奧賽輔導(dǎo)第十一講磁場對電流的作用和電磁感應(yīng)

1、 第十一講 磁場對電流的作用和電磁感應(yīng)一、知識點擊1安培力作用下的載流導(dǎo)線和載流線圈安培力：長為L電流強度為I的載流導(dǎo)線處的磁感應(yīng)強度為，電流元的方向與 之間的夾角為，則電流元所受安培力為FIBLsin，力的方向可由左手定則確定 磁場對載流平面線圈的作用：勻強磁場中，平面載流線圈各電流元所受力的矢量和為零，即，但線圈受一力矩作用，其力矩大小為MISBsin2帶電粒子在磁場中的運動洛倫茲力：磁場對運動電荷的作用力稱之為洛倫茲力若帶電粒子所帶電量為q，速度為，則運動粒子在磁感應(yīng)強度為的一點所受洛倫茲力的大小為。洛倫茲力總是與粒子運動速度垂直，洛倫茲力不做功，它不能改變運動電荷速度的大小，只能改變速

2、度的方向，使其運動路徑發(fā)生彎曲帶電粒子在勻強磁場中的運動：設(shè)有一勻強磁場，磁感應(yīng)強度為，一電量為q、質(zhì)量為m的粒子，以初速度進(jìn)人磁場中運動 （a），粒子在磁場中作勻速直線運動 （b），方向垂直于和，帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動。圓周運動的半徑 周期 （c）和成一任意夾角，我們把分解為與平行的分量和垂直分量。粒子所作的運動是上面兩種運動的疊加，粒子作螺旋運動，螺旋半徑，運動的周期，其螺距 3電磁感應(yīng)的基本定律 感生和動生感應(yīng)電動勢法拉第電磁感應(yīng)定律：閉合回路中的感應(yīng)電動勢 與穿過回路的磁通量的變化率 成正比。這就是法拉第電磁感應(yīng)定律，即，或楞次定律：閉合導(dǎo)體回路中感應(yīng)電流的方向，總是使得感應(yīng)電

3、流所激發(fā)的磁場阻止引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，這個結(jié)論就是楞次定律動生電動勢和感生電動勢：法拉第電磁感應(yīng)定律告訴我們：只要閉合回路的磁通量發(fā)生變化，回路中就有電動勢產(chǎn)生，而不管磁通量的變化是怎樣引起的而，造成中變化的原因有下列三種情況：第一是、不變，但回路的一部分切割磁感線運動使得回路面積改變導(dǎo)致變；第二是、S不變，但變，即回路在磁場中轉(zhuǎn)動，使回路所包圍的面與的夾角改變而導(dǎo)致變；第三是S、不變，但變導(dǎo)致必變 第一、二種情況是由于線圈回路的一部分或整體在磁場中運動使得通過回路的磁通量改變而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這類感應(yīng)電動勢稱之為動生電動勢；動生電動勢對應(yīng)的非靜電力是洛倫茲力，當(dāng)ab導(dǎo)體在勻強磁場中向

4、右以速度v運動時，自由電子受到向下的洛倫茲力的作用：，而其電動勢為單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極過程中洛倫茲力所做的功：。 若導(dǎo)線的方向不與垂直，而夾角為時，則導(dǎo)線內(nèi)的動生電動勢為。第三種情況是磁場的變化使得回路的磁通量改變而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，這種感應(yīng)電動勢稱之為感生電動勢4自感和互感 自感：因線圈內(nèi)電流變化而在線圈自身引起感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象稱為自感現(xiàn)象所產(chǎn)生電動勢稱為自感電動勢 根據(jù)畢奧一薩伐爾定律，通過線圈的磁通量與線圈中電流成正比：根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，自感電動勢為 互感：1，2線圈中的電流I1和I2可在線圈2，1中產(chǎn)生磁通量，而當(dāng)I1和I2變化時，可在線圈2和1中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，

