(完整版)第八章相量圖和相量法求解電路

1、第八章相量圖和相量法求解電路一、教學(xué)基本要求1、掌握阻抗的串、并聯(lián)及相量圖的畫法。2、了解正弦電流電路的瞬時(shí)功率、有功功率、無功功率、功率因數(shù)、復(fù)功率的概念及表達(dá)形式。3、熟練掌握正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析法。4、了解正弦電流電路的串、并聯(lián)諧振的概念，參數(shù)選定及應(yīng)用情況。5、掌握最大功率傳輸?shù)母拍?，及在不同情況下的最大傳輸條件。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：(1). 正弦量和相量之間的關(guān)系；(2) . 正弦量的相量差和有效值的概念(3) . R、L、C各元件的電壓、電流關(guān)系的相量形式(4) . 電路定律的相量形式及元件的電壓電流關(guān)系的相量形式。2教學(xué)難點(diǎn)：1. 正弦量與相量之間的聯(lián)系和區(qū)別；2

2、. 元件電壓相量和電流相量的關(guān)系。三、本章與其它章節(jié)的聯(lián)系：本章是學(xué)習(xí)第9-12 章的基礎(chǔ)，必須熟練掌握相量法的解析運(yùn)算。§ 8.1復(fù)數(shù)相量法是建立在用復(fù)數(shù)來表示正弦量的基礎(chǔ)上的，因此，必須掌握復(fù)數(shù)的四種表示形式及運(yùn)算規(guī)則。1 .復(fù)數(shù)的四種表示形式代數(shù)形式 A = a +jb - - 復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示為：ReA=a ImA=b。圖8.1為復(fù)數(shù)在復(fù)平面的表示。圖8.1| H |二4？十百3 - arctg 根據(jù)圖8.1得復(fù)數(shù)的三角形式：乂二1工1(。3+八出日)a =A cc>3 8兩種表示法的關(guān)系：*=|金|Fin®或根據(jù)歐拉公式可將復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)換為指數(shù)表

3、示形式：A=AeJV =|Z|(cosS+ / sin 60指數(shù)形式有時(shí)改寫為極坐標(biāo)形式：注意：要熟練掌握復(fù)數(shù)的四種表示形式及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，這對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算非 常重要。2 .復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)加減運(yùn)算 一一采用代數(shù)形式比較方便。若二則 I 二 J.1I j 'I即復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算滿足實(shí)部和實(shí)部相加減，虛部和虛部相加減。復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算也可以在復(fù)平面上按平行四邊形法用向量的相加和相減求 得，如圖8.2所示。圖8.2(2)乘除運(yùn)算一一采用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式比較方便。若卜L I I- -二則一 ,一1”4/I* |卻/其IAI 閭1 3即復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足模相乘，輻角相加。除法運(yùn)算滿足模相除，

4、輻角相減, 如圖8.3示。圖8.3圖8.4(3)旋轉(zhuǎn)因子：由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算得任意復(fù)數(shù)A乘或除復(fù)數(shù)B ,相當(dāng)于A逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度9 ,而模不變，如圖8.4所示。故把2用稱為旋轉(zhuǎn)因子當(dāng)尸一 J , 一.：一、.故+j,-j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。3 .復(fù)數(shù)運(yùn)算定理定王里1 WFJ-式中K為實(shí)常數(shù)。定理2&4 +為=£闖+曲幻定理3 若4 一此則人二m例8-1 計(jì)算復(fù)數(shù)5/d丁+10/- 25" = ?解：. - ,一一J=12.47-jO.569= 12.43/-2 仃本題說明進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)應(yīng)先把極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)為代數(shù)形式23 產(chǎn)+削4 + %：例8-

