2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1、第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法知識(shí)能否憶起1數(shù)列的定義、分類與通項(xiàng)公式(1)數(shù)列的定義：數(shù)列：按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)(2)數(shù)列的分類：分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1>an其中nn*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式2數(shù)列的遞推公式如果數(shù)列an的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(n2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫數(shù)列的遞推公式小題能否全取1(教

2、材習(xí)題改編)數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()aanbancandan答案：b2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn2，那么a8的值為()a15b16c49d64解析：選aa8s8s7644915.3數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，那么這個(gè)數(shù)列是()a遞增數(shù)列b遞減數(shù)列c常數(shù)列d擺動(dòng)數(shù)列解析：選aan1an>0.4(教材習(xí)題改編)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an那么a4·a3_.解析：a4·a32×33·(2×35)54.答案：545數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anpn，且a2，a4，那么a8_.解析：由得解得那么ann，故a8.答案：1.對(duì)數(shù)列概念的理解(1)數(shù)列是按一定“

3、順序排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)有關(guān)，而且還與這些“數(shù)的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無(wú)序性因此，假設(shè)組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別2數(shù)列的函數(shù)特征數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集n*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，即f(n)an(nn*)由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式典題導(dǎo)入例1(2022·天津南開(kāi)中學(xué)月考)以下公式可作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項(xiàng)公式的是()aan1bancan2dan自主解答由a

4、n2可得a11，a22，a31，a42，.答案c假設(shè)本例中數(shù)列變?yōu)椋?,1,0,1，那么an的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)答案：an由題悟法1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來(lái)調(diào)整2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般的思想以題試法1寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3333，；(4)1，.解：(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.(2)每一項(xiàng)的分子比

5、分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，所以an.(3)將數(shù)列各項(xiàng)改寫(xiě)為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，.所以an(10n1)(4)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式的符號(hào)為(1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)n·，也可寫(xiě)為an由an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)an典題導(dǎo)入例2數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn，根據(jù)以下條件分別求它們的通項(xiàng)an.(1)sn2n23n；(2)sn3n1.自主解答(1)由題可知，當(dāng)n1時(shí)，a1s12×123

6、15;15，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.當(dāng)n1時(shí)，4×115a1，故an4n1.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1s1314，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(3n1)(3n11)2×3n1.當(dāng)n1時(shí)，2×3112a1，故an由題悟法數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過(guò)程分為三步：(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替換sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用ansnsn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，那么可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，那么應(yīng)該分n1

7、與n2兩段來(lái)寫(xiě)以題試法2(2022·聊城模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn，那么()a.b.c.d30解析：選d當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1，那么a5.數(shù)列的性質(zhì)典題導(dǎo)入例3數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann221n20.(1)n為何值時(shí)，an有最小值并求出最小值；(2)n為何值時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和最小自主解答(1)因?yàn)閍nn221n202，可知對(duì)稱軸方程為n10.5.又因nn*，故n10或n11時(shí)，an有最小值，其最小值為11221×112090.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最小，那么有an0，由n221n200，解得1n20，故數(shù)列an從第21項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項(xiàng)

8、和最小在本例條件下，設(shè)bn，那么n為何值時(shí)，bn取得最小值并求出最小值解：bnn21，令f(x)x21(x>0)，那么f(x)1，由f(x)0解得x2或x2(舍)而4<2<5，故當(dāng)n4時(shí)，數(shù)列bn單調(diào)遞減；當(dāng)n5時(shí)，數(shù)列bn單調(diào)遞增而b442112，b552112，所以當(dāng)n4或n5時(shí)，bn取得最小值，最小值為12.由題悟法1數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)anf(n)，利用求解函數(shù)最值的方法求解，但要注意自變量的取值2前n項(xiàng)和最值的求法(1)先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn，根據(jù)sn的表達(dá)式求解最值；(2)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，假設(shè)am0，且am1<

9、;0，那么sm最大；假設(shè)am0，且am1>0，那么sm最小，這樣便可直接利用各項(xiàng)的符號(hào)確定最值.以題試法3(2022·江西七校聯(lián)考)數(shù)列an的通項(xiàng)an，那么數(shù)列an中的最大值是()a3b19c.d.解析：選can，由根本不等式得，由于nn*，易知當(dāng)n9或10時(shí)，an最大1數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn2(an1)，那么a2等于()a4b2c1d2解析：選a由題可知sn2(an1)，所以s1a12(a11)，解得a12.又s2a1a22(a21)，解得a2a124.2按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列，的第10項(xiàng)是()abcd解析：選c所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項(xiàng)公式時(shí)，我們

10、可以把每一局部進(jìn)行分解：符號(hào)、分母、分子很容易歸納出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，an(1)n1，故a10.3數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n2時(shí)，an()a2n1bn2c.d.解析：選d設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為tn，那么tnn2，當(dāng)n2時(shí)，an.4數(shù)列an滿足a1>0，那么數(shù)列an是()a遞增數(shù)列b遞減數(shù)列c常數(shù)列d不確定解析：選b<1.又a1>0，那么an>0，an1<an.an是遞減數(shù)列5(2022·北京高考)某棵果樹(shù)前n年的總產(chǎn)量sn與n之間的關(guān)系如下列圖從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，m的值為()a5b7c9d11解析：選c依題意表示圖象上的