5、這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢稱為互感電動勢 設(shè)線圈1中的電流I1在線圈2中產(chǎn)生的磁通量為12，線圈2中的電流I2在線圈1中產(chǎn)生的磁通量為21，根據(jù)畢奧薩伐爾定律：12=MI1 21=MI2 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律： 二、方法演練類型一、利用配速度的方法處理帶電粒子在電磁場中的復(fù)雜運動的問題。例1在空間有相互垂直的場強為E的勻強電場和磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。如圖11一1所示，一電子從原點靜止釋放，求電子在y軸方向前進(jìn)的最大距離。分析和解：雖然電子在O點速度為0，但也可設(shè)想其具有沿x方向的速度和逆x軸方向的，滿足，與所對應(yīng)的洛倫茲力沿y軸反方向，與電子所受電場力平衡。與對應(yīng)的洛倫茲力

6、與y軸同向。電子的運動可視為一個速率為的沿x軸正向的勻速直線運動和一個速率為的勻速圓周運動的合成，對勻速圓周運動有，而例2如圖11一2所示的無限長平行板中存在一均勻電場和磁場，今有一質(zhì)量為m，帶有正電荷q的粒子從縫隙A以初速進(jìn)入此平行板，假定此粒子的初速保證它能靠近右側(cè)的平行板而不與其相碰，求：（1）此粒子在P點處的曲率半徑；(2)若粒子的初速為0，且坐標(biāo)原點選在A處，求此粒子在平行板中的運動方程。分析和解：（l）這又是一個載電粒子在電磁 場中運動的題目，我們采取配一對大小相等、方向相反的速度的方法解這道題，設(shè)粒子有一沿y軸的速度和沿y軸負(fù)方向的速度，速度所對應(yīng)的洛倫茲力剛好與粒子在電場中受到

7、的電場力平衡。，這樣粒子一方面以的速度沿y軸正方向作勻速直線運動，另一方面則以做勻速圓周運動，而為當(dāng)粒子到達(dá)P點時，的方向也沿y軸正方向，與同向， 此時粒子的向心力F為洛倫茲力和電場力的合力： 由可得P點曲率半徑為 （2）給粒子配一沿y軸正方向的和沿y軸負(fù)方向的，則粒子一邊沿y軸正向作勻速直線運動，一邊以的速度在磁場中做勻速圓周運動，其半徑所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動角速度則粒子運動方程為 類型二、利用微元法處理長直電流與圓形電流的相互作用的問題。例3如圖11一3所示，有一無限長直線電流I0，另有一半徑為R的圓形電流I，其直徑AB與此直線電流近似重合試求 （1）半圓弧AaB所受作用 力的大小和方向； （2）整

8、個圓形電流所受的作用力的大小和方向。分析和解：（1）半圓電流所受磁力見圖11一3 ( b) ，在AaB弧上的C點取一電流元，其所在處的磁感強度方向垂直紙面向里，大小為則電流元上所受到的安培力為，方向沿徑向。現(xiàn)將分解到x軸和y軸，考慮到對稱性，方向沿x軸正方向。 （2）由于左半圓AbB的電流與右半圓AaB的電流等值反向且與I0對稱，所處空間的磁感應(yīng)強度也是對稱反向的，故兩半圓所受安培力等值同向，都沿x軸正向，那么類型三、利用圓電流近似處理為無限長載流直線的方法處理對稱圓形電流間的相互作用的問題。例4（1）圖11一4所示是兩根相同的導(dǎo)線環(huán)A與B。中心都在z軸上，兩導(dǎo)線環(huán)分別位于平面。為了使兩環(huán)互相