5、2 計(jì)算復(fù)數(shù)20+0IS 24Z27 9°x7 2HZ56 3B解：值一丁，"二十二= 180.2 + J126.2 + 728Z70 16"=180.2+J126.2 + 2.238+j6.329= 182 5+J132 5 = 225 5Z36n本題說明進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)應(yīng)先把代數(shù)形式轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)形式§ 8.2正弦量1.正弦量電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流統(tǒng)稱為正弦量，以電流為例，其瞬時(shí)值表達(dá)式為(本書采用cosine函數(shù))：l(t)=4cos(fflt + !pr)波形如圖8.5所示圖8.5注意：激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電路或交流電路。

6、研究正弦電路的意義：(1)正弦電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重要的地位。由于：1 )正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導(dǎo)、積分運(yùn)算后仍是同頻率的正 弦函數(shù)；2)正弦信號(hào)容易產(chǎn)生、傳送和使用。(2)正弦信號(hào)是一種基本信號(hào)，任何復(fù)雜的周期信號(hào)可以分解為按正弦規(guī) 律變化的分量。因此對(duì)正弦電路的分析研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。2.正弦量的三要素(1) Im一幅值(振幅、最大值)：反映正弦量變化過程中所能達(dá)到的最大幅度。(2)一角頻率：為相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。它與周期和頻率的關(guān)系為:2%-rad/s(3) y 初相角：反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，常用角度表示。需要注意的是：1)計(jì)時(shí)起點(diǎn)

7、不同，初相位不同，圖 8.6給出了同一個(gè)正弦量在不同計(jì)時(shí)起點(diǎn)下初相位的取值。2 ) 一般規(guī)定初相位取主值范圍，即| y| 0九3)如果余弦波的正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后，如圖 8.7所示，則初相位 為負(fù)，如果余弦波的正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之前，則初相位為正。4)對(duì)任一正弦量，初相可以任意指定，但同一電路中許多相關(guān)的正弦量只 能對(duì)于同一計(jì)時(shí)起點(diǎn)來確定各自的相位。圖8.6圖8.73 .相位差相位差是用來描述電路中兩個(gè)同頻正弦量之間相位關(guān)系的量。設(shè)T )().匚7一一；則相位差為： 一 一 ， 一一。上式表明同頻正弦量之間的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范圍，即：|小| 0九如果上式中小0 ,

8、稱u超前i ，或i滯u ,表明u比i先達(dá)到最 大值;如圖8.8 (a)所示。如小0 ,稱i超前u ,或u滯后i ,表明i比u先達(dá)到最大值。如(|)=±p,稱i與u反相，如圖8.8 (b)所示；如 小=0 ,稱i與u同相，如圖8.8 (c)所示。圖 8.8(a)(b)(c)需要注意的是:同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、 比較。4 .正弦電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效應(yīng)，工程上采用 有效值來表示。周期電流、電壓有效值的物理意義如圖8.9所示，通過比較直流電流I和交流電流i在相同時(shí)間T內(nèi)流經(jīng)同一電阻R產(chǎn)生的熱效應(yīng)，即

9、 令：RI2T =從中獲得周期電流和與之相等的直流電流I之間的關(guān)系：這個(gè)直流量I稱為周期量的有效值。有效值也稱方均根值。圖8.9同樣，可定義電壓有效值:設(shè)正弦電流丫）相應(yīng)的有效值為:-rl4-cos2（£»f+ F ）即正弦電流的有效值與最大值滿足關(guān)系:口 = ±4或.聞同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系：足若一交流電壓有效值為 U = 220V ,則其最大值為U= 311V ;需要注意的是：(1)工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng) 的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐 壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。(2)

10、測(cè)量中，交流測(cè)量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。(3)區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值i、u ,最大值IMn、Un和有效值I、U的 符號(hào)。例8-3已知正弦電流波形如圖所示，9= 103rad/s ,(1)寫出正弦i(t) 表達(dá)式；(2)求正弦電流最大值發(fā)生的時(shí)間t 1例8 - 3圖解：根據(jù)圖示可知電流的最大值為100A , t=0時(shí)電流為50A ,因此有:=i (0) = 50 = 100 cos解得甲二土蚱由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè)故取中=一豆口i(f)-W0cos(1032-)所以-當(dāng)10力 力3時(shí)電流取得最大值，即：例8-4計(jì)算下列兩正弦量的相位差。(1)式。=10匚第。00冗£

