超幾何分布和二項分布的聯(lián)系和區(qū)別

1、超幾何分布和二項分布的聯(lián)系和區(qū)別開灤一中 張智民在最近的幾次考試中，總有半數(shù)的的學(xué)生搞不清二項分布和超幾何分布，二者到底該如何區(qū)分呢？十么時候利用二項分布的公式解決這道概率問題？什么時候用超幾何分布的公式去解決呢？好多學(xué)生查閱各種資料甚至于上網(wǎng)尋找答案，其實(shí)這個問題的回答就出現(xiàn)在教材上，人教版新課標(biāo)選修2-3從兩個方面給出了很好的解釋.誠可謂:眾里尋他千百度，驀然回首,那人卻在燈火闌珊處！一、兩者的定義是不同的教材中的定義：（一）超幾何分布的定義在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P（X=k）Ck n-kM CN-MCN,k=0,1,2,A, m,其中 m=minM,n,

2、且 n&N,M & N,n,M,N C N,稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布011 mpcnC 陽廣前一加 cn（二）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項分布的定義1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)，且各次試驗(yàn)試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中A（i=1,2，,n）是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An尸P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2)二項分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率 為P,則P(X=k尸C：pk(1 - p)i(k=0,1,2,n)此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作XB(n,p), 并稱P為成功概率。1 .本質(zhì)區(qū)別(1)超幾

3、何分布描述的是不放回抽樣問題，二項分布描述的是放回抽樣問題；(2)超幾何分布中的概率計算實(shí)質(zhì)上是古典概型問題；二項分布中的概率計算實(shí)質(zhì)上是相互獨(dú)立事件的概率問題2 .計算公式超幾何分布:在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X=k)c k n-kCm Cn-mcN,k = 0,1,2J , m,二項分布:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試馬中事件A發(fā)生的概率為 P,則 P(X=k)= C：pk(1 p)n(k=0,1,2,n),溫馨提示:當(dāng)題目中出現(xiàn)“用樣本數(shù)據(jù)估計XXX的總體數(shù)據(jù)”時，均為二項分布問題。比如 2017-2018高三上學(xué)期期末考試1

4、9題。二、二者之間是有聯(lián)系的人教版新課標(biāo)選修2-3第59頁習(xí)題2.2B組第3題:例.某批n件產(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：(1)當(dāng)n=500,5000,500000寸分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？(2)根據(jù)(1)你對超幾何分布與二項分布的關(guān)系有何認(rèn)識？人教版配套的教學(xué)參考上給出了如下的答案與解釋說明【解】(1)在不放回的方式抽取中，每次抽取時都是從這n件產(chǎn)品中抽取，從而抽到次品的概率都為0.02次品數(shù)XB(3,0.02)恰好抽到1件次品的概率為P(X=1)= C3 X 0.02X (1-0.022=3 X 0.02X 0.98/ 0.

5、057624在不放回的方式抽取中，抽到的次品數(shù)X是隨機(jī)變量,X服從超幾何分布，X的分布與產(chǎn)品的總數(shù)n有關(guān),所以需要分3種情況分別計算n二500時,產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品的件數(shù)為500X2%=10,合格品的件數(shù)為490.從500件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率為C110 c49030 490 489P(X =1) = 10 3 4900.057853C500500 499 498n=5000時,產(chǎn)品的總數(shù)為5000件，其中次品的件數(shù)為5000X2%=100，合格品的件數(shù)為4900從5000件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率為C1100 c4900300 4900 4

6、899P(X =1) = 10030.0576747C30005000 4999 4998n=50000時,產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為50000X 2%=1000合格品的件數(shù)為49000從50000件產(chǎn)品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概12_ _ _ _ _ _ _ _ _ _C1000 c490003000 49000 48999P(X =1) =； = 0.057626C3000050000 49999 4999850000(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果可以看出，當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時，超幾何分布近似為二項分布.這也 是可以理解的，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時，每次抽出產(chǎn)品

7、后，次品率近似不變，這樣 就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨(dú)立的，抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項分布【說明】由于數(shù)字比較大，可以利用計算機(jī)或計算器進(jìn)行數(shù)值計算.另外本題目也可以幫 助學(xué)生了解超幾何分布和二項分布之間的關(guān)系：第一,n次試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項分布.當(dāng)這n次試 驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時 義服從二項分布；當(dāng)這n次試驗(yàn)是不放回摸球問題，事件A為摸到某種特 性(如某種顏色)的球時,X服從超幾何分布第二，在不放回n次摸球試驗(yàn)中，摸到某種顏色的次數(shù)X服從超幾何分布，但是當(dāng)袋子中的 球的數(shù)目N很大時,X的分布列近似于二項分布，并且隨著N的增加，這種近似的精度也增加。