9、排斥，它們通的電流方向應(yīng)是相同還是相反？（2）一個通以電流的導(dǎo)線圓環(huán)能在不用任何器械的情況下漂浮在水平的超導(dǎo)平面之上。假設(shè)A就是這樣一個均勻圓環(huán)，它的質(zhì)量為M，且它的半徑r遠(yuǎn)大于它和超導(dǎo)平面的距離h，平面z=0就是超導(dǎo)平面證明達(dá)到平衡時的高度，即導(dǎo)線環(huán)A離超導(dǎo)平面的距離。（3）如果飄浮的環(huán)在垂直方向上振動，求振動的周期。分析和解：（1）因為r>>h，所以可將兩導(dǎo)線環(huán)看作兩根長的平行導(dǎo)線，要它們相互排斥，電流方向必須相反。 （2）因超導(dǎo)體內(nèi)磁感應(yīng)強度為零，為抵消A產(chǎn)生的磁力線穿過超導(dǎo)面，即在超導(dǎo)面下，與A對稱處有線圈B，其中電流大小與A中相同，而方向相反。A與超導(dǎo)面的作用相同于A、B

10、兩線圈的作用，把兩環(huán)看作兩根長的平行導(dǎo)線，因而A所受的磁場力為當(dāng)平衡時磁場力應(yīng)等于重力Mg，所以，即。 （3）在平衡位置附近，可令，為一相對平衡位置的小位移，而合力等于重力和磁場力的合成，即 振動的角頻率為：振動周期為：類型四、帶電粒子在感生電場作用和變化的磁場作用下做加速圓周運動的問題。例5一個長的螺線管包含了另一個同軸的螺線管（它的半徑R是外面螺線管的一半）。它們的線圈單位長度具有相同的圈數(shù)，且初始時都沒有電流。在同一瞬間，電流開始在兩個螺線管中線性增長。在任意時刻，里邊的螺線管中的電流為外邊螺線管中的兩倍，它們的方向相同。由于增長的電流，一個初始靜止的處于兩個螺線管中間的帶電粒子，開始沿

11、著一根圓形的軌道運動（見圖11一5）。問圓的半徑r為多少？分析和解：在t時刻外邊螺線管中的電流為，在里邊的螺線管中的電流為，其中是一個常數(shù)。由這些電流產(chǎn)生的磁場在外邊螺線管中為，而在里邊螺線管中為3B，其中n為單位長度上螺線管的圈數(shù)。由半徑為r的粒子軌道所包圍的磁通量為感生電場的大小可以從磁場隨時間的變化率計算得出：，因此帶電粒子由磁場限制在它的圓形軌道上，因此，從作用在它上面的力的總的徑向分量為零，我們可以得到 根據(jù)公式，粒子由合力的切向分量沿著它的圓形軌道加速，其中m是質(zhì)量，q是粒子的電荷。當(dāng)電場力的大小恒定時，粒子的速度隨時間均勻地增加，把上式和B的值代入方程，我們得到滿足上式的條件為，

12、即類型五、運用“虛位移”方法和能量守恒解電磁感應(yīng)和磁場能的有關(guān)的問題。例6如圖11一6所示，懸掛著的彈簧下掛一重物，其長度L=1 m，直徑D=0. 04 m，勁度系數(shù)K=0.5 N/m，一共有700匝，如給彈簧通以I=2.5 A的電流，則重物平衡位置將作微小變化，試求此變化量。分析和解：視彈簧為無限長螺線管，則內(nèi)部磁感應(yīng)強度為（為真空中磁導(dǎo)率）故磁通量為 故 設(shè)通電達(dá)穩(wěn)定后，彈簧縮短，長度變?yōu)?，則自感系數(shù)為 當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，假設(shè)重物受到一微擾，下降了，考慮系統(tǒng)的功能情況。機(jī)械勢能的變化為 其間自感系數(shù)也有變化，由式 故磁場能量變化為 同時，L的變化使彈簧兩端有了電壓，恒流電源將對系統(tǒng)做功

