2022年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)考點(diǎn)24解直角三角形含解析202222281157

1、考點(diǎn)24 解直角三角形一、銳角三角函數(shù)的定義在rtabc中，c=90°，ab=c，bc=a，ac=b，正弦：sina=；余弦：cosa=；正切：tana=根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.二、特殊角的三角函數(shù)值sincostan30°45°160°三、解直角三角形1在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形2解直角三角形的常用關(guān)系：在rtabc中，c=90°，那么：1三邊關(guān)系：a2+

2、b2=c2；2兩銳角關(guān)系：a+b=90°；3邊與角關(guān)系：sina=cosb=，cosa=sinb=，tana=；4sin2a+cos2a=13科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；兩邊求一邊，勾股定理最方便；兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；直邊求斜邊，用除還需正余弦.四、解直角三角形的應(yīng)用1仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角2坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度或坡比，記作i=坡角：坡面與

3、水平面的夾角叫做坡角，記作，i=tan坡度越大，角越大，坡面越陡3方向角或方位角指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角4解直角三角形中“雙直角三角形的根本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過(guò)這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過(guò)公共邊相等，列方程求解.5解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟1弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；2將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；3選擇適宜的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；4得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解考向

4、一 求三角函數(shù)的值1分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2正確地表示出直角三角形的三邊長(zhǎng)，常設(shè)某條直角邊長(zhǎng)為k有時(shí)也可設(shè)為1，在求三角函數(shù)值的過(guò)程中約去k3正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長(zhǎng)4應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值典例1 的值為abcd1【答案】c【解析】把sin45°=代入原式得：原式=2×=應(yīng)選c1如圖，在abc中，c=90°假設(shè)ab=3，bc=2，那么sina的值為abcd考向二 利用特殊角的三角函數(shù)值求值銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與銳角的大小有關(guān).典例2 a為銳角，且sina=，那么a等于a15°b30°c45°

5、;d60°【答案】d【解析】sina=，a=60°應(yīng)選d2是銳角，sin=cos60°，那么等于a30°b45°c60°d不能確定考向三 解直角三角形的應(yīng)用解此類題的一般方法：1構(gòu)造直角三角形；2理清直角三角形的邊角關(guān)系；3利用特殊角的三角函數(shù)值解答問(wèn)題.典例3 某山的山頂b處有一個(gè)觀光塔，該山的山坡面與水平面的夾角bdc為30°，山高bc為100米，點(diǎn)e距山腳d處150米，在點(diǎn)e處測(cè)得觀光塔頂端a的仰角為60°，那么觀光塔ab的高度是a50米b100米c125米d150米【答案】a【解析】如圖，作efac于f，e

6、gdc于g，在rtdeg中，eg=de=75，bf=bc-cf=bc-ce=100-75=25，ef=25，aef=60°，a=30°，af=75，ab=af-bf=50米，故觀光塔ab的高度為50米，應(yīng)選a3如圖，某湖心島上有一亭子，在亭子的正東方向上的湖邊有一棵樹(shù)，在這個(gè)湖心島的湖邊處測(cè)得亭子在北偏西方向上，測(cè)得樹(shù)在北偏東方向上，又測(cè)得、之間的距離等于米，求、之間的距離結(jié)果精確到米參考數(shù)據(jù)：，1如圖，在abc中，假設(shè)c=90°，那么asina= bsina= ccosa= dcosa= 2計(jì)算的值為abcd3在中，假設(shè)，那么的長(zhǎng)為abcd4在rtabc中，c=

7、90°，那么cosa等于abcd5菱形abcd的對(duì)角線ac=10cm，bd=6cm，那么tan為abcd6如圖是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中點(diǎn)a，b，c均為格點(diǎn)，那么sinbac為abcd7在rtabc中，c=90°，假設(shè)ab=10，sina=，那么斜邊上的高等于a5b4.8c4.6d48如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，abc的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，那么tanabc的值為abcd19如圖，某水庫(kù)堤壩橫截面迎水坡的坡度是，堤壩高為，那么迎水坡面的是a10如圖，一艘海輪位于燈塔p的北偏東55°方向，距離燈塔為2海里的點(diǎn)a處如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正

8、東位置b處，海輪航行的距離ab長(zhǎng)是a2海里b海里c海里d海里11釣魚(yú)是一項(xiàng)特別鍛煉心性的運(yùn)動(dòng)，如圖，小南在江邊垂釣，河堤ab的坡度為12.4，ab長(zhǎng)為3.9米，釣竿ac與水平線的夾角是60°，其長(zhǎng)為4.5米，假設(shè)釣竿ac與釣魚(yú)線cd的夾角也是60°，那么浮漂d與河堤下端b之間的距離約為參考數(shù)據(jù)：1.732a1.732米b1.754米c1.766米d1.823米12如圖，在rtabc中，c=90°，bc=12，tana=，那么sinb=_13在abc中，ab=2，ac=，tanb=，那么bc的長(zhǎng)度為_(kāi)14相鄰的兩根電線桿與高度相同，且相距小王為測(cè)量電線桿的高度，在兩