8、從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系：當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時，在有放回地抽取與無放回地抽取條件下，計算得到的概 率非常接近，可以近似把超幾何分布認(rèn)為是二項分布下面看相關(guān)例題例1.(2016漠河模擬)寒假期間，我市某校學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光花園”社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)，若幸福度分?jǐn)?shù)不低 于8.5分,則稱該人的幸福度為“幸?！毙腋６?308446677889997655求從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人為“幸福”的概率；(2) |以這16人的樣本數(shù)據(jù)來

9、估計整個社區(qū)的總體數(shù)口若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記己 表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求己的分布列及數(shù)學(xué)期望先不要急于看答案，大家先自己解一下這道題再往下看，會有意想不到的收獲哦錯解(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸福”的人數(shù)有12人，其他的有4人;記“從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是“幸?！?為事件A.由題意得C3P(A)-1-C3C16Ci C121131C3614012170 140(2)己的可能取值為0, 1, 2, 330則 p( = 0)= C4C2C641560 =140c2c；2 p( =i)=* C1672 _ 9560 =70P( =2)=等Cl603264 333

10、 C4C1222011P (3)3560 70C*560 28所以己的分布列為J0123p114097033701128,、1933119E（g） =XOHX1 + X2+X3=-.1407070284錯解分析第二問的選人問題是不放回抽樣問題，按照定義先考慮超幾何分布，但是題目中又 明確給出:“以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人”, 說明不是從16人中任選3人,而是從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，所以可以近似看作是3次獨(dú) 立重復(fù)試驗(yàn)，應(yīng)該按照二項分布去求解，而不能按照超幾何分布去處理【正解】（1）（1）由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸福”的人數(shù)有12人，其

11、他的有4人;記“從這16人中隨機(jī)選取3人,至少有2人是幸福”：為事件A.由題意得P(A) =1 -C3 C4C12C16C36:19121140 70 1402）由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為-,己的可能取值為0,1,2,3顯然464，P( T)=C1 3 f1 丫C3 一 一4 4；64P( =2) -C1 3-1()3 44427、；P(_643C、 ,3 =3)= 一2764，所以4的分布列為0123P16496427642764E(從以上解題過程中我們還發(fā)現(xiàn)，錯解中的期望值與正解中的期望值相等，好多學(xué)生都覺 得不可思議，怎么會出現(xiàn)相同的結(jié)果呢？其實(shí)這還是由于前面解釋過

12、的原因，超幾何分布與二 項分布是有聯(lián)系的，看它們的期望公式：（1心含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，隨機(jī)變量X服從超幾 何分布，超幾何分布的期望計算公式為EX= nM （可以根據(jù)組合數(shù)公式以及期望的定義推導(dǎo)）;（2）隨機(jī)變量X服從二項分布，記作XB（n,p）, EX=np;當(dāng)超幾何分布中的Nt8時,MT p,此時可以把超幾何分布中的不放回抽樣問題，近N似看作是有放回抽樣問題，再次說明Nt8時，可以把超幾何分布看作是二項分布?？偨Y(jié)：綜上可知，當(dāng)提問中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來估計總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項分布。高考解題中，我們還是要分清超幾何分布與二項分布的區(qū)別，以便能正確的解題，拿到滿

13、 分。相信各位同學(xué)們手中都應(yīng)該有歷年真題卷和 2018的模擬試卷吧，快去找?guī)椎蓝椃植己?超幾何分布的概率大題試試吧，爭取概率滿分，加油！再比如：18.體小題滿分12分）（百所名校高考模擬金典卷五）為了調(diào)查觀眾對某電視娛樂節(jié)目的喜愛程度，某人在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了 8名觀眾做問卷調(diào)查（滿分100分），現(xiàn)將結(jié)果統(tǒng)計如下圖所示J計算甲、乙兩地被抽取的觀眾的問卷得分的平均分以及方差，并根據(jù)統(tǒng)計知識簡單說明麗甲、乙兩地觀眾對該電視娛樂節(jié)目的喜愛程度(2)以頻率估計概率，若從甲地觀眾中3人進(jìn)行問卷調(diào)查，記問卷分?jǐn)?shù)超過80分的人數(shù)為E,求的分布列與數(shù)學(xué)期望請看原題答案，居然是錯解:正解：(1)同上猷所I嚕+2嚙+3吟7(2)因?yàn)轭}中說:以頻率估計概率，即以該頻率來估計甲地區(qū)的整體情況，“若從甲地觀眾X2+K4 9M -2 1 4 r 卜 3 F51-斷q | U + 3 + 5 4 Q + ? I 5)=85* 區(qū)翳產(chǎn)+儂一陰/4(90 85)f+92 -85)1卜(95 * 2因?yàn)樵绫P8:虞及的阿梅分散中,物2名低于冊分.6名疆過80分.所以隨機(jī)抽雙3人，短過耽分的所以交*的分布列為所以 p(e=i)=T65)*+ ko)0.100.050.0250.0100.0050.001ko2.7063.8415.0246