11、點(diǎn)(n，sn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，當(dāng)n9時(shí)，最大，故m9.6(2022·江西八校聯(lián)考)將石子擺成如圖的梯形形狀稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2022項(xiàng)與5的差，即a20225()a2022×2022b2022×2022c1009×2022d1009×2022解析：選d因?yàn)閍nan1n2(n2)，所以an5，所以a202251009×2022.7數(shù)列an滿足astasat(s，tn*)，且a22，那么a8_.解析：令st2，那么a4a2×a24，令s2，t4，那么a8a2×a

12、48.答案：88數(shù)列an滿足a11，a22，且an(n3)，那么a2022_.解析：將a11，a22代入an得a32，同理可得a41，a5，a6，a71，a82，故數(shù)列an是周期數(shù)列，周期為6，故a2022a335×62a22.答案：29an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足log2(sn1)n1，那么an_.解析：由條件可得sn12n1.那么sn2n11，當(dāng)n1時(shí)，a1s13，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12n112n12n，n1時(shí)不適合an，故an答案：10數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann27n6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)假設(shè)是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)(3)該數(shù)列從第

13、幾項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都是正數(shù)解：(1)當(dāng)n4時(shí)，a4424×766.(2)令an150，即n27n6150，解得n16或n9(舍去)，即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)(3)令ann27n6>0，解得n>6或n<1(舍)故從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)11數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n22n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn2bn.求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式解：當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n，當(dāng)n1時(shí)，a1s14也適合，an的通項(xiàng)公式是an4n(nn*)tn2bn，當(dāng)n1時(shí)，b12b1，b11.當(dāng)n2時(shí)，bntntn1(2bn)(2bn1)，2bnbn1.數(shù)列bn是公

14、比為，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列bnn1.12(2022·福州質(zhì)檢)數(shù)列an中，a12，an1ancn(nn*，常數(shù)c0)，且a1，a2，a3成等比數(shù)列(1)求c的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)由題知，a12，a22c，a323c，因?yàn)閍1，a2，a3成等比數(shù)列，所以(2c)22(23c)，解得c0或c2，又c0，故c2.(2)當(dāng)n2時(shí)，由an1ancn得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得ana112(n1)cc，又a12，c2，故ann2n2(n2)，當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n2(nn*)1(2022·嘉興質(zhì)檢

15、)數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nn*)，那么a10()a64b32c16d8解析：選b因?yàn)閍n1an2n，所以an1an22n1，兩式相除得2.又a1a22，a11，所以a22，那么···24，即a1025.2數(shù)列an中，sn為an的前n項(xiàng)和，n(an1an)an(nn*)，且a3，那么tans4等于()ab.cd.解析：選b法一：由n(an1an)an得nan1(n1)an，可得3a44a3，a3，那么a4.又由2a33a2，得a2，由a22a1，得a1，故s4a1a2a3a4，tan s4tan.法二：由n(an1an)an，得nan1(n1)an即，

16、.ann，s4a1a2a3a4(1234)，tan s4tan.3(2022·甘肅模擬)數(shù)列an中，a11，且滿足遞推關(guān)系an1(nn*)(1)當(dāng)m1時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)當(dāng)nn*時(shí)，數(shù)列an滿足不等式an1an恒成立，求m的取值范圍解：(1)m1，由an1(nn*)，得an12an1，an112(an1)，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，公比也是2的等比數(shù)列于是an12·2n1，an2n1.(2)an1an，而a11，知an1，an，即ma2an，依題意，有m(an1)21恒成立an1，m2213，即滿足題意的m的取值范圍是3，)1以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是()a數(shù)列

17、1,3,5,7可表示為1,3,5,7b數(shù)列1,0，1，2與數(shù)列2，1,0,1是相同的數(shù)列c數(shù)列的第k項(xiàng)為1d數(shù)列0,2,4,6,8，可記為2n解析：選c數(shù)列的通項(xiàng)公式為an1，ak1.故c正確；由數(shù)列的定義可知a、b均錯(cuò)；d應(yīng)記作2(n1)2數(shù)列an滿足anan1(nn*)，a22，sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，那么s21為()a5b.c.d.解析：選ba1a22，a22，a32，a42，知a2n2，a2n12，故s2110×a152.3如圖關(guān)于星星的圖案中，第n個(gè)圖案中星星的個(gè)數(shù)為an，那么數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式是()aann2n1bancandan解析：選c從圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，n1時(shí)，有1個(gè)；n2時(shí)，有3個(gè)；n3時(shí)，有6個(gè)；n4時(shí)，有10個(gè)，故an1234n.4數(shù)列an中，a13，an1，那么其通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：兩邊取倒數(shù)，得2，故有2.故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以2(