六年級(jí)奧數(shù)數(shù)論余數(shù)問(wèn)題ABC級(jí)學(xué)生版

1、 余數(shù)問(wèn)題 知識(shí)框架 帶余除法的定義及性質(zhì) 一、1、 定義： 一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有ab=qr，也就是abqr,0rb；我們稱(chēng)上面的除法算式為一個(gè)帶余除法算式。這里： (1)當(dāng)時(shí)：我們稱(chēng)a可以被b整除，q稱(chēng)為a除以b的商或完全商 0r?(2)當(dāng)時(shí)：我們稱(chēng)a不可以被b整除，q稱(chēng)為a除以b的商或不完全商一個(gè)完美的帶余除法講0?r解模型:如圖 這是一堆書(shū)，共有a本，這個(gè)a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過(guò)打包后共打包了c捆，那么這個(gè)c就是商，最后還剩余d本，這個(gè)d就是余數(shù)。 這個(gè)圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個(gè)量的關(guān)系。并且可以看出

2、余數(shù)一定要比除數(shù)小。 2、 余數(shù)的性質(zhì) 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)； ? 余數(shù)小于除數(shù) 三大余數(shù)定理： 二、 1. 余數(shù)的加法定理 a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個(gè)和除以c的余數(shù)。 例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個(gè)余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。 例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為2 2. 余數(shù)的加法定理 a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。 3 ，

3、兩個(gè)余數(shù)差2的余數(shù)等于5除以71623，所以1和3的余數(shù)分別是5除以16，23例如：12. 當(dāng)余數(shù)的差不夠減時(shí)時(shí)，補(bǔ)上除數(shù)再減。 例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4，兩個(gè)余數(shù)差為3544 3. 余數(shù)的乘法定理 a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個(gè)積除以c所得的余數(shù)。 例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以2316除以5的余數(shù)等于313。 當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時(shí)，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。 例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以2319除以5的余數(shù)等于34除以5的余數(shù)，即2. nn除以m的余數(shù)相同，那么的

4、余數(shù)也相同與 乘方：如果a與b除以mba棄九法原理 三、 在公元前9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫(xiě)有一本花拉子米算術(shù)，他們?cè)谟?jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于害怕以前的計(jì)算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確，他們的檢驗(yàn)方式是這樣進(jìn)行的： 例如：檢驗(yàn)算式 889923?678967?178902?12341898?18922?1234除以9的余數(shù)為1 1898除以9的余數(shù)為8 18922除以9的余數(shù)為4 678967除以9的余數(shù)為7 178902除以9的余數(shù)為0 這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2 而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個(gè)算式一定是錯(cuò)的。 上述檢驗(yàn)方法恰好用到的就是我

5、們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個(gè)等式是正確的，那么左邊幾個(gè)加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。 而我們?cè)谇笠粋€(gè)自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時(shí)，常常不用去列除法豎式進(jìn)行計(jì)算，只要計(jì)算這個(gè)自然數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時(shí)候往往就是一個(gè)9一個(gè)9的找并且劃去，所 以這種方法被稱(chēng)作“棄九法”。 所以我們總結(jié)出棄九法原理：任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。 以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。 利用十進(jìn)制的這個(gè)特性，不僅可以檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加，對(duì)于檢驗(yàn)相乘、相除和乘方的結(jié)果對(duì)不對(duì)同樣適用

6、注意：棄九法只能知道原題一定是錯(cuò)的或有可能正確，但不能保證一定正確。 ，但是顯然算式是錯(cuò)誤的。0的余數(shù)都是9時(shí)，等式兩邊的除以9+9=9例如：檢驗(yàn)算式但是反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿(mǎn)足棄九法的規(guī)律。這個(gè)思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式謎問(wèn)題。 同余定理 四、1、 定義： 若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng)a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。 2、 重要性質(zhì)及推論： （1）若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除 例如：與除以的余數(shù)都是，所

7、以能被整除 3173（17?11）211（2）用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m|(ab) 3、 余數(shù)判別法 當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)，雖然可以用長(zhǎng)除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時(shí)，計(jì)算是很麻煩的建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)R，使得：N與R對(duì)于除數(shù)m同余由于R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，所以可以通過(guò)計(jì)算R被m除的余數(shù)來(lái)求得N被m除的余數(shù) 1) 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)； 2) 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)； 3) 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等

8、于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)； 4) 整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)； 5) 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng) 加11的倍數(shù)再減）； 6) 整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個(gè)位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù) 重難點(diǎn) 理解余數(shù)性質(zhì)時(shí)，要與整除性聯(lián)系起來(lái)，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能夠被除數(shù)整除了在一些題目中因?yàn)橛鄶?shù)的存在，不便于我們計(jì)算，去掉余數(shù)，回到我們比較熟悉的整除性問(wèn)題， 那么問(wèn)題就會(huì)變得簡(jiǎn)單

