導(dǎo)數(shù)系列：一類以自然指數(shù)對數(shù)為背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題解法教師版

1、一類以自然指數(shù)和對數(shù)為背景的壓軸題解法注：本文以目前數(shù)學(xué)成績在一本線上下的學(xué)子的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)，進(jìn)行展開講解。根據(jù)“遺傳學(xué)規(guī)律”明年全國乙卷再次考到的可能性極大，打出來給學(xué)生將保準(zhǔn)學(xué)生橫掃此 類壓軸題！源于課本：1-1課本99頁B組1題或課本2-2第32頁B組1題的習(xí)題：利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證：ex 1 x ；【探究拓展】探究1:證明不等式ex變式1:設(shè)f (x) ea，其中aR,若對于任意xR，f(x) 0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是變式2：設(shè)f (x)exax1，其中aR，若對于任意x R，f(x) 0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是變式 3：設(shè) f (x) ae&

2、quot; x1，其中aR，若對于任意x R， f (x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是x *有哪些等價變形并在坐標(biāo)系中畫圖?點評：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦變形1：e X1 x變形2：x e1xx 11變形3：ln(1x) x(x1)變形4：In xx 1(x0)*變形5：In1xx 1(x0)變形6：ln x11(x0)探究x2:不等式ex 1歸一：我們只要通過畫圖并記住 ex 1 x*, 1 nx x 1( x 0) *即可，考試出現(xiàn)了其它變形換元轉(zhuǎn)化為這2個不等式即可。探究3:觀察：“插中”不等式（當(dāng)然是我編的名字）變形4: Inxx 1(x0) *變形6: Inx111(

3、x0)*x兩式相加除以12，試比較：左邊In X還是右邊 （X2丄）的大小并證明:x結(jié)論：“插中”不等式*：若0 x 1,則lnx 111-.;若 x 1,則 In X -x2請在坐標(biāo)系中畫出圖像：這個圖像很漂亮，容易記住。點評：數(shù)學(xué)很美，插中不等式很明顯是加強(qiáng)，更加精準(zhǔn)了，在高考中經(jīng)?？嫉剑罂纯偨Y(jié)：ex 1 X *, In X X 1（x 0） *“插中”不等式*，以上三式都是將自然指數(shù)和對數(shù)放縮為我們更加熟悉的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)進(jìn)行放縮處理。題型一：化歸為指數(shù)型ex 1 x放縮例1 （2010年全國）設(shè)函數(shù) f Xex 1 x2ax o（ 1）若a 0，求fx的單調(diào)區(qū)間；（2）若x

4、 0時f x 0，求a的取值范圍。（提示：ex x解：（1）a 0時，f（x）1 x，f'(x)當(dāng)x (,0)時,f'（X）0 ;當(dāng)x（0,）時，f'（x）0 .故 f （x）在（，0）單調(diào)減少，在（0,）單調(diào)若f （x） > 0對任意的X R恒成立，求實數(shù)a的值;增加(2) f'(x) ex由（I）知ex當(dāng)且僅當(dāng)x 0時等號成立.故f '(x)x 2ax (12a)x，練習(xí)練習(xí)練習(xí)1從而當(dāng)1 2a 0，即a 一時,2于是當(dāng)故當(dāng)X綜合得x 0時，f（X）0.ex 1 x(x 0)可得 e xXXf '(X) e 1 2a(ef '(

5、X)0(X 0)，而 f (0)0 ,(0,ln 2a)時，f'(x)0 ,a的取值范圍為（丄.21 : ( 2012年全國)若 f Xx222 :（ 2013年全國）1)已知函數(shù) fax b,求 a已知函數(shù) f3：（2016年廣一模）已知函數(shù)0, f 0處的切線斜率為1,模也有用到）練習(xí)4 :已知函數(shù)f（x） ex求函數(shù)f（x）的最小值;x(x 0).從而當(dāng)a -時,2e x(ex 1)(ex 2a),f(0)0 ，于是當(dāng)X (0,ln 2a)時，f(x) 0.b的最大值。求實數(shù)m（很簡單,InexX2 , （ 1 ）求f X的解析式及單調(diào)區(qū)間;2省略）3X ,g X In X 12

