2021-2022學(xué)年浙江省金華一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、2021-2022學(xué)年浙江省金華一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1. 解析幾何是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家()和費(fèi)馬創(chuàng)立的，它的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，數(shù)學(xué)從此進(jìn)入變最數(shù)學(xué)時(shí)期，為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎(chǔ)A. 吳文俊B. 卡特C. 陳景潤(rùn)D. 笛卡爾2. 直線x2y+2=0的斜率為()A. 2B. 2C. 12D. 123. 傾斜角為120°，在x軸上的截距為1的直線方程是()A. 3x+y+1=0B. 3xy1=0C. 3x+y3=0D. 3x+y+3=04. 已知向量a=(1,1,0)，b=(1,0,2)，且ka+b與a2b互相垂直，則k=()A

2、. 114B. 15C. 35D. 1145. 經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且圓心是兩直線x=1與x+y=2的交點(diǎn)的圓的方程為()A. (x1)2+y2=1B. (x1)2+(y1)2=1C. x2+(y1)2=1D. (x1)2+(y1)2=26. 若雙曲線C1：x22y28=1與C2：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為45，則b=()A. 2B. 4C. 6D. 87. 正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，則直線AD1與EF所成角的余弦值是()A. 12B. 63C. 32D. 628. 拋物線M：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交

3、于點(diǎn)A，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，若拋物線M上一點(diǎn)P滿足PAPF，則以F為圓心且過點(diǎn)P的圓被y軸所截得的弦長(zhǎng)約為(參考數(shù)據(jù)：52.24)()A. 2.4B. 2.3C. 2.2D. 2.1二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）9. 平行于直線x+y+1=0，且與圓x2+y2=4相切的直線的方程是()A. x+y+22=0B. x+y2=0C. x+y22=0D. x+y+2=010. 下列方程能夠表示圓的是()A. x2+y2=1B. x2y2=2C. x2+y2+2x=1D. x2+y2+xy1=011. 已知兩點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PA|PB|=6，同時(shí)存在點(diǎn)Q，使|Q

4、B|QA|=6，則稱該直線為“一箭雙雕線”，給出下列直線，其中為“一箭雙雕線”的是()A. y=x+1B. y=2C. y=43xD. y=2x12. 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線y=x2上不同于O的兩點(diǎn)，且OAOB，下列結(jié)論中正確的是()A. |OA|OB|2B. |OA|+|OB|22C. 直線AB過拋物線y=x2的焦點(diǎn)D. O到直線AB的距離小于或等于1三、單空題（本大題共3小題，共15.0分）13. 雙曲線x24y212=1的離心率e= _ 14. 若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y=1相切，則圓C的方程是_15. 在三棱錐OABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直且相等，

5、點(diǎn)P，Q分別是線段BC和OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BP12BC，AQ12AO，則PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是_四、多空題（本大題共1小題，共5.0分）16. 已知橢圓C：x24+y29=1與動(dòng)直線l：y=32x+m相交于A、B兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為          ；設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為          五、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17. 已知直線l經(jīng)過兩

6、條直線l1：x+y4=0和l2：xy+2=0的交點(diǎn)，直線l3：2xy1=0；(1)若l/l3，求l的直線方程；(2)若ll3，求l的直線方程18. 已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為F1(22,0)、F2(22,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過點(diǎn)(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度19. 如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值20. 已知圓C：x2+y2+2x3=0，直線l1與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(0,1)是線段

7、AB的中點(diǎn)(1)求直線l1的方程；(2)是否存在與直線l1平行的直線l2，使得l2與圓C相交于不同的兩點(diǎn)E、F(l2不經(jīng)過圓心C)，且CEF的面積S最大？若存在，求出l2的方程及對(duì)應(yīng)的CEF的面積S.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21. 如圖，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF/DE，AFFE，AF=AD=2DE=2()求證：EF平面BAF；()若二面角ABFD的平面角的余弦值為24，求AB的長(zhǎng)22. 已知拋物線方程y2=4x，F(xiàn)為焦點(diǎn)，P為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，Q為線段PF與拋物線的交點(diǎn)，定義：d(P)=|PF|FQ|(1)當(dāng)P(1,83)時(shí)，求d(P)；(2)證明：存在常

