初中數(shù)學(xué)-經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”

1、經(jīng)典幾何模型之阿氏圓經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”段廉潔一.模型名稱由來【模型背景】“"+A-P8”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)£ 值為1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“P.4+P6”之和垠短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模 型來處理,即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。而當(dāng)A取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以 常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題,則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通 常以動(dòng)點(diǎn)。所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點(diǎn)尸在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P 在BI上運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題：點(diǎn)。在圓周上運(yùn) 動(dòng)的類型稱之為“阿氏0r問題。【模型由來】“阿氏

2、圓” 乂稱“阿波羅尼斯園“，己知平面上兩點(diǎn)4、B,則所有滿 足尺4=A-P5 aH1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅 尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。二模型建立如圖1所示，OO的半徑為八點(diǎn)力、8都在。外，P為OO上一動(dòng)點(diǎn),己知9 08. 連接口、08則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，。點(diǎn)的位置如何確定？模型解讀：最早見“PA+PB”型問題應(yīng)該是在“將軍飲馬”問題中，而本題多了一個(gè)“小， 故如何確定&T的大小是關(guān)鍵，如圖3在線段03上截取06?使OCMr,則可說 明8PO與PCO相似，即故本題求歹的最小值可以轉(zhuǎn)化為 的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，。為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)4 P、C三點(diǎn)共線時(shí)， “Q

3、4+PC”值最小。如圖3M二蘭娑師初中級(jí)宇。工16225圖3三“阿氏圓”模型破解策略【破解策咯詳細(xì)步源解析】第一步，連接動(dòng)點(diǎn)于回心。（一般將含行人的線段兩端點(diǎn)分別與圓心。相連）.即連 接。夕.OPi第二步X計(jì)厚出線段。與。"及。夕與的線段比,找到線段比為A的情況.如何 子中的絲=人OB第三步：在08上取點(diǎn)G使得務(wù)=篙：（橫心關(guān)鍵步源）第四步，連接與。o的交點(diǎn)即為點(diǎn)。【核心步驟另單獨(dú)解析】回顧圖2,在06上取點(diǎn)C構(gòu)建會(huì)=的目的是為了形成“母子型相似模型：“國 OP 0B子型相似”的構(gòu)建是“阿氏圓”模型破解的“核武器”，“母子型相似” 一出，“阿氏圓” 直接秒殺。將圖2中BP0單獨(dú)提取出

4、.如圖4,上色渲染的/（。-加刈，就是“母子型相似模型”，“母了型相似模型”的籽點(diǎn)如圖4. APCO與Zk6P<9有公共用NO,且竺=絲（在OP 0B某些角度處理策略題中，“母子型相似”的主要特征是N0=/。、NFN0PC）蘭3師初卬數(shù)學(xué)豺究會(huì)45m1電”（構(gòu)造的點(diǎn)）（構(gòu)造出PCOs2po后可以得到把="，進(jìn)而推出op'cor,即“半徑的平 OP OB方，原有峨段X構(gòu)造線段”確定C的位置后，連接4C,求出/C長(zhǎng)度“阿氏圓”即可破解）四.“阿氏BT典型例題講解例h如圖L在RtZ4A中，ZACR9Qb , C=4, C4=6©C半徑為2.。為圓上一動(dòng)圖1圖2CP1

5、CPI解答X如圖2,連接CP,因?yàn)?quot;=2, 406, BCS,簡(jiǎn)單推算得上二=上，=1,而題 AC3CB2目中是求“41，8尸”其中的“hl”，故舍棄在dC上取點(diǎn)，應(yīng)用“0=1”，所以在 22CB2CD CP PD 1C8上取一點(diǎn)Q,使CD=1,則有0= k； = 3 = ；,無論P(yáng)如何移動(dòng).，4PCD與4BCP CP C B Br 2始終相似，故pd=Lbp始終成立,所以AP+L"=AP+PD,其中不。為定點(diǎn)，故.4、P、 22D三點(diǎn)共線時(shí)段小，AP十L BP=APFD二AD二J AC? + CD?二后（思考2若求8尸+尸川呢？） 23（大家仔細(xì)看第一題的解答”與前面的“

6、破解策略”對(duì)照，動(dòng)腦筋悟出“核武器）例方已知扇形CQ0中，ZCOD=90* , 0C=6, 0/1=3, 08=5,點(diǎn)P是弧CO上一點(diǎn)，求 2PA+PB的最小值.解答:首先連接OP，因?yàn)?P=6 ,OA=3.08=5，所以器二、器=/題目求的是“ 2PA+PB二 其中的與之相關(guān)的是吆=L,故在N上取點(diǎn)，考慮到是28,故在0C上取點(diǎn), OP 2泊 蘭老師初中級(jí)學(xué)圻究卻5犯工企25 -解答】此題關(guān)鍵在于看出是“阿氏圓模型”，首先從問題看，可能是“阿瞑”，接著題目條 件“8二2”更加確定此題有降藏圓，如圖2,。在/=2的0c上，下而步驟完全與上相問， 故略答案，yVlO例5f如圖1.在RtZkzl&

