(fā)散?；颍河浺驗樗苑匠淘趨^(qū)間（2，1）有一個根，則(BJ)1所以雅可比迭代法發(fā)散。而所以(BG-S)=1,所以高斯賽德爾迭代法收斂。（3）取迭代初值，用高斯賽德爾迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001030.52-1.754.25-0.753-1.755.5-1.3754-2.0636.438-1.6885-2.3757.063-1.8446-2.6107.454-1.9227-2.7667.688-1.9618-2.8647.825-1.9819-2.9587.939-1.99110-2.9747.965-2.00011-2.9837.983-

9、2.00012-2.9927.992-2.00013-2.9967.996-2.00014-2.9987.998-2.00015-2.9997.999-2.00016-3.0008.000-2.00017-3.0008.000-2.000因為所以方程組的解為。13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收斂性。解：因為系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣，而且嚴(yán)格對角占優(yōu)，因此兩種迭代法都是收斂的。14、方程組Ax=b，其中利用迭代收斂的充分必要條件確定雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂的a的取值范圍。解：對雅可比迭代法來說，因為，所以BJ的特征值為。所以，迭代矩陣B的譜半徑為

10、，當(dāng)時，雅可比迭代法收斂。對高斯賽德爾迭代法，因為所以高斯賽德爾迭代矩陣特征值為其譜半徑為，當(dāng)時，高斯賽德爾迭代法收斂。所以，雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法都收斂的a的范圍是。15、設(shè)方程組，分別用Gauss-Seidel迭代法和1.25的SOR法求解此方程組，準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字（?。?。解：本方程組的Gauss-Seidel迭代格式為取迭代得用SOR方法解方程組迭代格式為取1.25，迭代得。17、設(shè)，計算A的條件數(shù)。解：因為所以則所以。由得所以；得所以；所以。18、設(shè)A是n階非奇異方陣，B是n階奇異方陣，試證明。分析：要證明，因為，即證：，因為范數(shù)總是不小于0的，也即證：，也即證：，由相容性，

11、只需要證明。而要證明，根據(jù)定義，只需要證明對于某個特殊的，因為B是奇異矩陣，所以滿足：，利用這個條件，可以完成證明。證明：因為B是奇異矩陣，所以滿足：，所以故。又因為所以，因為范數(shù)總是不小于0的，所以所以，而所以。19、舉例說明一個非奇異矩陣不一定存在LU分解。解：考慮矩陣，顯然A非奇異。若A有LU分解，則有于是，而，矛盾。故并非所有的非奇異矩陣都能LU分解。指出：舉例，從簡單的例子開始。所以可逆。補充題（一）1、設(shè)有矩陣，作矩陣的LU分解。解：由矩陣的LU分解公式可得所以指出：a1j=u1j(j=1,2,3,n)，可以直接套用。2、考慮三對角矩陣。給出三對角矩陣A的LU分解算法，并給出求解以

12、A為系數(shù)矩陣的線性方程組的算法。解：對于三對角矩陣A，也可以用LU分解方法，把它分解為下三角矩陣L與上三角矩陣U的乘積。即A=LU。但因為三對角矩陣的特殊性，我們?nèi)菀昨炞C，分解出的兩個矩陣具有這樣的形式：。即由矩陣乘法規(guī)則，我們有，這樣可以求出矩陣L和U的所有元素。設(shè)有系數(shù)矩陣為A的方程組：，這樣的方程組稱為三對角方程組。三對角方程組經(jīng)LU分解分解為，求解之，用這組公式解三對角線性方程組稱為追趕法，其中“追”和“趕”是指下標(biāo)由小到大和由大到小的形象比喻。用追趕法解線性方程組的計算量最大約為5n次，比高斯消元法的次少得多。3. 用高斯消元法求解線性方程組：。解：，消去第二、三個方程的，得：再由消

13、去此方程組的第三個方程的，得到三角方程組：回代，得：，4. 用高斯列選主元素消元法解線性方程組解：先選第一列主元為，將第一行與第二行交換，消去得：再選第二列主元為，交換第二行與第三行，消去得三角形方程組：回代求得方程組的解，5. 用高斯全選主元素消元法解線性方程組解：選全主元為，交換第一個方程與第二個方程，消去，得：再在此方程組的后兩個方程中選主元，交換第二與第三個方程，消去得三角形方程組：回代得方程組的解，即原方程組的解為：6用LU分解法解線性方程組。解：設(shè)由矩陣乘法（或LU公式），分解得解下三角方程組，得。再解上三角方程組得。指出：LU分解的手算求解實際上不需要記憶公式。題1：解：對矩陣，