8、數(shù)a，使得2d(P)=|PF|+a；(3)P1，P2，P3為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且|P1P2|=|P2P3|，判斷d(P1)+d(P3)與2d(P2)的關(guān)系答案和解析1.【答案】D【解析】解：解析幾何是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立的，它的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，數(shù)學(xué)從此進(jìn)入變最數(shù)學(xué)時(shí)期，為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎(chǔ)故選：D創(chuàng)立解析幾何的主要數(shù)學(xué)家是笛卡爾、費(fèi)馬本題考查數(shù)學(xué)史，考查解析幾何發(fā)展史等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題2.【答案】C【解析】解：直線x2y+2=0，可得y=12x+1，所以直線的斜率為：12故選：C直接利用直線方程，求解直線的斜率即可本題考查直線的斜率的求法，是基礎(chǔ)題3.【答案

9、】D【解析】解：設(shè)直線方程為y=kx+b，傾斜角為120°，k=tan120°=3，故y=3x+b，又在x軸上的截距為1，0=3×(1)+b，即b=3，故直線方程為3x+y+3=0，故選：D根據(jù)傾斜角可求出斜率，再根據(jù)截距即可求出答案本題考查了直線方程的傾斜角與斜率的關(guān)系以及截距的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題4.【答案】D【解析】【分析】本題考查空間向量坐標(biāo)的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算，以及空間向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題可求出ka+b=(k+1,k,2)，a2b=(3,1,4)，根據(jù)ka+b與a2b互相垂直，即可得出(ka+b)(a2b)=0，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出k

10、的值【解答】解：ka+b=(k+1,k,2)，a2b=(3,1,4)；ka+b與a2b垂直，(ka+b)(a2b)=3(k+1)+k8=0，解得k=114故選：D  5.【答案】B【解析】解：圓心是兩直線x=1與x+y=2的交點(diǎn)，圓心為x=1x+y=2 的解，即圓心坐標(biāo)為(1,1)，又該圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y1)2=1故選：B首項(xiàng)將兩條直線聯(lián)立，即可推得圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題6.【答案】B【解析】解：雙曲線C1：x22y28=1的漸近線方程為y=

11、77;2x，由題意可得C2：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax，即有b=2a，又2c=45，即c=25，即有a2+b2=20，解得a=2，b=4，故選：B求出雙曲線C1的漸近線方程，可得b=2a，再由焦距，可得c=25，即有a2+b2=20，解方程，可得b=4本題考查雙曲線的虛半軸長(zhǎng)，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和基本量的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題7.【答案】B【解析】解：正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點(diǎn)，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則E(0,0,1)，

12、F(1,1,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，EF=(1,1,1)，設(shè)直線AD1與EF所成角為，則cos=|AD1EF|AD1|EF|=483=63直線AD1與EF所成角的余弦值是63故選：B以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，利用向量法能求出直線AD1與EF所成角的余弦值本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直線所成角的定義、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8.【答案】D【解析】解：由題意，A(1,0)，F(xiàn)(1,0)，點(diǎn)P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，聯(lián)立圓與拋物線的方程得x2+4x1=0，m>0，m=2

13、+5，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2+5，|PF|=m+1=1+5，圓F的方程為(x1)2+y2=(51)2，令x=0，可得y=±525，|EF|=2525=252×2.24=2.1，故選：D由題意，點(diǎn)P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上，聯(lián)立圓與拋物線的方程，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義求出|PF|，可得圓F的方程，再令x=0，即可求出答案本題考查拋物線與圓的方程，考查拋物線的定義，確定點(diǎn)P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上是關(guān)鍵9.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意，要求直線平行于直線x+y+1=0，則設(shè)要求直線的方程為x+y+m=0，若要求直線與圓x2+y2=4相切，則|m|2

14、=2，解可得m=±22，則要求直線的方程為x+y±22=0；故選：AC根據(jù)題意，設(shè)要求直線的方程為x+y+m=0，由直線與圓的位置關(guān)系可得|m|2=2，解可得m的值，代入直線的方程計(jì)算可得答案本題考查圓的切線方程的計(jì)算，涉及直線平行的判定，屬于基礎(chǔ)題10.【答案】AC【解析】解：x2+y2=1是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以A正確；x2y2=2不是圓的方程，是雙曲線方程，所以B不正確；x2+y2+2x=1化為(x+1)2+y2=2，是圓的方程，所以C正確；x2+y2+xy1=0，不是圓的方程，所以D不正確；故選：AC利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程判斷即可本題考查圓的方程的判斷，是基礎(chǔ)題11