6、。的值。2）當(dāng)m 1時，證明:ax 1（a0,e為自然對數(shù)的底數(shù)）.X 0.（很簡單，省略）1）若曲線y f X在點3g X X。(2016 年廣二12在的條件下，證明：(一)n ()nnnn 1 n,n、ne，卄，N*).()(n)冷其中n解：()由題意 a 0, f (x) eX a，由 f (x) eX a 0 得 x ln a.當(dāng) X ( ,lna)時，f(X)0 ；當(dāng) X (ln a,)時，f (x)0. f (X)在(，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a,)單調(diào)遞增.即f(X)在x In a處取得極小值，且為最小值,其最小值為 f(ln a) elna alna 1 a alna 1

7、.(2) f (X)>0對任意的X R恒成立，即在X R 上, f (X)min0 .由(1)，設(shè) g(a) a al na 1.,所以 g(a)> 0.由 g (a)1 ln a 1 ln a 0 得 a 1. g(a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減, g(a)在a 1處取得極大值g(l) 0.因此g(a)>0的解為a 1 , a 1.(3)由(2)知，因為a 1，所以對任意實數(shù) X均有kn. (1$nnk(n N*, k 0,1,2,3,n 1)，則 01n(1)nn(2)nn練習(xí)5:已知函數(shù)f (X)= eaX< e(n1) e(n 2).

8、n1 e 111 e 1 eX，其中az 0.(1)若對一切X R, f(X) > 1恒成立，求a的取值集合.X2)，記直線AB勺斜率為K,問：是(2)在函數(shù)f(X)的圖像上取定兩點 A(X1, f(X1) , B(X2, f (X2) (X1否存在xo( xi,X2),使f (Xo) k成立？若存在，求Xo的取值范圍；若不存在，請說明理由0,a 0 ,則對一切 X 0， f(X)ax eX 1，這與題設(shè)矛盾，又a 0，故a0.而f(x)1aeax 1,令 f (x) 0,得X-Ina當(dāng)Xhn1-時，f(x)0, f (x)單調(diào)遞減；aa時，1f (X)取最小值f(1 1、11,1In

9、)-1 n aa a a a于是對一切X R, f(X)1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)【答案】(1)若1a1當(dāng)X1 In丄時，f(X)0, f (X)單調(diào)遞增，故當(dāng)X丄Ina1 1 In1.a a令 g(t)t t In t,則 g (t) In t.1時，g (t)0, g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)g (t)0, g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t1時，g(t)取最大值g(1)1.因此,當(dāng)且僅當(dāng)1即a 1時，式成立.綜上所述，a的取值集合為 1 .(2)由題意知,f(X2)f (X1)eax2X2X1X2X1令(X)f (X)axaeaaXe eX>X1(X1)ax1e 1ea(x2 GX2 X1a(X2令 F(t

10、) ett 1，則 F (t)et1.當(dāng)t 0時，F(xiàn)(t)0,F(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t 0時,F(t)0,F(t)單調(diào)遞增故當(dāng)t 0，F(xiàn)(t)F(0)0,即 et t 1 0.從而 ea(X2a(x2x1)10，ea(X1aX2)1C Fc0, 乂0,X2X1所以(X1)0, (X2)0.X2X2X1aG X2)a(X1(X2)X2)1 .因為函數(shù)y （X）在區(qū)間Xi,X2上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在X0 （Xi,X2）使(X0)0,(X) a2eax0,1eax2 eax1（X）單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且 c -In故當(dāng)且僅當(dāng)aa（x2 x1）4aax2 歹X (丄1n ,X2