14、設(shè)先計算U的第一行，由矩陣乘法，有再計算L的第一列，由矩陣乘法，有然后計算U的第2行所以補充題（二）1、考慮矩陣，試求A的喬累斯基分解。解：矩陣A是對稱正定矩陣，可以進行喬累斯基分解。設(shè)由矩陣乘法，得所以補充題（三）1、計算向量的各種范數(shù)。解：，。2、給定矩陣，求。解：因為，所以；因為，所以；因為，所以的特征多項式為：，解得。所以。補充題（四）1、用雅可比迭代法求解線性方程組（取初值為，計算結(jié)果取1位小數(shù)，迭代4次）。解：從三個方程中分離出未知變量，將方程組改寫成便于迭代的形式得，據(jù)此建立迭代格式得，取迭代初值進行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001135253331114111所

15、以方程組的解為。指出：本題得出的實際上是方程組的精確解。2、用高斯賽德爾迭代法求解線性方程組（取初值為，計算結(jié)果取4位小數(shù)，迭代4次）。解：從三個方程中分離出未知變量，將方程組改寫成便于迭代的形式得，據(jù)此建立迭代格式得，取迭代初值進行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)3000010777 80972 20975 320994 20999 30999 430999 90999 90999 941000 01000 01000 0所以方程組的解為。補充題（五）1、矩陣證明：求解以A1為系數(shù)矩陣的線性方程組的雅可比迭代是收斂的，而高斯塞德爾迭代是發(fā)散的；求解以A2為系數(shù)矩陣的線性方程組的雅可比迭代

16、是發(fā)散的，而高斯塞德爾迭代是收斂的。2、用迭代法求解線性方程組，其中，求使得迭代收斂的最大允許區(qū)間和使得迭代收斂最快的。3、矩陣。(a)參數(shù)a取什么值時，矩陣是正定的。(b)a取什么值時，求解以A為系數(shù)矩陣的線性方程組的雅可比迭代是收斂的。分析與解答1、提示：用定理2及其推論解答。解：矩陣的雅可比迭代法的迭代矩陣為，則解之得，所以所以，雅可比迭代法收斂。矩陣的高斯賽德爾迭代法的迭代矩陣按如下方法求出：則得，所以，所以，矩陣的高斯賽德爾迭代法發(fā)散。矩陣的雅可比迭代法的迭代矩陣為則所以所以，所以雅可比迭代法發(fā)散。矩陣的高斯賽德爾迭代法的迭代矩陣按如下方法求出：則得，所以，所以，矩陣的高斯賽德爾迭代

17、法發(fā)收斂。2、解：迭代格式即為所以迭代矩陣為，其特征方程為，即也即解之得則因為所以，當(dāng)時迭代法收斂。當(dāng)時，達(dá)到最小，此時收斂最快。指出：用畫圖的方法討論函數(shù)關(guān)系是重要的技術(shù)，在運籌學(xué)中也常常用到這樣的技術(shù)。3、提示：1特征值都大于零的實對稱矩陣稱為正定矩陣。2一個實對稱矩陣是正定矩陣的充分必要條件是，它的所有主子式都大于零。3(b)可以用下面的判別條件進行判斷。判別條件1：如果線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為對稱正定矩陣，則高斯賽德爾迭代法收斂。判別條件2：如果線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A是對稱正定矩陣，2D-A也是對稱正定矩陣，則雅可比迭代法收斂；如果A是對稱正定矩陣而2D-A不是對稱正定

18、矩陣，則雅可比迭代法不收斂（顯然2D-A與A只是非對角線上的元素的符號不同）。直接用定理2判斷(b)得到的是充分必要條件，而用上面的判別條件或定理4得到的是充分條件，不一定是必要的。如用定理4判斷(b)，只要系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)即可，此時即有，即解：(a)解一：用特征值全部為正判定求解。令，有。由正定矩陣的定義，當(dāng)，時，即時，矩陣是正定的，所以時矩陣是正定的。解二：用所有順序主子式都大于0來求解。(b)雅可比迭代法的迭代矩陣為則，所以B的特征值為。所以，B的譜半徑為，當(dāng)時，雅可比迭代法收斂。補充題（六）1、設(shè)A非奇異，0是實數(shù)，是正交矩陣。證明1；2。證明：1對于任意的非奇異矩陣A和實數(shù)0，。2 對于正交矩陣Q，因為所以因為，所以，；同理，有；，有；有所以，故。2、設(shè)A為非奇異矩陣，線性方程組Ax=b，如果系數(shù)矩陣有擾動，右端有擾動。試證明由此引起的解的擾動滿足如下的估計：。證明：設(shè)線性方程組Ax=b，其中A為非奇異矩陣。如果系數(shù)矩陣有擾動，右端有擾動，則有。即因為Ax=b,所以即等式兩邊同時乘以得兩端取范數(shù)，由范數(shù)的相容性和三角不等式得從而有假定則有則有因為Ax=b，所以，則對于Ax=b，因為，A非奇異，所以，所以所以由得指出：本題證明