9、根電線桿之間某一處架起測(cè)角儀，如下圖，分別測(cè)得兩根電線桿頂端的仰角為、，測(cè)角儀高，那么電線桿的高度約為_(kāi)精確到，參考數(shù)據(jù)：，15：如圖，在菱形abcd中，aebc，垂足為e，對(duì)角線bd=8，tancbd=1求邊ab的長(zhǎng)；2求cosbae的值16如圖是小強(qiáng)洗漱時(shí)的側(cè)面示意圖，洗漱臺(tái)(矩形abcd)靠墻擺放，高ad=80cm，寬ab=48cm，小強(qiáng)的身高為166cm，其中下半身fg=100cm，洗漱時(shí)下半身與地面成80°角(fgk=80°)，身體前傾成125°角(efg=125°)，腳與洗漱臺(tái)的距離gc=15cm(點(diǎn)d，c，g，k在同一直線上)1此時(shí)小強(qiáng)的頭

10、部點(diǎn)e與地面dk的距離是多少？2小強(qiáng)希望他的頭部e恰好在洗漱盆ab的中點(diǎn)o的正上方，他應(yīng)向前或后退多少？(sin80°0.98，cos80°0.17，1.41，結(jié)果精確到0.1cm)12022天津的值等于a1bcd222022懷化為銳角，且sin=，那么=a30°b45°c60°d90°32022·宜昌如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，abc的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sinbac的值為abcd42022廣州如圖，有一斜坡ab，坡頂b離地面的高度bc為30 m，斜坡的傾斜角是bac，假

11、設(shè)tanbac=，那么此斜坡的水平距離ac為a75 mb50 mc30 md12 m52022蘇州如圖，小亮為了測(cè)量校園里教學(xué)樓的高度，將測(cè)角儀豎直放置在與教學(xué)樓水平距離為的地面上，假設(shè)測(cè)角儀的高度為，測(cè)得教學(xué)樓的頂部處的仰角為，那么教學(xué)樓的高度是abcd62022廣西小菁同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中測(cè)量路燈的高度如圖，她的目高ab為1.5米，她先站在a處看路燈頂端o的仰角為35°，再往前走3米站在c處，看路燈頂端o的仰角為65°，那么路燈頂端o到地面的距離約為sin35°0.6，cos35°0.8，tan35°0.7，sin65°0.9，

12、cos65°0.4，tan65°2.1a3.2米b3.9米c4.7米d5.4米72022·杭州如圖，一塊矩形木板abcd斜靠在墻邊ocob，點(diǎn)a，b，c，d，o在同一平面內(nèi)，ab=a，ad=b，bco=x，那么點(diǎn)a到oc的距離等于aasinx+bsinxbacosx+bcosxcasinx+bcosxdacosx+bsinx82022甘肅在abc中，c=90°，tana=，那么cosb=_92022杭州在直角三角形abc中，假設(shè)2ab=ac，那么cosc=_102022天津如圖，海面上一艘船由西向東航行，在a處測(cè)得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)c的仰角為31

13、°，再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)b處，測(cè)得該燈塔的最高點(diǎn)c的仰角為45°，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算這座燈塔的高度cd結(jié)果取整數(shù)參考數(shù)據(jù)：sin31°0.52，cos31°0.86，tan31°0.60112022深圳如下圖，某施工隊(duì)要測(cè)量隧道長(zhǎng)度bc，ad=600米，adbc，施工隊(duì)站在點(diǎn)d處看向b，測(cè)得仰角為45°，再由d走到e處測(cè)量，deac，ed=500米，測(cè)得仰角為53°，求隧道bc長(zhǎng)sin53°，cos53°，tan53°122022河南數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像塑像中高者的高度

14、如下圖，炎帝塑像de在高55m的小山ec上，在a處測(cè)得塑像底部e的仰角為34°，再沿ac方向前進(jìn)21m到達(dá)b處，測(cè)得塑像頂部d的仰角為60°，求炎帝塑像de的高度精確到1m參考數(shù)據(jù)：sin34°0.56，cos34°=0.83，tan34°0.67，1.73132022甘肅為了保證人們上下樓的平安，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制中小學(xué)樓梯寬度的范圍是260mm300mm含300mm，高度的范圍是120mm150mm含150mm如圖是某中學(xué)的樓梯扶手的截面示意圖，測(cè)量結(jié)果如下：ab，cd分別垂直平分踏步ef，gh，各踏步互相平行，ab=cd，a