13、，由電磁感應(yīng)定律，有故恒流電源做功為 由能量守恒，有，故代入數(shù)據(jù)，得。類型六、運用微元法和節(jié)點定律解電路中的自感電動勢的問題。例7如圖11一7(a)所示的電路中，已知，R，r，L，電源內(nèi)阻不計，電感內(nèi)阻為r。問閉合電鍵K后，有多少電量通過無電阻導(dǎo)線ab？ 分析和解：當(dāng)閉合電鍵K后，由于電感L的存在，支路ad段上的電流從零逐漸增大，直至電流達(dá)到穩(wěn)定。當(dāng)電流穩(wěn)定時，電感中無感生電動勢，所以節(jié)點a和b的電勢相同，無電流流動。在電流達(dá)到穩(wěn)定之前，支路ad和bc中電流不等，而由兩個R并聯(lián)的兩支路中電流相等，所以將有電荷通過導(dǎo)線ab。設(shè)自閉合K到電流穩(wěn)定的過程中任一時刻，各支路中的電流如圖11一7 (b)

14、所示。由無阻導(dǎo)線ab相連的兩點a和b電勢始終相等。因此，流經(jīng)R的電流應(yīng)相等，即 寫出a點節(jié)點方程： 將每一時刻看成穩(wěn)恒電流，得 K閉合后L上電流漸增，回路abcda有方程即 利用式、，得 聯(lián)立式、得到 從閉合K直至電流穩(wěn)定，易知從零增加到 所以可以對式兩邊整個過程求和，得到通過ab的電量：類型七、變化的磁場產(chǎn)生渦旋電場帶電小球的切向作用力形成力矩的剛體的角動量問題。例8如圖118所示，在一個半徑為r，質(zhì)量為m，可以無摩擦地自由轉(zhuǎn)動的勻質(zhì)絕緣圓盤中部有一細(xì)長螺線管，其半徑為a，沿軸線方向單位長度上繞有n匝線圈，線圈中通以穩(wěn)恒電流I。在圓盤的邊緣上均勻地嵌著N個帶等量正電荷q的小球。設(shè)開始時，螺線

15、管中的電流為I，圓盤靜止，然后將電流切斷，試求圓盤轉(zhuǎn)動的角速度。分析和解：設(shè)螺線管電流切斷后，在t時間內(nèi)電流從I減為零，在此過程中任意時刻t的電流表示為i(t)，則在t時刻由i(t)產(chǎn)生的磁場B(t)為 B(t)0 ni（t）B的方向沿軸向，B(t)將隨i(t)減小為零，變化的B(t)產(chǎn)生環(huán)狀渦旋電場，在r處的渦旋電場E(t)應(yīng)滿足即因i（t）隨時間減小，。E(t)0。即渦旋電場的方向與電流的方向一致。在半徑為r的圓周上嵌著的N個帶電小球所受的總切向力為它相對轉(zhuǎn)軸形成的力矩為 由剛體的角動量定理，在電流從I減小為零的t時間內(nèi)，剛體所獲得的全部沖量矩等于它的角動量的增量。因開始時剛體（圓盤）靜止

16、，角動量為零，故有圓盤繞軸的轉(zhuǎn)動慣量J為代入上式，得出電流降為零后，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度為。類型八、超導(dǎo)框在非均勻磁場中振動的問題。例9有一邊長為a的正方形小框，由不會發(fā)生形變的、電阻為零的超導(dǎo)體材料制成，置于非均勻磁場中，的三個分量為，式中、為常量，線框的自感系數(shù)為L，質(zhì)量為m，水平放置，如圖11一9所示。試確定小線框的運動規(guī)律，即在t時刻小線框所處的位置。設(shè)在t=0時，小線框的中心O在坐標(biāo)原點。分析和解：（1）與一般導(dǎo)體在非均勻磁場中運動時 情況不同，無論磁場均勻與否，超導(dǎo)體框內(nèi)的磁通量恒保持不變。為了確定其值，我們可利用t=0時的值即。 （2）線框中電流強度的計算，小線框中電動勢為零，但電流