11、 + 3H/韋.&)= 10g呂。0。盾£-度/2)%© 二 10皿乂1004£ + 30°) 馬(£) = lO£in(lO0附 £-15。)")二5匚聞100死-3的修 R) =-3go5(1UQ 用！ + 30u)解：(1)伊=3充 /4 一 ( /2)= 5b/4 %(。= 108巾00日十 300) 的(E) = 1Qm(2UQ冗 £ + 45,轉(zhuǎn)為主值范圍：'"' -說明i i滯后i 2 3打4。(2)先把i2變?yōu)橛嘞液瘮?shù)：，三1。腌3。瘡TO力則；一 一 一

12、說明i i超前i 2135(3)因?yàn)閮蓚€(gè)正弦量的角頻率外工叼，故不能比較相位差。(4)式) = &M。龍+3。") = 350。血-1劉)則一一說明ii超前iJ2。"本題說明兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍比較。§ 8.3 相量法的基礎(chǔ)正弦穩(wěn)態(tài)線性電路中，和各支路的電壓和電流響應(yīng)與激勵(lì)源是同頻率的正弦 量，因此應(yīng)用基爾霍夫定理分析正弦電路將遇到正弦量的相減運(yùn)算和積分、微分運(yùn)算，在時(shí)域進(jìn)行這些運(yùn)算十分繁復(fù)，通過借用復(fù)數(shù)表示正弦信號(hào)可以使正弦電 路分析得到簡化。1 .正弦量的相量表小構(gòu)造一個(gè)復(fù)函數(shù)二一”，一”，.一，：,.對(duì)A

13、（t）取實(shí)部得正弦電流：Rd陽乂心"¥）二工的上式表明對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)，即:1 =歷18乳a+干）一上=&&切=A（t）還可以寫成稱復(fù)常數(shù)/二正獷 為正弦量i（t）對(duì)應(yīng)的相量，它包含了 i（t）的兩個(gè)要素I ,Y 任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的相量，即：遮）三點(diǎn)/as（史£斗產(chǎn)）O 7 = JZ注意：相量的模為正弦量的有效值，相量的幅角為正弦量的初相位。同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：“©三聞8叱”）O "三口Z日例如若已知正弦電流和電壓分別為：i = 14L4 cos0141+

14、30，）幺 狀= 311_lcos014"6O"）夕則對(duì)應(yīng)的相量分別為：110U-30；"LL OU'若正弦電流的相量1 = 50/15*5.頻率=50&*則對(duì)應(yīng)的正弦電流為：一 ：''2 .相量圖在復(fù)平面上用向量表示相量的圖稱為相量圖。如已知相量則對(duì)應(yīng)的相量圖如圖8.10所示。輻角為零的相量稱為參考相量3 .相量法的應(yīng)用(1)同頻率正弦量的加減/© =貶4cos(M -我)二口(於行道加)設(shè)'、：， 二-二，.M© =% CH % (t) = Rc(a/2 U1 e) + Re(2U3)=Rc(虎Ui

15、* + j2Ui /") = Rc(T2(!7i+ f/a)eM)從上式得其相量關(guān)系為： ：-1-圖 8.11故同頻正弦量相加減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算，運(yùn)算過程如圖4 .11所示。(2)正弦量的微分、積分運(yùn)算門一",一心：=-Re g*=R4版j .則 dt dtdi.幣j曲i = &工Z甲、次對(duì)應(yīng)的相量為.味/工就=R。志上"“出=Re a工*hdt-J 對(duì)應(yīng)的相量為1出"以上式子說明正弦量的微分是一個(gè)同頻正弦量，其相量等于原正弦量i的相量,乘以/，正弦量的積分也是一個(gè)同頻正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量1除以例如圖8.12所示

