數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件

1、第3章 經(jīng)典方程的建立和定解條件在討論數(shù)學(xué)物理方程的解法以前，我們首先要弄清楚數(shù)學(xué)物理方程所研究的問(wèn)題應(yīng)該怎樣提，為此，我們從兩方面來(lái)討論，一方面要將一個(gè)具體的物理、力學(xué)等自然科學(xué)問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即建立描述某種物理過(guò)程的微分方程數(shù)學(xué)物理方程，稱此方程為泛定方程；另一方面要把一個(gè)特定的物理現(xiàn)象本身所具有的具體條件用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)，即列出相應(yīng)的初始條件和邊界條件，兩者合稱為定解條件.定解條件提出具體的物理問(wèn)題，泛定方程提供解決問(wèn)題的依據(jù)，作為一個(gè)整體稱之為定解問(wèn)題.31 經(jīng)典方程的建立在本節(jié)，我們將通過(guò)幾個(gè)不同的物理模型推導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程中三種典型的方程，這些方程構(gòu)成我們的主要研究對(duì)象.經(jīng)典方

2、程的導(dǎo)出步驟：（1） 確定出所要研究的是哪一個(gè)物理量；（2） 用數(shù)學(xué)的“微元法”從所研究的系統(tǒng)中分割出一小部分，再根據(jù)相應(yīng)的物理（力學(xué)）規(guī)律分析鄰近部分和這個(gè)小部分間的作用（抓住主要作用，略去次要因素，即高等數(shù)學(xué)中的抓主部，略去高階無(wú)窮小），這種相互作用在一個(gè)短的時(shí)間間隔是如何影響物理量（3） 把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)算式（方程）表達(dá)出來(lái)，經(jīng)化簡(jiǎn)整理就是所需求的數(shù)學(xué)物理方程.例1 弦的振動(dòng)弦的振動(dòng)問(wèn)題，雖然是一個(gè)古典問(wèn)題，但對(duì)于初學(xué)者仍然具有一定的啟發(fā)性.設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，而且除受不隨時(shí)間而變的張力作用及弦本身的重力外，不受外力影響，下面研究弦的微小橫向振動(dòng)，即假定全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)

3、在一個(gè)平面上，而且弦上的點(diǎn)沿垂直于軸的方向運(yùn)動(dòng)（圖3-1）.圖3-1設(shè)弦上具有橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，在時(shí)刻時(shí)的位置為M，位移NM記作.顯然，在振動(dòng)過(guò)程中位移是變量與的函數(shù).現(xiàn)在來(lái)建立位移滿足的方程.我們把弦上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)先看作小弧段的運(yùn)動(dòng)，然后再考慮小弧段趨于零的極限情況.在弦上任取一弧段，其長(zhǎng)為，設(shè)是弦的線密度，弧段兩端所受的張力記作，現(xiàn)在考慮孤段在時(shí)刻的受力情況，用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，作用于弧段上任一方向上的力的總和等于這段孤的質(zhì)量乘以該方向上的加速度.在軸方向弧段受力的總和為，由于弦只作橫向振動(dòng)，所以.（3.1）如果弦的振動(dòng)很小，并且在振動(dòng)過(guò)程中弦上的切線傾角也很小，即，則由 可知，當(dāng)為無(wú)窮小量時(shí)，與1的

4、差量是的高階無(wú)窮小量，可以略去不計(jì)，因此當(dāng)時(shí)代入(3.1)式，便可近似得到.在方向弧段受力的總和為，其中是單位弧段的質(zhì)量，是弧段的重力.又因當(dāng)，時(shí)，且小弧段在時(shí)刻沿方向運(yùn)動(dòng)的加速度為，小弧段的質(zhì)量為，所以 （3.2）或上式左邊方括號(hào)內(nèi)的部分是由于產(chǎn)生的變化而引起的的改變量，可用微分代替，即于是 或一般說(shuō)來(lái)，張力較大時(shí)弧振動(dòng)速度變化很快，即要比大得多，所以又可以把略去.經(jīng)過(guò)這樣逐步略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出應(yīng)近似地滿足方程 （3.3）這里的式(3.3)稱為一維波動(dòng)方程. 如果在振動(dòng)過(guò)程中，弦上另外還受到一個(gè)與弦的振動(dòng)方向平行的外力，且假定單位長(zhǎng)度所受外力的，顯然，在這里(3.1)及

5、(3.2)分別為利用上面的推導(dǎo)方法并略去弦本身的重量，可得弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程為 （3.3）其中方程(3.3)與(3.3)的差別在于(3.3)的右端多了一個(gè)與未知函數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng)，這個(gè)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)，包含有非零自由項(xiàng)的方程稱為非齊次方程，自由項(xiàng)恒等于零的方程稱為齊次方程.(3.3)為齊次一維波動(dòng)方程，(3.3)為非齊次一維波動(dòng)方程.例2 傳輸線方程對(duì)于直流電或低頻的交流電，電路的基爾霍夫定律指出同一支路中電流相等.但對(duì)于較高頻率的電流（指頻率還沒(méi)有高到能顯著地幅射電磁波的情況），電路中導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略，因而同一支路中電流未必相等.現(xiàn)考慮一來(lái)一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體（圖3