11、)時,ax2ax1aa(X2 X1)f (Xo) k.ax2ax1練習(xí)4: （2012年山東）已知函數(shù)f X In X k曲線y f X在點1,f 1處的切線與X軸平行。1）求k的值；2 ）求fX的單調(diào)區(qū)間；3）設(shè)X2X f'X,其中 f'X為f X的導(dǎo)函數(shù)，證明:對任意X 0, g（X）21 e 。（答案略）例2、（2011年湖北）已知函數(shù)f X In X1,X0,.求函數(shù)的最大值;2)設(shè) ak,bk k 1,2,., n均為正數(shù)，證明：若a1b1a2b2.an bnblb2.bn，貝y 晶；2.©1 (提示：In X X 1)解：（1）f（X）的定義域為（0,），

12、令 f/（X）f（X）在（0,1）上遞增，在（1,）上遞減，故函數(shù)f(X)在 X1處取得最大值f(1) 0（2）由（I）知當(dāng)X (0,)時有 f(X) f(1)0 即 In Xak , bk0，bkInakbk(ak 1),(k1,2,L n)n.bkIn akk 1nbk(akk 11)nnakbkbkk 1k 1nInak 10即 In(a?a2L a!)0a? a22 L a1練習(xí)1: （2006年全國）函數(shù)f若對所有的X 1都有f X ax成立，求實數(shù)a的1 e e綜上所述，存在X0 （X,X2）使f（X0） k成立.且X0的取值范圍為（一In,X2）.a a（x2 X）【點評】本題考

13、查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出f （X）取最小值論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法11111f（In） In對一切x R, f（x） 1恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）min1，從而得出a的取值集合；第a a a a a二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷.取值范圍。（很簡單，省略）練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)(X 1)ln x x 1.f x ag x恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。（很簡單,省略）(1)若 xf '(X)2x ax1，求a的取值范圍;（2）證明：

14、（x1)f(x)解: (I) f (x)1In x 1 In x -xf(x)xln X1,題設(shè)xf(x)2x ax1等價于Inx x a .令 g(x)Inx x，則 g (x)1 1x當(dāng) Ov x<1 ,g (x)> 0 ；當(dāng) x>1 時，g(x)wO, x 1 是 g(x)的最大值點,口 g(x)w g(1)1綜上，a的取值范圍是1,(n )有(I)知，g(x)< g(1)1 即 In x x 1<0.x 1)< 0 ；當(dāng) O<x<1 時，f(x) (x 1)lnx x 1 xlnx (Inx當(dāng)x>1時,f (x) In x(xIn

15、xx1)In xx(I n x11)xIn x1 x(In 11)xx> 0練習(xí)3: （2014年陜西）設(shè)函數(shù)fIn 1 x ,g xxf' x ,x 0,其中f ' X是f x的導(dǎo)函數(shù)。若練習(xí)4: （2011浙江理22,替換構(gòu)造）已知函數(shù)f(x) 2aIn(1X) x(a0).2（2）若f （X）0恒成立，試確定實數(shù) k的取值范圍。求f（X）的單調(diào)區(qū)間和極值;求證：4lg elgeTlgeVlge1(1 n)nlge nn"(n 1)(nN ).解：定義域為1,f'（X）2a1 X1.令 f '（X）0X 2a，令 f '（X）0 X

16、2a故f（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為1,2af（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為2a1,f （X）的極大值為2a In 2a2a 1證明:要證4lglgevlgelge1(n)n lge"(n 1)即證4即證112121313(1 n)nlge (nlg e3 ln( n1)，1) (1即證4由可知f(X)在(0,）上遞減，故即 ln(1 x) X ,令累加得,ln(n1)ln(1-)n12n13法二:(1ln(11-(n n12丄)nn3 ln( n)，故 ln(1(11)1 n Q0 -)=Cn nC11Cn nCn2An練習(xí)5:已知函數(shù)f（X）ln( X1)k(X（1）求函數(shù)f（X）的極值點。I