17、不為零，這是超導(dǎo)體一個特殊的電磁性質(zhì)。怎樣確定這個電流I的大??？這里的關(guān)鍵在于正確理解超導(dǎo)線框內(nèi)的為什么不變。當(dāng)線框從t=0受重力作用開始下滑，其外磁場通過線框的通量因z<0實際上是減小了，因而產(chǎn)生了感應(yīng)電流，這個感應(yīng)電流I的磁場是補償線框回路中磁通量減小，所以線框內(nèi)的總磁通量保持不變。線框位置為z處時感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁通量為。利用電流與磁通量成正比的關(guān)系有，從而得到，式中L為線圈的自感。（3）線框受力分析，線框受到沿z軸負(fù)方向的力，線框中的電流受到外磁場作用的安培力。Bz對線框產(chǎn)生的力，AB與CD邊上受力大小相等，方向相反；BC邊與DA邊亦然，故合力為零，不影響線框的運動。而對BC與DA

18、兩邊無作用，只對AB邊與CD邊有安培力作用，二者大小相等，方向相同，系沿z軸正方向（因線框向下運動）且（4）小框運動滿足的方程令則上述方程與一個無重、勁度系數(shù)為k的彈簧，其下懸一質(zhì)量為m的物體運動方程相同。因而可用類比法而求得線框位置z隨時間變化的規(guī)律。首先確定振動的平衡位置zo ,而且Zo的絕對值就是振幅，物體在平衡位置時，加速度 等于零振動的圓頻率z隨時間變化的規(guī)律是三、小試身手1空間存在垂直于紙面方向的均勻磁場，其方向隨時間作周期性變化，磁感應(yīng)強度 B 隨時間 t 變化的圖線如圖 1 所示規(guī)定 B > 0 時，磁場的方向穿出紙面現(xiàn)在磁場區(qū)域中建立一與磁場方向垂直的平面坐標(biāo)Oxy，如

19、圖 2 所示.一電荷量 q = 5×10-7c ，質(zhì)量 m =5×10-10kg 的帶電粒子，位于原點O 處，在 t =0 時刻以初速度v0=m/s沿 x 軸正方向開始運動，不計重力的作用，不計磁場的變化可能產(chǎn)生的一切其它影響 （1）試在圖 2 中畫出020 ms 時間內(nèi)粒子在磁場中運動的軌跡，并標(biāo)出圖 2 中縱橫坐標(biāo)的標(biāo)度值（評分時只按圖評分，不要求寫出公式或說明 ） （2）在磁場變化 N 個（ N 為整數(shù)）周期的時間內(nèi)帶電粒子的平均速度的大小等于_. 2如圖所示， ACD 是由均勻細(xì)導(dǎo)線制成的邊長為 d 的等邊三角形線框，它以 AD 為轉(zhuǎn)軸，在磁感應(yīng)強度為 B 的恒定的

20、勻強磁場中以恒定的角速度田轉(zhuǎn)動（俯視為逆時針旋轉(zhuǎn)）, 磁場方向與 AD 垂直已知三角形每條邊的電阻都等于R取圖示線框平面轉(zhuǎn)至與磁場平行的時刻為 t = 0 . （1）求任意時刻 t 線框中的電流 （2）規(guī)定 A 點的電勢為0，求 t = 0 時，三角形線框的AC 邊上任一點 P （到 A 點的距離用 x 表示）的電勢Up，并畫出Up與 x 之間關(guān)系的圖線 3圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在的一側(cè)，存在勻強磁場，磁場方向垂直于oxy平面向里，磁感應(yīng)強度的大小為B。在的一側(cè)，一邊長分別為和的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上，框內(nèi)無電流，框的一對邊與x軸平行。線框的質(zhì)量為m，自感為L?，F(xiàn)讓超