6、-2）.在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中，電流通過(guò)的情況，可以用電流強(qiáng)度與電壓來(lái)描述，此處與都是圖3-2的函數(shù)，記作與，以R，L，C，G分別表示下列參數(shù)：R每一回路單位的趾串聯(lián)電阻，L每一回路單位的串聯(lián)電感，C每單位長(zhǎng)度的分路電容，G每單位長(zhǎng)度的分路電導(dǎo).根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長(zhǎng)度為的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于電動(dòng)勢(shì)之和，即而故上式可寫(xiě)成 （3.4）另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流，即或 （3.5）將方程(3.4)與(3.5)合并，即得與應(yīng)近似地滿足如下方程組為了確定函數(shù)與，將方程(3.5)對(duì)微分，同時(shí)在方程(3.4)兩端乘以 C后再對(duì)微分，并把兩個(gè)結(jié)果相減，即得將(3.4)

7、中的代入上式，得 （3.6）這就是電流近似滿足的微分方程，采用類似的方法從（3.4）與（3.5）中消去可得電壓近似滿足的方程 （3.7）方程(3.6)或(3.7)稱為傳輸線方程. 根據(jù)不同的具體情況，對(duì)參數(shù)作不同的假定，就可以得到傳輸線方程的各種特殊形式.例如，在高頻傳輸?shù)那闆r下，電導(dǎo)與電阻所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計(jì)，也就是說(shuō)可令，此時(shí)方程(3.6)與(3.7)可簡(jiǎn)化為這兩個(gè)方程稱為高頻傳輸線方程.若令這兩個(gè)方程與(3.3)完全相同.由此可見(jiàn)，同一個(gè)方程可以用來(lái)描述不同的物理現(xiàn)象，一維波動(dòng)方程只是波動(dòng)方程中最簡(jiǎn)單的情況，在流體力學(xué)、聲學(xué)及電磁場(chǎng)理論中，還要研究高維的波動(dòng)方程.例3 電磁場(chǎng)方程從物

8、理學(xué)我們知道，電磁場(chǎng)的特性可以用電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度以及電感應(yīng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度來(lái)描述，聯(lián)系這些量的麥克斯韋(Maxwell)方程組為 （3.8） (3.9) （3.10） (3.11)其中為傳導(dǎo)電流的體密度，為電荷的體密度. 這組方程還必須與下述場(chǎng)的物質(zhì)方程 （3.12） （3.13） （1.14）相聯(lián)立，其中是介質(zhì)的介電常數(shù)，是導(dǎo)磁率，為導(dǎo)電率，我們假定介質(zhì)是均勻而且是各向同性的，此時(shí)，均為常數(shù).方程(3.8)與(3.9)都同時(shí)包含有與，從中消去一個(gè)變量，就可以得到關(guān)于另一個(gè)變量的微分方程，例如先消去，在(3,8)式兩端求旋度并利用(3.12)與（3.14）得將(3.9)與(3.13)代入得

9、而且所以最后得到所滿足的方程為同理，若消去即得所滿足的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電，則上面兩個(gè)方程簡(jiǎn)化為 （3.15） （3.16）(3.15)與(3.16)稱為三維波動(dòng)方程. 若將三維波動(dòng)方程以標(biāo)量函數(shù)的形式表示出來(lái)，則可寫(xiě)成 （3.17）其中是或的任意一個(gè)分量.從方程(3.11)與(3.12)還可以推導(dǎo)出靜電場(chǎng)的電位所滿足的微分方程.事實(shí)上，以(3.12)代入(3.11)得而電場(chǎng)強(qiáng)度與電位之間存在關(guān)系所以可得或 （3.18）這個(gè)非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程.如果靜電場(chǎng)是無(wú)源的，即則(3.18)變成， （3.19）這個(gè)方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程.例4 熱傳導(dǎo)方程一塊熱的物體，如