15、c=900mm，acd=65°，試問(wèn)該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定結(jié)果精確到1mm，參考數(shù)據(jù)：sin65°0.906，cos65°0.423142022江西圖1是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線bao表示固定支架，ao垂直水平桌面oe于點(diǎn)o，點(diǎn)b為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，bc可轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)bc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，投影探頭cd始終垂直于水平桌面oe，經(jīng)測(cè)量：ao=6.8cm，cd=8cm，ab=30cm，bc=35cm結(jié)果精確到0.11如圖2，abc=70°，bcoe填空：bao=_求投影探頭的端點(diǎn)d到桌面oe的距離2如圖3，將1中的bc向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)投影探頭的端

16、點(diǎn)d到桌面oe的距離為6cm時(shí)，求abc的大小參考數(shù)據(jù)：sin70°0.94，cos20°0.94，sin36.8°0.60，cos53.2°0.60152022安徽筒車是我國(guó)古代創(chuàng)造的一種水利灌溉工具如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在?農(nóng)政全書(shū)?中用圖畫描繪了筒車的工作原理如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心o為圓心的圓圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦ab長(zhǎng)為6米，oab=41.3°，假設(shè)點(diǎn)c為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)c，o的連線垂直于ab，求點(diǎn)c到弦ab所在直線的距離參考數(shù)據(jù)：sin41.3°0.66，cos41.3°0.75，tan

17、41.3°0.88162022貴陽(yáng)如下圖是我國(guó)古代城市用以滯洪或分洪系統(tǒng)的局部截面原理圖，圖中op為下水管道口直徑，ob為可繞轉(zhuǎn)軸o自由轉(zhuǎn)動(dòng)的閥門平時(shí)閥門被管道中排出的水沖開(kāi)，可排出城市污水；當(dāng)河水上漲時(shí)，閥門會(huì)因河水壓迫而關(guān)閉，以防河水倒灌入城中假設(shè)閥門的直徑ob=op=100cm，oa為檢修時(shí)閥門開(kāi)啟的位置，且oa=ob1直接寫出閥門被下水道的水沖開(kāi)與被河水關(guān)閉過(guò)程中pob的取值范圍；2為了觀測(cè)水位，當(dāng)下水道的水沖開(kāi)閥門到達(dá)ob位置時(shí)，在點(diǎn)a處測(cè)得俯角cab=67.5°，假設(shè)此時(shí)點(diǎn)b恰好與下水道的水平面齊平，求此時(shí)下水道內(nèi)水的深度結(jié)果保存小數(shù)點(diǎn)后一位=1.41，sin6

18、7.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41變式拓展1【答案】a【解析】在rtabc中，c=90°，ab=3，bc=2，sina=，應(yīng)選a2【答案】a【解析】sin=cos60°=，=30°應(yīng)選a3【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由題意，得，在rt中，又，在rt中，又，米答：、之間的距離為米考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】a【解析】a、sina=，此選項(xiàng)正確；b、sina=，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；c、cosa=，此選

19、項(xiàng)錯(cuò)誤；d、cosa=，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；應(yīng)選a2【答案】d【解析】原式=1=，應(yīng)選d3【答案】a【解析】如圖，cos53°=，ab=，應(yīng)選a4【答案】b【解析】如下圖：，cosa=應(yīng)選b5【答案】a【解析】如圖，由題意得，aobo，ao=ac=5cm，bo=bd=3cm，那么tan=tanoba.應(yīng)選a.6【答案】d【解析】如下圖：連接bd，交ac于點(diǎn)e，由正方形的性質(zhì)可得：bdac，故bd=，ab=，那么sinbac=應(yīng)選d7【答案】b【解析】如下圖，cdab，cd即為斜邊上的高，在rtabc中，c=90°，ab=10，sina=，sina=，即bc=6，根據(jù)勾股定理得：ac

20、=8，sabc=acbc=cdab，cd=48，應(yīng)選b8【答案】b【解析】abc所在的直角三角形的對(duì)邊是3，鄰邊是4，所以，tanabc=應(yīng)選b9【答案】a【解析】堤壩橫斷面迎水坡ab的坡比是1：，bc=40m，ac=40m，ab=80m，應(yīng)選a10【答案】c【解析】記燈塔p的正北方向?yàn)樯渚€pc的方向.根據(jù)題意可知apc=55°，pcab，ap=2海里.pcab，apc=55°，pab=55°.在rtabp中，ap=2海里，pab=55°，ab=ap·cospab=2cos55°海里.應(yīng)選c.11【答案】c【解析】如圖，延長(zhǎng)ca交db