7、quot;中.ZC=90* C43 C"=4. OC的半徑為2.點(diǎn)。是©C上解答，如圖2,連接CF, 口算CP 2 CP 1故選擇在Cg上取點(diǎn)，構(gòu)造,核武器”“母子型相似模型”，取點(diǎn)，使c=l.則有柒=另=黑=：，所以無論尸如何移動(dòng)， C P CB BP 2尸。，與8C尸始終相似，故PH=；BP始終成立,所以AP+；PB=,4P+PH.其中、/為定點(diǎn)，故從尸、,4三點(diǎn)共線時(shí)最小，.4P+工PB=AP+PH= JCH * + "2 =癡.（思考：若求”十：d呢？） 例6f如圖3正方形.45C0邊長(zhǎng)為%。5的半徑為2, P是。5上一動(dòng)點(diǎn)，則0的4PC的最小值？七 蘭老

8、師初中切字斫究會(huì)45D1H5225解答：此題,初學(xué)者有可能會(huì)陷入誤區(qū)，以為很難，因?yàn)榘凑涨懊骖}的套路”,、BC 2 BA 2(因?yàn)榍懊嫖覀兌际潜容^這三條線段啊).感覺好像和“五。0+4PC”沒關(guān)系??！實(shí)際上 對(duì)“阿氏圓”套路的理解不夠深，我們研究的線段是圓心到“一動(dòng)兩點(diǎn)”，在此題中，“一 動(dòng)”指的是“動(dòng)點(diǎn)P”，“兩定”不是指4、C,而是要看問題“ JIPO+4PC?”問題中P 為動(dòng)點(diǎn)，C、。才是定點(diǎn)，故本題應(yīng)該比較怨=上，- = 4- = .故選擇在8。上取BC 2 BD 4V24點(diǎn)(如圖2),使得8H=巫，則有 =吧=里=旦,所以無論如何移動(dòng)，4PBH 2 BP BD PD 4與產(chǎn)始終相似，

9、故尸/仁正。始終成立，所以V1P0+4PC'=4 (PC+ PD) =444(PC+PH),其中、。為定點(diǎn)，故、A C三點(diǎn)共線時(shí)最小，后PD+ 4PC =4 (PC+旦PD) 4=4 (PGPH) MCH,Ck/PM'MC2 = 尸+()2 =£、故答案為10VI.(思考：若求以)+：?C呢？)例7,如圖1,在已知菱形45(?。的邊長(zhǎng)為4, N5=60° , 05的半徑為2, P為。8上一動(dòng)點(diǎn)，則歷。+ 6PC的最小值？解答：比較3A BC、PD,得絲=正.故在8。上取點(diǎn)“，使得且，故 BD 6 BC 23力蘭老師初中究225 = = = >所以 PH

10、=PD,6PD + 6PC4 （PC+gpD） =6 （PC+PH）= BP BD PD 6666>Ihm2+mc2 =2VnT （思考，若求+ 呢？）例8,在平面直角坐標(biāo)系中，A（2,0）、B（0,2）、C（4,0）、D（3,2）,尸是乙4。8外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且NA以=135，則2PZHPC的量小值是？圖1(PH+PC) =3CH,利用N0B/=6O0 40=8,可以求出 8=4,進(jìn)而可知M=l, CM=46,解答：首先從問題,大概看出是“胡不歸”或者“阿氏圓”的問題.然后尸是動(dòng)點(diǎn),但是 48是定線段，N8以:135°是定值,屬于“定弦定角” “隱圓模型”，故構(gòu)建OO

11、.如圖2, 然后下面過程略，答案，4x/2 例%如圖，在RtA48C中，川5=9, BC=8, NH8O60。，61的半徑為6,尸是上 的動(dòng)點(diǎn)，連接P5、PC,則3PC+2尸5的最小值？故 CH=7三 三老師初用級(jí)字/先W4*11325五.阿氏圓”實(shí)故訓(xùn)練練h如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)，內(nèi)切的記為04 P是。上一動(dòng)點(diǎn)，則ZPBPC 的最小值為？（的臉 2石）練2:如圖，等邊Ad皮 的邊長(zhǎng)為6,內(nèi)切囿記為05是。上一動(dòng)點(diǎn)，則2FG+PC的小值為？（答案. 3幣）級(jí)3, （2017攔州）如圖，拋物線產(chǎn)- V+bx+c與亶線48交于4（-4, -4） , 6 （0, 4） 兩點(diǎn)，直線4G j

12、u-gx-6交y軸于點(diǎn)U點(diǎn)E是直線川6上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)£作£/工工 軸交4C于點(diǎn)外 交拋物線于點(diǎn)G（1）求拋物線y= - f+bx+c的表達(dá)式；（2）連接G8, EO,當(dāng)四邊形GE08是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）在y軸上存在一點(diǎn)，連接£/, HF,當(dāng)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以小E, / , 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)凡的坐標(biāo)，在的前提下，以點(diǎn)上為回心，”/長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)可為。上上一動(dòng)點(diǎn)，求大:蘭老師初中勿俘陰究會(huì)4 gli犯25一川M+CW它的量小值. 2答案：（1） r = -.v2-2v+4（2）G-2,4）（3）2 （-2,0）、H（0, -1）羋練4： （2018西北工業(yè)大學(xué)附事中學(xué)中考模擬壓軸題）【問題提出】（D如圖L在中，/后4C, 80是4c邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出.45邊上的中線CE,并說明8ZACE：【問題探究】（2）如圖2,已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為6的正方形.48