2015高考數(shù)學(xué)人教A版本（8-6拋物線）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

1、【走向高考】2015屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8-6拋物線課后強化作業(yè) 新人教A版基礎(chǔ)鞏固強化一、選擇題1(文)(2013·江西吉安模擬)若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y40的距離小2，則點P的軌跡方程為()Ay28xBy28xCx28yDx28y答案C解析由題意知點P到點F(0,2)的距離比它到直線y40的距離小2，因此點P到點F(0,2)的距離與到直線y20的距離相等，故點P的軌跡是以F為焦點，y2為準(zhǔn)線的拋物線，P的軌跡方程為x28y.選C.(理)(2013·東北三校模擬)已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P

2、3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|·|FP3|答案C解析拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由定義得|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，則|FP1|FP3|x1x3x1x3p,2|FP2|2x2p，由2x2x1x3，得2|FP2|FP1|FP3|，故選C.2(文)拋物線y28x的焦點到雙曲線1的漸近線的距離為()A1 B.C.D.答案A解析拋物線y28x的焦點F(2,0)到雙曲線1的漸近線y±x的距離d1.(理)設(shè)橢圓1(m>0，

3、n>0)的右焦點與拋物線y28x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析拋物線y28x的焦點F(2,0)，由條件得故選B.3設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析設(shè)圓的半徑為r，因為F(0,2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程y2.圓與準(zhǔn)線相切時半徑為4.若圓與準(zhǔn)線相交則r>4.又因為點M(x0，y0)為拋物線x28y上一點，所以有x8y0.又點M(x0，y0)在圓x2(y2)2r2上所以x(y0

4、2)2r2>16，所以8y0(y02)2>16，即有y4y012>0，解得y0>2或y0<6(舍)，y0>2.故選C.4(2013·安徽省級示范高中聯(lián)考)設(shè)O是坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線y24x的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正方向的夾角為60°，則OAF的面積為()A.B2C.D1答案C解析由題意知，F(xiàn)(1,0)，過A作ADx軸于D.令|FD|m，則|FA|2m，由拋物線的定義知|AF|p|FD|2m2m，即m2，所以|AD|2，SOAF|OF|·|AD|×1×2.5(文)已知拋物線y22px(p>0)的

5、準(zhǔn)線與曲線x2y26x70相切，則p的值為()A2B1C.D.答案A解析拋物線y22px的準(zhǔn)線方程是x，曲線x2y26x70，即(x3)2y216是圓心為(3,0)，半徑為4的圓，依題意有|3|4.因為p>0，所以有34，解得p2，故選A.(理)設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A為拋物線上一點，若·4，則點A的坐標(biāo)為()A(2，±2) B(1，±2)C(1,2) D(2,2)答案B解析設(shè)點A的坐標(biāo)為(x0，y0)，y4x0又F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，·4，x0xy4，解組成的方程組得或點評向量與解析幾何相結(jié)合，向量往

6、往要化為坐標(biāo)的形式6(文)(2013·武漢市部分學(xué)校聯(lián)考)過拋物線y24x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們到直線x2的距離之和等于7，則這樣的直線()A有且僅有一條 B有且僅有兩條C有無窮多條 D不存在答案B解析拋物線y24x的通徑(過焦點垂直于對稱軸的線段)長為4，由拋物線的定義及題設(shè)條件知，|AB|725>4，故這樣的直線有且僅有兩條(理)已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，P是拋物線y24x上一動點，則點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A2 B3C.D.答案A解析直線l2：x1為拋物線y24x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于

7、P到拋物線的焦點F(1,0)的距離，故本題化為在拋物線y24x上找一個點P，使得P到點F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x3y60的距離，即dmin2，故選A.二、填空題7(2013·遼寧大連一模)已知直線l與拋物線y28x交于A，B兩點，且l經(jīng)過拋物線的焦點F，A點的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是_答案解析由y28x知2p8，p4，則點F的坐標(biāo)為(2,0)由題設(shè)可知，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為yk(x2)，點A，B的坐標(biāo)分別為(8,8)，(xB，yB)又點A(8,8)在直線l上，8k(82)，解得k.直線l的方程為y(x2