10、果體內(nèi)每一點(diǎn)的溫度不全一樣，則在溫度較高的點(diǎn)處的熱量就要向溫度較低的點(diǎn)處流動(dòng)，這種現(xiàn)象就是熱傳導(dǎo).在工程技術(shù)上有許多傳熱問(wèn)題都要?dú)w結(jié)為求物體內(nèi)溫度的分布，現(xiàn)在我們來(lái)推導(dǎo)傳熱過(guò)程中溫度所滿足的微分方程，與上例類似，我們不是先討論一點(diǎn)處的溫度，而應(yīng)該先考慮一個(gè)區(qū)域的溫度.為此，在物體中任取一閉曲面，它所包圍的區(qū)域記作（圖3-3）.假設(shè)在時(shí)刻，區(qū)域內(nèi)點(diǎn)處的溫度為，為曲面元素的外法向（從內(nèi)指向外）. 圖3-3 由傳熱學(xué)可知，在時(shí)間內(nèi)，從流入?yún)^(qū)域的熱量與時(shí)間，面積，以及沿曲面的法線方向的溫度變化率三者的乘積成正比，即其中稱為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，當(dāng)物體為均勻?qū)狍w時(shí)，為常數(shù).于是，從時(shí)刻到時(shí)刻，通過(guò)曲面流入

11、區(qū)域的全部熱量為流入的熱量使V內(nèi)溫度發(fā)生了變化，在t時(shí)間內(nèi)區(qū)域V內(nèi)各點(diǎn)溫度從u(x,y,z,t)變化到u(x,y,z,t+t)，則在t內(nèi)V內(nèi)溫度升高所需要的熱量為從而從時(shí)刻到時(shí)刻，由于溫度升高所吸收的熱量為其中為物體的比熱，為物體的密度，對(duì)均勻物體來(lái)說(shuō)，它們都是常數(shù).由于熱量守恒，流入的熱量應(yīng)等于物體溫度升高所需吸收的熱量，即此式左端的由面積分中是封閉曲面，可以利用奧-高公式將它化為三重積分，即因此有 （3.20）由于時(shí)間間隔及區(qū)域都是任意取的，并且被積函數(shù)是連續(xù)的，所以(3.20)式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即 （3.21）其中方程(3.21)稱為三維熱傳導(dǎo)方程.若物體內(nèi)有熱源，其

12、強(qiáng)度為，則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為其中作為特例，如果所考慮的物體是一根細(xì)桿（或一塊薄板），或者即使不是細(xì)桿（或薄板）而其中的溫度只與（或）有關(guān)，則方程(3.21)就變成一維熱傳導(dǎo)方程或二維熱傳導(dǎo)方程 如果我們考慮穩(wěn)恒溫度場(chǎng)，即在熱傳導(dǎo)方程中物體的溫度趨于某種平衡狀態(tài)，這時(shí)溫度已與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以此時(shí)方程(3.21)就變成拉普拉斯方程(3.19).由此可見(jiàn)穩(wěn)恒溫度場(chǎng)內(nèi)的溫度也滿足拉普拉斯方程.在研究氣體或液體的擴(kuò)散過(guò)程時(shí)，若擴(kuò)散系數(shù)是常數(shù)，則所得的擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程完全相同.32 初始條件與邊界條件上面所討論的是如何將過(guò)程的物理規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái).除此以外，我們還需要把具體條件也用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)

13、，這是因?yàn)槿魏我粋€(gè)具體的物理現(xiàn)象都是處在特定條件之下的.例如弦振動(dòng)問(wèn)題，上節(jié)所推導(dǎo)出來(lái)的方程是一切柔軟均勻的弦作微小橫向振動(dòng)的共同規(guī)律，在推導(dǎo)這個(gè)方程時(shí)沒(méi)有考慮到弦在初始時(shí)刻物狀態(tài)以及弦所受的約束情況.如果我們不是泛泛地研究弦的振動(dòng)，勢(shì)必就要考慮到弦所具有的特定條件.因?yàn)槿魏我粋€(gè)具體振動(dòng)現(xiàn)象總是在某時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)和此時(shí)刻以前的狀態(tài)有關(guān)，從而就與初始時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān).另外，弦的兩端所受的約束也會(huì)影響弦的振動(dòng)，端點(diǎn)所處的物理?xiàng)l件不同會(huì)產(chǎn)生不同的影響，因而弦的振動(dòng)也不同.所以對(duì)弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，除了建立振動(dòng)方程以外，還需列出它的具體條件.對(duì)熱傳導(dǎo)方程，拉普拉斯方程也是如此.提出的條件應(yīng)該恰恰能夠說(shuō)明某一

14、具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)以及邊界上的約束情況，用以說(shuō)明系統(tǒng)的初始狀態(tài)的條件稱為初始條件.用以說(shuō)明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.下面具體說(shuō)明初始條件和邊界條件的表達(dá)形式，先談初始條件，對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，初始條件就是弦在開(kāi)始時(shí)刻的位移及速度，若以分別表示初位移和初速度，則初始條件可以表達(dá)為 （3.22）而對(duì)熱傳導(dǎo)方程來(lái)說(shuō)，初始條件是指在開(kāi)始時(shí)刻物體溫度的分布情況，若以表示時(shí)物體內(nèi)任一點(diǎn)處的溫度，則熱傳導(dǎo)方程的初始條件就是 (3.23)泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始狀態(tài)無(wú)頭，所以不提初始條件.再談邊界條件.如果邊界條件直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值，以表示邊界上的動(dòng)點(diǎn)，則這樣