15、.【答案】AB【解析】解：結(jié)合雙曲線的定義，可得滿足|PA|PB|=6的點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，滿足|QB|QA|=6的點(diǎn)Q的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為A(5,0)和B(5,0)，即c=5，a=3，可得b=4；故雙曲線的方程為x29y216=1，依題意，若該直線為“一箭雙雕線”，則這條直線必與雙曲線的左右支相交，進(jìn)而分析可得，y=x+1，y=2與其相交，y=43x與雙曲線的漸近線平行，與右支沒有交點(diǎn)，y=2x代入雙曲線的方程可得無(wú)實(shí)數(shù)解故選：AB結(jié)合雙曲線的定義，可得滿足|PA|PB|=6的點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，滿足|QB|QA|=

16、6的點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，進(jìn)而可得其方程，若該直線為“一箭雙雕線”，則這條直線必與雙曲線的左右支相交，依次分析4條直線可得答案本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系，要掌握判斷雙曲線與直線相交，交點(diǎn)位置的判定方法，屬于基礎(chǔ)題12.【答案】ABD【解析】解：設(shè)A(x1,x12)，B(x2,x22)，(x10,x20 ) OAOB，OAOB=0，OAOB=(x1,x12)(x2,x22)=x1x2+x12x22=x1x2(1+x1x2)=0，1+x1x2=0，x2=1x1，|OA|OB|=(x12+x14)(x22+x24)=(x12+x14)(1x12+1x14)=1+x12

17、+1x12+12+2x121x12=2，當(dāng)且僅當(dāng)x12=1x12，即x1=±1時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確，又|OA|+|OB|2|OA|OB|22，故選項(xiàng)B正確，直線AB的斜率為x22x12x2x1=x2+x1=x11x1，直線AB的方程為：yx12=(x11x1) (xx1)，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,14)不滿足直線AB的方程，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，原點(diǎn)(0,0)到直線AB：(x11x1)xy+1=0 的距離d=1(x11x1)2+121，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD設(shè)A(x1,x12)，B(x2,x22)，利用OAOB=0可得x2=1x1，再利用基本不等式即可求

18、出|OA|OB|22，從而|OA|+|OB|2|OA|OB|22，表達(dá)出直線AB的方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可得到d=1(x11x1)2+121本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，考查了利用基本不等式求最值，考查了點(diǎn)到直線距離公式，是中檔題13.【答案】2【解析】解：雙曲線x24y212=1中，a2=4，b2=12，c2=16，a=2，c=4，e=ca=2故答案為：2利用雙曲線x24y212=1，求出a，b，c，即可求出雙曲線的離心率本題考查雙曲線方程與性質(zhì)，確定a，c的值是關(guān)鍵14.【答案】(x2)2+(y+32)2=254【解析】解：設(shè)圓的圓心坐標(biāo)(a,b)，半徑為r，因?yàn)閳AC經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)

19、(4,0)，且與直線y=1相切，所以a2+b2=r2(a4)2+b2=r2|b1|=r，解得a=2b=32r=52，所求圓的方程為：(x2)2+(y+32)2=254故答案為：(x2)2+(y+32)2=254設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，利用已知條件列出方程組，求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，即可得到圓的方程本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，列出方程組是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力15.【答案】33,1【解析】解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系： 不妨設(shè)A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P(0,b,1b)(12b1)，Q(a,0,0)(0a12). QP=(a,b,1b)，OB=(0,1,0)所以

20、，cos<QP，OB>=QPOB|QP|OB|=ba2+b2+(1b)2=1(ab)2+(1b1)2+1，因?yàn)閍b0,1，1b1,2，所以a=0，b=1時(shí)，cos<QP，OB>=1取得最大值；a=b=12時(shí)，cos<QP，OB>=33取得最小值所以PQ和OB所成的角的余弦值的取值范圍是33,1利用空間向量的夾角公式進(jìn)行異面直線所成的角的求解，注意分類討論本題考查了異面直線所成的角的夾角，向量夾角公式，考查了分類討論的方法，推理計(jì)算能力，屬于中檔題16.【答案】(3,3)3x+2y=0，x(2,2)  【解析】【分析】本題考查直線與橢圓的位

21、置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力直線與橢圓聯(lián)立方程組，通過判別式大于0，求解m的范圍；設(shè)出AB坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解M的軌跡方程即可【解答】解：由y=32x+mx24+y29=1，得：9x2+6mx+2m218=0；設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得：=36m24×9(2m218)>0，可得：32<m<32設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M(x,y)，可得：x=x1+x22=m3y=y1+y22=3(x1+x2)4+m=m2,可得：3x+2y=0，x(2,2)故答案為：(32,32)；3x+2y=0，x(2,2)  