8、)將代入y28x，整理得2x217x80，則8xB，xB.線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離是2.解法探究求得xB后，進一步可得yB2，|AB|.AB的中點到準(zhǔn)線距離d(|AF|BF|)|AB|.8(2013·甘肅天水調(diào)研)已知P為拋物線yx2上的動點，點P在x軸上的射影為M，點A的坐標(biāo)是(2,0)，則|PA|PM|的最小值是_答案1解析如圖，拋物線yx2，即x24y的焦點F(0,1)，記點P在拋物線的準(zhǔn)線l：y1上的射影為P，根據(jù)拋物線的定義知，|PP|PF|，則|PP|PA|PF|PA|AF|.所以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min1.9(文)已知拋物線型拱橋的頂點距離水

9、面2m時，測量水面寬為8m，當(dāng)水面上升m后，水面的寬度是_m.答案4解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)開始時水面與拋物線的一個交點為A，由題意可知A(4，2)，故可求得拋物線的方程為yx2，設(shè)水面上升后交點為B，則點B的縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程yx2可求出B點的橫坐標(biāo)為2，所以水面寬為4m.(理)(2012·陜西理，13)下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m，水位下降1m后，水面寬_m.答案2解析本題考查了拋物線方程在實際問題中的應(yīng)用如圖建立坐標(biāo)系設(shè)方程x22py(p>0)，由題意知點(2，2)在拋物線上，可得p1，則方程為x22y，當(dāng)y3時，x±

10、，所以水面寬2m.點評拋物線方程在實際問題中的應(yīng)用，關(guān)鍵是合理建立平面直角坐標(biāo)系，還要注意數(shù)據(jù)的實際意義三、解答題10(2013·長春三校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，點M(2，)，點F在拋物線C：ymx2(m>0)的焦點，線段MF恰被拋物線C平分(1)求m的值；(2)過點M作直線l交拋物線C于A、B兩點，設(shè)直線FA、FM、FB的斜率分別為k1、k2、k3，問k1、k2、k3能否成公差不為零的等差數(shù)列？若能，求直線l的方程；若不能，請說明理由解析(1)由題得拋物線C的焦點F的坐標(biāo)為(0，)，線段MF的中點N(1，)在拋物線C上，m,8m22m10，m(m舍去)(2)由(1)知拋物

11、線C：x24y，F(xiàn)(0,1)設(shè)直線l的方程為yk(x2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得x24kx8k20，16k24(8k2)>0，k<或k>.假設(shè)k1、k2、k3能成公差不為零的等差數(shù)列，則k1k32k2.而k1k3，k2，8k210k30，解得k(符合題意)或k(不合題意，舍去)直線l的方程為y(x2)，即x2y10.k1、k2、k3能成公差不為零的等差數(shù)列，此時直線l的方程為x2y10.能力拓展提升一、選擇題11(文)若拋物線y24x的焦點是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過點F、M(4,4)且與l相切的圓共有()A0個 B1個C2個 D3個答案C解析經(jīng)過F、M的圓的圓心

12、在線段FM的垂直平分線上，設(shè)圓心為C，則|CF|CM|，又圓C與l相切，所以C到l距離等于|CF|，從而C在拋物線y24x上故圓心為FM的垂直平分線與拋物線的交點，顯然有兩個交點，所以共有兩個圓(理)將兩個頂點在拋物線y22px(p>0)上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則()An0 Bn1Cn2 Dn3答案C解析設(shè)拋物線上點A(，y1)，B(，y2)，且y1y2，焦點F(，0)，由|AF|BF|得，(yy)()0，y1y2，y1y2.A、B關(guān)于x軸對稱過點F作直線y(x)，y(x)分別與拋物線有2個交點等邊三角形有AFB和AFB，2個，故選C.12(2013·

13、鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)過拋物線y28x的焦點F作傾斜角為135°的直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的長為()A4B8C12 D16答案D解析拋物線y28x的焦點F的坐標(biāo)為(2,0)，直線AB的傾斜角為135°，故直線AB的方程為yx2，代入拋物線方程y28x，得x212x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦AB的長|AB|x1x2412416.13(2013·烏魯木齊第一次診斷)設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y21的兩條漸近線和拋物線y28x的準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部)若點(x，y)D，則xy的最小值為()A1 B0C1D3答案B解析由題意知，雙曲線的