17、n(1 nI1 e£(n 1)f(X)f(0)1-)nn 1lnnln(n1)ln1n丄)nn(1n)n，得證丄2!丄3!丄n!1)3，其余相同證法1.In 475解：f (x)的定義域為(1,f/(x)In nn211(n 4)(n 1) (n N,n 1).0，則f(x)在(1,+s)上是增函數(shù)。f (x)在(1, +8)上無極值點.當(dāng)k 0時，令f/(x)0，則x所以當(dāng)x (1,1丄)時,kf/(x) f(x)在(1,11-)上是增函數(shù),k)時，f/(x)1Fl f(x)在(1)上是減函數(shù)。 x 11 時,kf (x)取得極大值。綜上可知，當(dāng)k0時，f(x)無極值點;當(dāng)k 0時

18、，f (x)有唯一極值點x由(1)可知，當(dāng)k 0時，f (2)f(x)0不成立.故只需考慮k 0.由(1)知,1f(x)max f(1 I)In k若 f(x)0恒成立，只需f (x)max化簡得:丄)k,+s).f(1In k0即可,k 1,所以k的取值范圍是1(3)由(2)知,當(dāng)k 1時理解得：lnxX 1,x1.1 (n 1)( n2n 1)(n 1)(n1)2.In nn1 2 n13In 2In 3In 438151(3 n1)321(n(n1)3 n- In n3N,n 1)昨 1(3 4 5n2 13(n 4)( n 1)' 八(n N,n 1)n 1)練習(xí)6:已知函數(shù)f

19、(x) In(X 1)k(x 1) 1.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若f(X) < 0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍;證明：當(dāng)X 2時，In(x 1)n(n 1)(n N*,n 1).解：函數(shù)的定義域為 (1,) 中,1f(X)蘆 k.當(dāng)k w 0時，f (X) 0，則f (X)在(1,)上是增函數(shù).1 1當(dāng)k 0時，f(x)在(1,1 -)上是增函數(shù)，在(1 -,)上是減函數(shù).由知，當(dāng)k w 0時，f (x)在(1,)上是增函數(shù).而f(2)1 k 0 , f(X) w 0不成立.1當(dāng)k 0時，由知ymax f(1 -) Ink，要使f(x) w 0恒成立，則Ink w 0，解得k >

20、; 1.k由知當(dāng)k 1時，有f (x)在(1,)上恒成立，且f (X)在(2,)是減函數(shù).又 f(2)0 ,當(dāng) X 2 時，f(x) f (2)0，即 ln(x 1) x 2.令x2 21 n ,則 In n2n 1,即 2Inn (nIn 23In 34In 4 L5In nn 11232 2 2八/ 八In n n 11)(n 1)，從而一- n 12L 口皿成立.2例3、(2010湖北)已知函數(shù)(x) ax0)的圖象在點(1, f (1)處的切線方程為y X 1.用a表示出b、c；若f (x)> In x在1,)上恒成立，求a的取值范圍;1 1證明：1 1 123解：本題主要考察函

21、數(shù)、力和分類討論的思想。同事考察綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能1n-In(n 1)(n 1).n2(n 1)導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識, f '(X)f(1) f (1)由知,f (x) ax0，解得2a令 g(x)f (x) In XL 1Xa 1ax X2a ,1 2aIn X , X1,則 g(1)0,a(x 1)(x )g (x)a2 xx2 2 xx當(dāng)0a11 a12，a若1x1 a，則g'(x)0, g(x)是減函數(shù)，所以af(x)Inx，故f(x)Inx在1,上恒不成立。- 11 aa 時,-12a若 f(x)In x ,故當(dāng)x 1 時，f(x) In x。1g(x) g(i) o所求a的取值范圍為綜上所述,a 1ax2 x (a12,1當(dāng)a 2時，有f(x)In x