六年級下冊數(shù)學專題練習6整除及數(shù)字整除特征全國通用含解析

1、 1 / 5 6、整除及數(shù)字整除【數(shù)字整除特征】 例1 4228是99的倍數(shù)，這個數(shù)除以99所得的商是_。 （上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題） 講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。 設(shè)千位上和個位上分別填上數(shù)字a、b，則：各位上數(shù)字之和為16+（a+b）。 要使原數(shù)能被9整除，必須使16+（a+b）是9的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或11。 又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原數(shù)能被11整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍數(shù)。經(jīng)驗證，（b-a-8）是11的倍數(shù)不合。 所以a-b=3。 又a+b=2或11，可求得a=7，b=4

2、。 從而很容易求出商為427284÷99=4316。 例2某個七位數(shù)1993能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是_。 （1993年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題） 講析：因為2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。 而1993000÷2520=790余2200。 于是再加上（2520-2200）=320時，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。 2 / 5 例3七位數(shù)17562的末位數(shù)字是_的時候，不管千位上是0到9中的哪一個數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。 （上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題） 講析：設(shè)千位上和個位上的數(shù)字

3、分別是a和b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是3+（b-a）或（a-b）-3。 要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需3+（b-a）或（a-b）-3是11的倍數(shù)。則有b-a=8，或者a-b=3。 當b-a=8時，b可取9、8； 當a-b=3時，b可取6、5、4、3、2、1、0。 所以，當這個七位數(shù)的末位數(shù)字取7時，不管千位上數(shù)字是幾，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。 例4下面這個四十一位數(shù) 555999 （其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是_。 （1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題） 講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也能被

4、7整除。則18個5或18個9組成的數(shù)，也能被7整除。 要使原四十一位數(shù)能被7整除，只需5599這個五位數(shù)是7的倍數(shù)。 容易得出，中間方格內(nèi)的數(shù)字是6。 【整除】 例1一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是_。 （天津市第一屆“我愛數(shù)學”邀請賽試題） 3 / 5 講析：所求這個數(shù)分別除以3和7時，余數(shù)相同。 3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個數(shù)是23。經(jīng)檢驗，23除以5商4余3，23是本題的答案。 例2一個整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個整數(shù)是_。 （現(xiàn)代小學數(shù)學邀請賽試題） 講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但

5、仔細觀察可發(fā)現(xiàn)，當把這個數(shù)加上4以后，它就能同時被3、5、7整除了。 因為3、5和7的最小公倍數(shù)是105。3600÷105=34余30，105-30=75， 所以，當3600加上75時，就能被3、5和7整除了。即所求這個整數(shù)是3675。 例3在一個兩位數(shù)中間插入一個數(shù)字，就變成了一個三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有_個。 （中南地區(qū)小學數(shù)學競賽試題） 講析：因為插入一個數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個位數(shù)字相同。則原兩位數(shù)的個位數(shù)字一定是0或5。 又插入的一個數(shù)字，必須小于個位數(shù)字，否則新三位

6、數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個位不能為0，而一定是5。 結(jié)合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個。 例4a是一個自然數(shù)，已知a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是_。（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第一試試題）講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。則a的個位數(shù)字一定是9。 4 / 5 因為如果個位上不是9時，若a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。 只有當a的個位上是9時，a+1之后，個位上滿十后向前一位進一，a+1的個位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。 聯(lián)想到69，69+1=70

7、，經(jīng)適當調(diào)整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。 例5一個自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個商是a見圖5.43（1），又知這個自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個商是2a見圖5.43（2），求這個自然數(shù)。 （北京市第九屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題） 講析：可從最后的商步步向前推算。 由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×（64a+57）+1=512a+457 由圖5.43（2）得，所求的自然數(shù)是578a+259 所以，512a+

8、457=578a+259。 解得a=3。 故，這個自然數(shù)是512×3+457=1993。 例6某住宅區(qū)有十二家住戶。他們的門牌號分別是1、2、3、12。他們的電話號碼依次是十二個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶的電話號碼都能被這戶的門牌號整除。已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除。問這一家的電話號碼是什么數(shù)？ （1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第二試試題） 講析：設(shè)這十二家住戶的電話號碼依次是a+1、a+2、a+3、，a+12。 5 / 5 因為每戶的電話號碼都能被自己家的門牌號整除，所以數(shù)a能同時被1、2、3、12整除。 而1、2、3、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時被1、2、3、12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880 現(xiàn)在考慮第九戶人家的電話號碼能被13整除問題。 因為110880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。