北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑(三)

1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑（三）例8設(shè)思路啟迪利用三角函數(shù)的關(guān)系，將secx寫成，再利用商的求導(dǎo)法則及cosx的導(dǎo)數(shù)公式即可求出規(guī)范解法由上例得類似地可得例9設(shè)規(guī)范解法 ysin2x2sinxcosx由法則2得從上面的例子可以看出，ysin2x是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，它由兩個(gè)函數(shù)ysinu與u2x復(fù)合而成，sin2x的導(dǎo)數(shù)是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的導(dǎo)數(shù)與sinu的導(dǎo)數(shù)和u2x的導(dǎo)數(shù)是什么關(guān)系呢？由于，而，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)中間變量u的導(dǎo)數(shù)再乘以中間變量u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)一般地，我們有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（4）法則（4）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，函數(shù)yf（u）在其對(duì)應(yīng)點(diǎn)也可導(dǎo)，則復(fù)

2、合函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)再乘以中間變量對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)即：證明：設(shè)自變量x有增量x（x0）時(shí)，中間變量u和函數(shù)y分別有相應(yīng)增量u與y，由于在x處可導(dǎo)，從而連續(xù)，即有重復(fù)應(yīng)用法則（4），我們可以把復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則推廣到多次（有限次）復(fù)合的情形，如設(shè)注：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，首先要把復(fù)合函數(shù)進(jìn)行“分解”，即找出它是由哪幾個(gè)“簡(jiǎn)單函數(shù)”復(fù)合而成這里的“簡(jiǎn)單函數(shù)”是指基本初等函數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)基本公式中都是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而多項(xiàng)式函數(shù)是冪函數(shù)的線性組合，其導(dǎo)數(shù)也易求然后再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式即可如果“分解”得不徹底，即“分解”出來(lái)的函數(shù)不是基本初等

3、函數(shù)或“多項(xiàng)式”函數(shù)，則在利用法則和公式時(shí)就要出現(xiàn)錯(cuò)誤例10思路啟迪該函數(shù)可以分解成兩個(gè)函數(shù)，對(duì)于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可利用公式只要正確運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及相應(yīng)公式即可規(guī)范解法設(shè)u4x1,則可看作是由復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得：例11規(guī)范解法設(shè)ucosx,則可看作是由與ucosx復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得例12思路啟迪函數(shù)ysinlnx是由函數(shù)ysinu與ulnx復(fù)合構(gòu)成這里寫出中間變量u只是為了初學(xué)者正確使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，其實(shí)，在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則運(yùn)用熟練以后，中間變量就不必再寫出來(lái)，但復(fù)合關(guān)系一定要清楚，并且心中記住復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的過(guò)程規(guī)范解法例13思路啟迪函數(shù)規(guī)范解法例14思

4、路啟迪該函數(shù)是由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，先求y對(duì)u即對(duì)求導(dǎo)，再乘以u(píng)即對(duì)x的導(dǎo)數(shù)思路啟迪利用恒等式將寫成，則可看用由與兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成求由多個(gè)函數(shù)經(jīng)多次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，就要多次地應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則分析上例，怎樣逐次地應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則呢？應(yīng)先對(duì)給定的函數(shù)進(jìn)行分析，當(dāng)取什么函數(shù)作為中間變量（不必寫出，心中清楚）時(shí)，給定的函數(shù)對(duì)此中間變量求導(dǎo)并利用導(dǎo)數(shù)公式本例是把看作中間變量，給定的函數(shù)就可應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有：這時(shí)中間變量仍是變量x的復(fù)合函數(shù)，重復(fù)剛才所說(shuō)的方法，本例是把看作中間變量，可利用正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有：逐次地作