16、RLC串聯(lián)電路，由KVL得電路方程為1;1©1=+記、' 小 CJ根據(jù)正弦量與相量的關(guān)系得以上微積分方程對(duì)應(yīng)的相量方程為:U = Rl皿圖 8.12因此引入相量的優(yōu)點(diǎn)是：(1)把時(shí)域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問題；(2)把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；需要注意的是：1)相量法實(shí)質(zhì)上是一種變換，通過把正弦量轉(zhuǎn)化為相量，而把時(shí)域里正弦 穩(wěn)態(tài)分析問題轉(zhuǎn)為頻域里復(fù)數(shù)代數(shù)方程問題的分析；2)相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。3)相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。例8-5計(jì)算兩正弦電壓之和，已知：1(1) = 642cos(314f + 30n； Vcos(314/ + V解：兩正弦電壓對(duì)

17、應(yīng)的相量為四二叱30,P U2 = 4260相量之和為：=719+j646 = 9 例/4L 90 V所以：,一七 本題也可借助相量圖計(jì)算，如下圖所示。例8 5相量圖解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)例8-6試判斷下列表達(dá)式的正、誤，并給出正確結(jié)果。(2) i - 5cos 血-520乙二.。4(4) UjsLI,rr也=jtC Q XL =c曲q = C dt錯(cuò)，瞬時(shí)式和相量混淆，正確寫法為： 方二出百錯(cuò)，瞬時(shí)式不能和相量相等，正確寫法為：i=5cos"f 0520°錯(cuò)，有效值和相量混淆，正確寫法為： 匕二曲?？趹?zhàn)對(duì)i = Q錯(cuò),感抗和容抗混淆，正確寫法為：兒 /仃

18、 =錯(cuò),有效值和相量混淆，正確寫法為：人T 4/1L =£ -1 = C錯(cuò)，電容和電感的VCR昆淆，正確寫法為： 曲或 近§ 8.41.電阻元件VCR的相量形式電路定律的相量形式設(shè)圖8.13 (a)中流過電阻的電流為 世)二&133十巴)則電阻電壓為：-1- -1 11 -工I其相量形式： .，一，圖 8.13 (a)以上式子說明：(1)電阻的電壓相量和電流相量滿足復(fù)數(shù)形式的歐姆定律：口/,氏3，圖8.13 (b)為電阻的相量模型圖。圖 8.13 ( b )(2)電阻電壓和電流的有效值也滿足歐姆定律：U = RI(3)電阻的電壓和電流同相位，即：巾u =巾i電阻電壓

19、和電流的波形圖及相量圖如圖 8.14 (a)和(b)所示圖 8.14 (a)(b)電阻的瞬時(shí)功率為：P宜=皿/ =先口重血，s一14y J = ?7JE?l + cos2(fij t +F j即瞬時(shí)功率以2交變，且始終大于零，如圖8.14 (a)所示，表明電阻始終 吸收功率。2 .電感元件VCR的相量形式設(shè)圖8.15 (a)中流過電感的電流為l(t )= '巨工 COS(£Ut 十巴)Lij.it)=工= 一點(diǎn)砒 FsinOf + 衛(wèi)：)=思3 L 工須 t + F + -)則.':對(duì)應(yīng)的相量形式分別為：'" 二 一一 '、'2l(t

20、) L7 3工a» ，_十年8) 一 -5圖 8.15( a )( b )以上式子說明：(1)電感的電壓相量和電流相量滿足關(guān)系： 豆三j渥1三*/ ,其中人二l=2冗fL ,稱為感抗，單位為 。(歐姆)，圖8.16 (b)為電感的相量模型圖。(2)電感電壓和電流的有效值滿足關(guān)系：鞏 =sU ,表示電感的電壓有效值等于電流有效值與感抗的乘積。(3)電感電壓超前電流 力2相位，即：h-HF2電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.16 (a)和(b)所示。注意：(1)感抗表示限制電流的能力；(2)感抗和頻率成正比如圖8.16 (c)所示，當(dāng) 面="符=。，T吃區(qū)T8 ;電感電壓