21、延長(zhǎng)線與點(diǎn)e，過(guò)點(diǎn)a作afbe于點(diǎn)f，那么ced=60°，ab的坡比為12.4，那么設(shè)af=5x，bf=12x，ab=3.9米，在直角abf中，由勾股定理知，3.92=25x2+144x2解得x=af=5x=，bf=12x=，ef=，c=ced=60°，cde是等邊三角形，ac=4.5米，de=ce=ac+ae=4.5+米，那么bd=deefbf=4.5+1.766米，答：浮漂d與河堤下端b之間的距離為1.766米應(yīng)選c12【答案】【解析】在rtabc中，c=90°，bc=12，tana=，得，即，ac=5由勾股定理，得ab=所以sinb=，故答案為：13【答案】

22、5【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)a作adbc交于d，設(shè)ad=x，那么bd=2x，ab=2，在abd中，由勾股定理得22=x2+2x2，解得，x1=2，x2=2不符合，舍去，bd=4，同理，在acd中，由勾股定理得，bc=dc+bd=4+1=5，故答案為：514【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)f作ab、cd的垂線，垂足為點(diǎn)g、h，如下圖：設(shè)ag=x m，那么有dh=x m，tan23°=，解得x15.0，ab=x+1.5=16.5電線桿的高度約為16.5 m故答案是：16.515【解析】1連接ac，ac與bd相交于點(diǎn)o，四邊形abcd是菱形，acbd，bo=bd=4，rtboc中，tancbd=，oc=2，a

23、b=bc=2；2aebc，s菱形abcd=bc·ae=bd·ac，ac=2oc=4，2ae=×8×4，ae=，be=，cosabe=16【解析】1如圖，過(guò)點(diǎn)f作fndk于n，過(guò)點(diǎn)e作emfn于mef+fg=166，fg=100，ef=66，fgk=80°，fn=100sin80°98，efg=125°，efm=180°125°10°=45°，fm=66cos45°=46.53，mn=fn+fm144.5，此時(shí)小強(qiáng)頭部e點(diǎn)與地面dk相距約為144.5 cm2如圖，過(guò)點(diǎn)e作epa

24、b于點(diǎn)p，延長(zhǎng)ob交mn于hab=48，o為ab中點(diǎn)，ao=bo=24，em=66sin45°46.53，ph46.53，gn=100cos80°17，cg=15，oh=24+15+17=56，op=ohph=5646.53=9.479.5，他應(yīng)向前9.5cm直通中考1【答案】b【解析】銳角三角函數(shù)計(jì)算，=2×=，應(yīng)選a2【答案】a【解析】為銳角，且sin=，=30°應(yīng)選a3【答案】d【解析】如圖，過(guò)c作cdab于d，那么adc=90°，ac=5sinbac=應(yīng)選d4【答案】a【解析】bca=90°，tanbac=，bc=30m，ta

25、nbac=，解得ac=75，應(yīng)選a5【答案】c【解析】過(guò)作交于，在中，應(yīng)選c6【答案】c【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)o作oeac于點(diǎn)e，延長(zhǎng)bd交oe于點(diǎn)f，設(shè)df=x，tan65°=，of=xtan65°，bf=3+x，tan35°=，of=3+xtan35°，2.1x=0.73+x，x=1.5，of=1.5×2.1=3.15，oe=3.15+1.5=4.654.7，應(yīng)選c7【答案】d【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)a作aeoc于點(diǎn)e，作afob于點(diǎn)f，四邊形abcd是矩形，abc=90°，abc=aec，bco=x，eab=x，fba=x，ab=a，ad

26、=b，fo=fb+bo=acosx+bsinx，應(yīng)選d8【答案】【解析】tana=，a=30°，c=90°，b=60°，cosb=cos60°=故答案為：9【答案】或【解析】假設(shè)b=90°，設(shè)ab=x，那么ac=2x，所以bc=x，所以cosc=；假設(shè)a=90°，設(shè)ab=x，那么ac=2x，所以bc=，所以cosc=；綜上所述，cosc的值為或故答案為：或10【解析】在rtcad中，tancad=，那么ad=cd，在rtcbd中，cbd=45°，bd=cd，ad=ab+bd，cd=cd+30，解得cd=45，答：這座燈塔的高

27、度cd約為45 m11【解析】如圖，在rtabd中，ab=ad=600，作emac于m，那么am=de=500，bm=100，在rtcem中，tan53°=，cm=800，bc=cmbm=800100=700米答：隧道bc長(zhǎng)為700米12【解析】ace=90°，cae=34°，ce=55m，tancae=，ac=82.1m，ab=21m，bc=acab=61.1m，在rtbcd中，tan60°=，cd=bc1.73×61.1105.7m，de=cdec=105.75551m.答：炎帝塑像de的高度約為51m13【解析】如圖，連接bd，作dmab于點(diǎn)m，ab=cd，ab，cd分別垂直平分踏步ef，gh，abcd，ab=cd，四邊形abdc是平行四邊形，c=abd，ac=bd，c=65°，ac=9