5、下去，直至最后一個(gè)中間變量對(duì)x求導(dǎo)數(shù)為止（本例最后一個(gè)中間變量即為）從上面分析看到，要逐次地應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，關(guān)鍵在于選擇中間變量，選擇的原則是某個(gè)函數(shù)做中間變量時(shí)，給定的函數(shù)變可應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式思路啟迪可看作復(fù)合而成，而是由x與兩個(gè)函數(shù)的和所構(gòu)成，可看作是與復(fù)合而成規(guī)范解法思路啟迪由于x0與x0時(shí)函數(shù)的結(jié)構(gòu)不相同，因此須用導(dǎo)數(shù)定義求解法注：一般情況求分段函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可以按照以下步驟來(lái)完成若函數(shù)在各段開(kāi)區(qū)間為可導(dǎo)，應(yīng)分別求出它在各區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)判斷分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性（）若函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則它在點(diǎn)不可導(dǎo)（）若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，按分段點(diǎn)左、右側(cè)的不同解析式分別求出其左、右導(dǎo)數(shù)當(dāng)左、右導(dǎo)數(shù)存在并且相等時(shí)，則

6、函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)；當(dāng)左、右導(dǎo)數(shù)存在，但不相等；或其中至少有一個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在，則在點(diǎn)就不可導(dǎo)例23證明可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶數(shù)并對(duì)這個(gè)事實(shí)加以幾何解釋思路啟迪要證明一個(gè)函數(shù)是奇數(shù)，需證明，有f（x）f（x）,而要證明一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，需證明f（x）f（x）規(guī)范證法設(shè)f（x）為偶函數(shù)，則對(duì)xR有f（x）f（x），同理可證：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)這個(gè)事實(shí)說(shuō)明：凡對(duì)稱于Oy軸的圖形，其對(duì)稱點(diǎn)的切線也關(guān)于Oy軸對(duì)稱；凡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，其對(duì)稱點(diǎn)的切線相互平行思路啟迪是由sinnx與兩個(gè)函數(shù)所構(gòu)成；而是由sinu與unx復(fù)合而成；是由與復(fù)合而成規(guī)范解法例25設(shè)函數(shù)討論：

7、（1）n取何值時(shí)，f（x）在x0連續(xù)。（2）n取何值時(shí)，f（x）在x0可導(dǎo)思路啟迪要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)連續(xù)，需使要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)可導(dǎo)，需使極限存在，只要能緊扣函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)的這兩個(gè)定義，本題將會(huì)迎刃而解此極限當(dāng)n1>0時(shí)存在，因此n2時(shí)，f（x）在x0可導(dǎo)，此時(shí)，可以看出，反函數(shù)xlny對(duì)y的導(dǎo)數(shù)，等于直接函數(shù)對(duì)于x的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)；反之亦然一般地，我們有（反函數(shù)求導(dǎo)法則）法則（5）若函數(shù)yf（x）在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，且，則它的反函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)上也有導(dǎo)數(shù)，且證明：設(shè)x有增量x0，相應(yīng)地y的增量為y（y0）,由于yf（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，從而連續(xù)因此故有例26求yarcsinx的導(dǎo)數(shù)同理可得：思路

8、啟迪函數(shù)可以看作yarccotu與兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成借助復(fù)合函數(shù)數(shù)求導(dǎo)法則及前面的公式即可求出前面，我們不僅把所有的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（作為我們的公式）都求了出來(lái)，而且還給出了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，因此，現(xiàn)在我們可以說(shuō)：一切初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題均已解決事實(shí)上，根據(jù)初等函數(shù)的定義，初等函數(shù)是可用一個(gè)式子表示的，而這個(gè)式子是由基本初等函數(shù)（常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)）經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次復(fù)合而構(gòu)成的，所以任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以利用基本公式和上述求導(dǎo)法則求出來(lái)因此，前面給出的公式和求導(dǎo)法則，對(duì)于求導(dǎo)運(yùn)算是非常重要的，我們必須熟練掌握，并能熟練運(yùn)用為了便于查閱和記憶，現(xiàn)將這些公式和求導(dǎo)法則歸納如下導(dǎo)數(shù)的基本公式：求導(dǎo)法則：求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算稱為微分法，它是微積分學(xué)最基本運(yùn)