9、了 例題精講 【例 1】 除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是求出符合條件的所有的兩位數(shù) 101312 【鞏固】 一個(gè)兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)。 【例 2】 有一個(gè)三位數(shù)，其中個(gè)位上的數(shù)是百位上的數(shù)的3倍。且這個(gè)三位數(shù)除以5余4，除以11余3。這個(gè)三位數(shù)是_ 【鞏固】 一個(gè)自然數(shù)，除以11時(shí)所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時(shí)所得到的商是余數(shù)的3倍，這個(gè)自然數(shù)是_. 【例 3】 甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù) 10883211 【鞏固】 當(dāng)1991和1769除以某個(gè)自然數(shù)n，余數(shù)分別為2和1那么，n最小是多少？ 2222除以13】 所得余數(shù)是_. 【例 42000個(gè)? 】

10、【鞏固除以41的余數(shù)是多少？77777?7個(gè)1996 【例 5】 著名的斐波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個(gè)數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？ 【鞏固】 有一列數(shù)：1，3，9，25，69，189，517，其中第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)數(shù)是3，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)之和的2倍再加上1，那么這列數(shù)中的第2008個(gè)數(shù)除以6，得到的余數(shù)是 【例 6】 將從1開(kāi)始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次寫(xiě)成一個(gè)多位數(shù)：A135791113151719219799101103。則數(shù)a共有_位，數(shù)a除以9的余數(shù)是_。 【鞏固】 將依次寫(xiě)到第1997個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)1997位數(shù)，那

11、么此數(shù)除以9的余數(shù)12345678910111213.是 _ 【例 7】 有一個(gè)整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個(gè)余數(shù)之和是50，那么這個(gè)整數(shù)是_ 【鞏固】 用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個(gè)余數(shù)之和為25，那么n=_ 【例 8】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個(gè)數(shù)，使得每一豎列上下兩個(gè)因數(shù)的乘積除以11所得9889的余數(shù)都是3 【鞏固】 求除以17的余數(shù) 351?296478 2a被7除余數(shù)相同？a使與 的所有自然數(shù)中，有多少個(gè)整數(shù)】【例 9 求a200812 1000天之后將是星期幾？ 】今天是星期四，固【鞏10 20082除以7 的余數(shù)是多少？ 【例 10】20082

12、? ?3130 被【鞏固】 除所得的余數(shù)是多少？133031? 在校對(duì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)右邊的積)其中 11】3， 個(gè)三位數(shù)乘積的算式(【例234235286bca?cab?abccb?a? 是正確的，問(wèn)原式中的的數(shù)字順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是知道最后一位6是多少？abc ，102有個(gè)三位數(shù)相乘的積是一個(gè)五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個(gè)數(shù)各個(gè)位的數(shù)字之和是 固【鞏】 8，求兩個(gè)三位數(shù)的和。第二個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)字之和是 【例 12】 某個(gè)兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，這個(gè)兩位數(shù)是_. 【鞏固】 有一個(gè)自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33求這個(gè)數(shù)是多少？ 【例

13、13】 有一個(gè)大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù). 45,59,101 【鞏固】 有一個(gè)整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問(wèn)這個(gè)整數(shù)是幾? 【例 14】 一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是、，求這個(gè)自然數(shù)和的值. a25a?aa 【鞏固】 有3個(gè)吉利數(shù)888，518，666，用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10,則這個(gè)自然數(shù)是_. 【例 15】 一個(gè)大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿(mǎn)足條件的自然數(shù)最小為多少？ 【鞏固】 一個(gè)大于10的數(shù)，除以3余1，除以5余2，除以11余7，問(wèn)滿(mǎn)足條件的最小自然數(shù)是多少？

14、課堂檢測(cè) 【隨練1】 除以某個(gè)整數(shù)后所得的商恰好是余數(shù)的倍，那么除數(shù)最小可能是 。 378221 【隨練2】 的余數(shù)是多少？ 7666666?1995個(gè)6 【隨練3】 有一列數(shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是3，第二個(gè)數(shù)是10，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和，那么第1997個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是多少？ 【隨練4】 商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個(gè)顧客買(mǎi)走了其中的五箱已知一個(gè)顧客買(mǎi)的貨物重量是另一個(gè)顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克 1997 求】【隨練5 的最后兩位數(shù)3 家庭作業(yè) 【作業(yè)1】 在大于2009的自然數(shù)中，被57除后，商與余數(shù)相等的

15、數(shù)共有_個(gè). 【作業(yè)2】 有三個(gè)自然數(shù)，已知除以，得商3余3；除以，得商9余11。則除以，得bbbcccaaa到的余數(shù)是 。 【作業(yè)3】 有兩個(gè)自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)21131317是多少？ a?200820082008，問(wèn)：除以13所得的余數(shù)是多少？ 已】【作業(yè)4 知a2008個(gè)2008 【作業(yè)5】 有48本書(shū)分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書(shū)全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書(shū)不夠如果把書(shū)全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書(shū)不夠問(wèn)：第二組有多少人? 【作業(yè)6】 六張卡片上分別標(biāo)上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個(gè)數(shù)，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結(jié)果發(fā)現(xiàn)甲、乙各自手中卡片上的數(shù)之和一個(gè)人是另個(gè)人的2