15、的邊界條件可表為或簡(jiǎn)寫(xiě)成 （3.24）這種邊界條件稱為第一類邊界條件，其中表示在邊界上給定的已知函數(shù).例如，在桿的導(dǎo)熱問(wèn)題中，若在端點(diǎn)處溫度保持為常數(shù)，這時(shí)在端點(diǎn)的邊界條件為若在端點(diǎn)處溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律為已知，在這點(diǎn)的邊界條件為又如在弦振動(dòng)問(wèn)題中，若弦的某端點(diǎn)是固定的，則在該點(diǎn)的位移為零，即以上都是第一類邊界條件的例子.總之，第一類邊界條件直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值 但在許多情況下，邊界上的物理?xiàng)l件并不能用第一類邊界條件來(lái)描述.例如，在桿的導(dǎo)熱問(wèn)題中，若桿的一端絕熱，那末絕熱這個(gè)條件就不能直接給出桿的端點(diǎn)處的溫度變化.由于從桿外通過(guò)桿端流入桿內(nèi)的熱量為(其中為時(shí)間間隔，為桿的截面積，為桿

16、在端點(diǎn)處的外法向，若是桿的左端點(diǎn)，的正向與軸正向相反，則若是桿的右端點(diǎn)，則的正向與軸正向相同，則所以絕熱這個(gè)條件可以表達(dá)為即若在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)端單位面積流入桿內(nèi)的熱量是的已知函數(shù)，則這個(gè)條件可表示為對(duì)于弦振動(dòng)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，如果弦在處是自由的，即沿著位移方向不受外力，則此時(shí)弦在處沿位移方向的張力（參照3.1中例1的推導(dǎo)） 為即總之，有時(shí)邊界條件必須表達(dá)為 （3.25）的形式，其中表示函數(shù)沿邊界外法向的變化率，這種邊界條件稱為第二類邊界條件.除了上述兩類邊界條件外，有時(shí)還會(huì)遇到其他形式的邊界條件.例如在桿的導(dǎo)熱熱問(wèn)題中，若桿在某個(gè)端點(diǎn)自由冷卻，那末自由冷卻這個(gè)條件就是(其中為周?chē)橘|(zhì)的溫度)即這是由于

17、在單位時(shí)間內(nèi)從周?chē)橘|(zhì)傳到桿的端單位面積上的熱量與介質(zhì)和桿端的溫度差成正比，而在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)端單位面積傳向桿內(nèi)的熱量與成正比（參考3.1中例4）.對(duì)于有界桿，若兩端都是自由冷卻，則在處，上述條件可表為在處，這個(gè)條件可表為一般地，這種邊界條件的形式為 （3.26）這樣的邊界條件稱為第三類邊界條件.不論哪一種邊界條件，如果它的數(shù)學(xué)表達(dá)式中的右端自由項(xiàng)恒為零，則這種邊界條件稱為齊次的.3.3 定解問(wèn)題的提法 前面兩節(jié)我們推導(dǎo)了三種不同類型的偏微分方程并討論了與它們相應(yīng)的初始條件與邊界條件的表達(dá)方式.由于這些方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階都是二階，而且它們對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)都是線性

18、的，所以這種方程稱為二階線性偏微分方程*）*）二階線性編微分方程可以按它們的二階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)的代數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類，在§1.1中所推導(dǎo)的波動(dòng)方程屬于雙曲型,拉普拉斯（或泊松）方程屬于橢圓型，熱傳導(dǎo)方程屬于拋物型，關(guān)于二階線性偏微分方程的分類方法,讀者可參閱復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)物理方程（第二版，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版）第一章§5.在工程技術(shù)上二介線性偏微分方程遇到最多.如果一個(gè)函數(shù)具有所需要的各階連續(xù)編導(dǎo)數(shù)，并且代入某偏微方程中能使該方程變成恒等式，則此函數(shù)稱為該方程的解.由于每一個(gè)物理過(guò)程都處在特定的條件之下，所以我們的任務(wù)是要求出適合初始條件和邊界條件的解.初始條件和邊界條件都稱為定解條件.求一個(gè)偏微方程滿足定解條件的解的問(wèn)題稱為定解問(wèn)題.只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題稱為始值問(wèn)題（或柯西問(wèn)題）；而沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題；既有初始條件也有邊界條件的定解問(wèn)題稱為混合問(wèn)題.一個(gè)定解問(wèn)題提得是否符合實(shí)際情況，當(dāng)然必須靠實(shí)際來(lái)證實(shí)，然而從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，可以從三方面加以檢驗(yàn).1）解的存在