14、漸近線方程為y±x，拋物線的準(zhǔn)線方程為x2，設(shè)zxy，得yxz，平移直線yx過點O(0,0)時，直線yxz的縱截距最小，故zmin0.二、填空題14(文)已知點A(2,0)、B(4,0)，動點P在拋物線y24x上運動，則·取得最小值時的點P的坐標(biāo)是_答案(0,0)解析設(shè)P，則，·y2y288，當(dāng)且僅當(dāng)y0時取等號，此時點P的坐標(biāo)為(0,0)(理)已知拋物線y22px(p>0)上一點M(1，m)(m>0)到其焦點的距離為5，雙曲線y21的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值是_答案解析根據(jù)拋物線定義可得，拋物線準(zhǔn)線方程為x4，則拋

15、物線方程為y216x.把M(1，m)代入y216x得m4，即M(1,4)在雙曲線y21中，A(，0)，則kAM.解得a.15(2013·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)拋物線x212y的焦點為F，經(jīng)過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A，B兩點，又知點P恰為AB的中點，則|AF|BF|_.答案8解析分別過點A，B，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，Q，根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準(zhǔn)線的距離，得|AF|BF|AM|BN|2|PQ|8.三、解答題16(文)若橢圓C1：1(0<b<2)的離心率等于，拋物線C2：x22py(p>0)的焦點在橢圓C1的頂點上(1)求拋物線C2的方

16、程；(2)若過M(1,0)的直線l與拋物線C2交于E、F兩點，又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2，當(dāng)l1l2時，求直線l的方程解析(1)已知橢圓的長半軸長為a2，半焦距c，由離心率e得，b21.橢圓的上頂點為(0,1)，即拋物線的焦點為(0,1)，p2，拋物線的方程為x24y.(2)由題知直線l的斜率存在且不為零，則可設(shè)直線l的方程為yk(x1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，yx2，yx，切線l1、l2的斜率分別為x1、x2，當(dāng)l1l2時，x1·x21，即x1·x24，由得x24kx4k0，由(4k)24×(4k)>0，解得k<1或k>

17、;0.又x1·x24k4，得k1.直線l的方程為yx1.(理)已知點C(1,0)，點A、B是O：x2y29上任意兩個不同的點，且滿足·0，設(shè)P為弦AB的中點(1)求點P的軌跡T的方程；(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點：它到直線x1的距離恰好等于到點C的距離？若存在，求出這樣的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解析(1)法一：連接CP，由·0知，ACBC，|CP|AP|BP|AB|，由垂徑定理知|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，設(shè)點P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化簡得，x2xy24.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

18、P(x，y)，根據(jù)題意知，xy9，xy9,2xx1x2,2yy1y2，4x2x2x1x2x，4y2y2y1y2y，故4x24y2(xy)(2x1x22y1y2)(xy)182(x1x2y1y2)，又·0，(1x1，y1)·(1x2，y2)0，(1x1)×(1x2)y1y20，故x1x2y1y2(x1x2)12x1，代入式得，4x24y2182(2x1)，化簡得，x2xy24.(2)根據(jù)拋物線的定義，到直線x1的距離等于到點C(1,0)的距離的點都在拋物線y22px上，其中1，p2，故拋物線方程為y24x，由方程組得，x23x40，解得x11，x24，由于x0，故取

19、x1，此時y±2，故滿足條件的點存在，其坐標(biāo)為(1，2)和(1,2)考綱要求1理解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡單應(yīng)用補充說明1由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同形式，故求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，一定要注意區(qū)分焦點在哪個軸上加以討論抓準(zhǔn)拋物線的開口方向及p的幾何意義是準(zhǔn)確迅速求解的關(guān)鍵2拋物線的焦點弦涉及拋物線的焦半徑或焦點弦的問題，?？紤]應(yīng)用定義求解(1)若拋物線y22px(p>0)的焦點弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有如下結(jié)論：|AB|x1x2p；y1y2p2；x1x2.(2)直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點F時，常設(shè)l：xmy以簡化運算3韋達定理的應(yīng)用涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，以避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算4關(guān)于拋物線的最值問題(1)A為拋物線弧內(nèi)一定點，F(xiàn)為焦點，P為拋物線上任一點，求|PA|PF|的最小值問題常用定義轉(zhuǎn)化，由A向拋物線的準(zhǔn)線作垂線與拋物線的交點為取到最小值的P點(2)直線l與拋物線無公共點，求拋物線上的點到l的最小值問題，一般可設(shè)出拋物線上的點，用點到直線距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，或設(shè)出與l平行且與拋物線相切的直線，轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離，后者更簡便