21、和電流的波形圖及相量圖如圖8.16 (a)和(b)所示。圖 8.16 (a)(b)(c)電感的瞬時(shí)功率為：Pi= 3 二 口3 cos(otf + 巴)+巴)=。Jrin 23t + 巴)即電感的瞬時(shí)功率以2交變，有正有負(fù)，如圖 8.16 (a)所示。電感在 一個(gè)周期內(nèi)吸收的平均功率為零。3 .電容元件VCR的相量形式一 .一:況一 + U圖 8.17( a )( b )設(shè)圖8.17 (a)中電容的電壓為：戲)=式壯+巴) 則對(duì)應(yīng)的相量形式分別為："比我 八=公/匕+以2以上式子說明： . 1 ; *t/ = " J/=-/金(1)電容的電壓相量和電流相量滿足關(guān)系：貯其中X

22、c=1/cdC ,稱為容抗，單位為Q (歐姆)，圖8.17 (b)為電容的相量 模型圖。(2)電容電壓和電流的有效值滿足關(guān)系：Uc = 1mC ,表示電容的電壓有效值等于電流有效值與容抗的乘積。(3)電容電壓滯后電流力總相位，即：則咒=-喈電容電壓和電流的波形圖及相量圖如圖 8.18 (a)和(b)所示。注意：容抗和頻率成反比如圖8.18 (c)所示，當(dāng)?shù)亩?，:一8，T弭,說明電容有隔斷直流的作用，而高頻時(shí)電容相當(dāng)于短路圖 8.18( a )( b )( c )電容的瞬時(shí)功率為：pc = uic = 2UIC cos(o91 + 巴)sin(而 t + 巴)=sin 2(*)t + 巴)即電

23、容的瞬時(shí)功率以2交變，有正有負(fù)，如圖 8.18 (a)所示。電感在一個(gè)周期內(nèi)吸收的平均功率為零4.基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示。對(duì)電路中任一結(jié)點(diǎn)，根據(jù)KCL有£)= 口，由于»'") = £加 應(yīng)后 + 乙 +, 土施=0得KCL的相量形式為：同理對(duì)電路中任一回路，根據(jù) KVL有2>«)= 0 ,對(duì)應(yīng)的相量形式為：Z6=Q上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL ;而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足

24、 KVL o例8-7圖(a)所示電路中電流表的讀數(shù)為：Ai=8A , A=6A ,試求：(1)若 =凡2j=-/，則電流表A。的讀數(shù)為多少？(2)若 1 =為2為何參數(shù)，電流表Ao的讀數(shù)最大？ I 0max = ?(3)若 4=*=,%為何參數(shù)，電流表A。的讀數(shù)最??？ lomin = ?(4)若乙 為何參數(shù)，可以使電流表A=A讀數(shù)最小，此時(shí)表A=?解：(1)設(shè)元件兩端的電壓相量為參考相量，根據(jù)元件電壓和電流相量的關(guān)系 畫相量圖如圖(b)所示，則:：=JG+6(M(2)因?yàn)楣な请娮瑁援?dāng) 4也是電阻時(shí)，總電流的有效值為兩個(gè)分支路 電流有效值之和，達(dá)到最大值：1=8+6 = 140Unm(3)因?yàn)?Z =是電感元件，所以當(dāng)H口是電容元件時(shí)，總電流的有效值為兩個(gè)分支路電流有效值之差，達(dá)到最小值：L =8-6 = 2j4ijuuei(4) Z二必是電感元件，所以當(dāng) 2是電容元件 4=161時(shí)，滿足4=馬-4=必例8-8電路如圖(a)所示，已知電源電壓廿團(tuán)= 12063(*),求電源電流 i(t)+ f0,02F«1504H15QAl力產(chǎn)Q|1例 8 - 8 圖(a)(b)解：電壓源電壓的相量為： 二 12叱/計(jì)算得感抗和容抗值為：氏=J4x5=J20Q-"g=-)5乂0 02 二一電路的相量模型如圖(b)所示。根據(jù)KCL和元件的VCR的相