22、17.【答案】解：(1)由x+y4=0xy+2=0，得x=1y=3，l1與l2的交點(diǎn)為(1,3)設(shè)與直線2xy1=0平行的直線為2xy+c=0，則23+c=0，c=1所求直線方程為2xy+1=0(2)設(shè)與直線2xy1=0垂直的直線為x+2y+c=0，則1+2×3+c=0，解得c=7所求直線方程為x+2y7=0【解析】(1)由x+y4=0xy+2=0，得l1與l2的交點(diǎn)為(1,3).設(shè)與直線2xy1=0平行的直線為2xy+c=0，由此能求出l的直線方程(2)設(shè)與直線2xy1=0垂直的直線為x+2y+c=0，由此能求出l的直線方程本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直

23、線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用18.【答案】解：(1)由F1(22,0)、F2(22,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，得：c=22，a=3，b=a2c2=1，橢圓方程為x29+y2=1；(2)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為y=x+2，聯(lián)立y=x+2x29+y2=1，得10x2+36x+27=0，x1+x2=185，x1x2=2710，|AB|=2|x1x2|=2(x1+x2)24x1x2=2(185)24×2710=635【解析】(1)由題意可得c=22，a=3，由隱含條件求得b，即可得到橢圓方程；(2)設(shè)出A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB的方程與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，即可得

24、到線段AB的長(zhǎng)度本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題19.【答案】解：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)AD=a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，E(a,a2,0)，P(0,0,a)，F(xiàn)(a2,a2,a2).(1)證明：EFDC=(a2,0,a2)(0,a,0)=0，EFDC，EFCD(2)設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z)，由(x,y,z)(a2a2a2)=0(x,y,z)(aa2,0)=0，得即a2(x+y+z)=0ax+a2y=0，取x=1，則y=2，z=

25、1，n=(1,2,1)，cos<BD，n>a2a6=36設(shè)DB與平面DEF所成角為，則sin=36【解析】以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F(xiàn)，坐標(biāo)(1)通過EFDC=0，證明EFCD(2)設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z)，由(x,y,z)(a2a2a2)=0(x,y,z)(aa2,0)=0，推出n=(1,2,1)，利用cos<BD，n>a2a6=36.設(shè)DB與平面DEF所成角為，求出sin=36本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，證明直線與直線的垂直，直線與平面所成的角，考查計(jì)

26、算能力20.【答案】解：(1)圓C：x2+y2+2x3=0，可化為圓C：(x+1)2+y2=4，圓心坐標(biāo)為(1,0)，直線l1與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(0,1)是線段AB的中點(diǎn)，CM直線l1，kCM=1，直線l1的斜率為1，直線l1的方程為y=x+1；(2)設(shè)直線l2的方程為y=x+b，即x+yb=0，(1,0)到直線l2的距離為d=|1b|2<2，|EF|=24d2，CEF的面積S=12d24d2=d2(4d2)d2+4d22=2，當(dāng)且僅當(dāng)d2=4d2，即d=2時(shí)CEF的面積S最大，此時(shí)|1b|2=2<2，b=1或3，最大面積為2，直線l1的方程為y=x+1，l2的方程

27、為x+y+3=0【解析】(1)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)直線l1與圓C相交于不同的A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(0,1)是線段AB的中點(diǎn)，可得CM直線l1，求出斜率，即可求直線l1的方程；(2)設(shè)直線l2的方程，求出CEF的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線與圓的相交關(guān)系的應(yīng)用及基本運(yùn)算的能力21.【答案】()證明：平面ABCD平面ADEF，且ABCD為矩形，BA平面ADEF，又EF平面ADEF，BAEF，又AFEF且AFBA=A，EF平面BAF；()解：設(shè)AB=t以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fzy

28、z則F(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,3,0)，D(1,3,0)，B(2,0,t)，DF=(1,3,0)，BF=(2,0,t)EF平面ABF，平面ABF的法向量可取m=(0,1,0)設(shè)n=(x,y,z)為平面BFD的法向量，則nDF=x3y=0nBF=2xtz=0，取y=1，可得n=(3,1,23t).cos<m,n>=mn|m|n|=24，得t=3，AB=3【解析】()由平面ABCD平面ADEF，且ABCD為矩形，可得BA平面ADEF，得到BAEF，又AFEF，由線面垂直的判定可得EF平面BAF；()設(shè)AB=t.以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)E所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fzyz.可得平面ABF的法向量可取m=(0,1,0).再求出平面BFD的法向量n=(3,1,23t).結(jié)合二面角ABFD的平面角的余弦值