21、導(dǎo)線框沿x軸方向以初速度進(jìn)入磁場區(qū)域，試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運動情況及與初速度大小的關(guān)系。（假定線框在運動過程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）4地球赤道表面附近處的重力加速度為，磁場的磁感應(yīng)強度的大小，方向沿經(jīng)線向北。赤道上空的磁感應(yīng)強度的大小與成反比（r為考察點到地心的距離），方向與赤道附近的磁場方向平行。假設(shè)在赤道上空離地心的距離（為地球半徑）處，存在厚度為10km的由等數(shù)量的質(zhì)子和電子的等離子層（層內(nèi)磁場可視為勻強磁場），每種粒子的數(shù)密度非常低，帶電粒子的相互作用可以忽略不計。已知電子的質(zhì)量，質(zhì)子的質(zhì)量，電子電荷量為，地球的半徑。 （1）所考察的等離子層中的電子和質(zhì)子一方面作無規(guī)則運動，另一

22、方面因受地球引力和磁場的共同作用會形成位于赤道平面內(nèi)的繞地心的環(huán)行電流，試求此環(huán)行電流的電流密度。 （2）現(xiàn)設(shè)想等離子層中所有電子和質(zhì)子，它們初速度的方向都指向地心，電子初速度的大小，質(zhì)子初速度的大小。試通過計算說明這些電子和質(zhì)子都不可能到到達(dá)地球表面。5一個用絕緣材料制成的扁平薄圓環(huán)，其內(nèi)、外半徑分別為a1、a2，厚度可以忽略兩個表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環(huán)心距離r變化的規(guī)律均為，為已知常量薄圓環(huán)繞通過環(huán)心垂直環(huán)面的軸以大小不變的角加速度減速轉(zhuǎn)動，t = 0時刻的角速度為將一半徑為a0 (a0<<a1)、電阻為R并與薄圓環(huán)共面的導(dǎo)線圓環(huán)與薄圓環(huán)同心放置試求在薄圓環(huán)減速運動過

23、程中導(dǎo)線圓環(huán)中的張力F與時間t的關(guān)系 6如圖所示，水平放置的金屬細(xì)圓環(huán)半徑為a，豎直放置的金屬細(xì)圓柱（其半徑比a小得多）的端面與金屬圓環(huán)的上表面在同一水平面內(nèi)，圓柱的細(xì)軸通過圓環(huán)的中心O，一質(zhì)量為m、電阻為R的均勻?qū)w細(xì)棒被圓環(huán)和細(xì)圓柱端面支撐，棒的一端有小孔套在細(xì)軸O上，另一端A可繞軸線沿圓環(huán)做圓周運動，棒與圓環(huán)的動摩擦因數(shù)為m，圓環(huán)處于磁感應(yīng)強度大小為BKr、方向豎直向上的恒定磁場中，式中K為大于零的常量，r為場點到細(xì)軸的距離。金屬細(xì)圓柱與圓環(huán)用導(dǎo)線ed連接，不計棒及軸與細(xì)圓柱端面間的摩擦，也不計細(xì)圓柱、圓環(huán)及導(dǎo)線的電阻和感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場。問沿垂直于棒方向以多大的水平力作用于棒的A端才能

24、使棒以角速度w勻速轉(zhuǎn)動。 7如圖所示，兩個金屬輪A1、A2，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O1和O2轉(zhuǎn)動，O1和O2相互平行，水平放置.每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A1輪的輻條長為a1、電阻為R1，A2輪的輻條長為a2、電阻為R2，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a0的絕緣圓盤D與A1同軸且固連在一起.一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P.當(dāng)P下落時，通過細(xì)繩帶動D和A1繞O1軸轉(zhuǎn)動.轉(zhuǎn)動過程中，A1、A2保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連.除R和A1

25、、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計.整個裝置處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行.現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時的速度.8圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內(nèi)有勻強磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強度為B.筒壁的H處開有小孔，整個裝置處在真空中.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒.設(shè)：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時其電荷量是不變的.若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：（1）P的速率應(yīng)為多少？（2）P從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時間

26、為多少？9如圖所示， Ml M2和 M3 M4都是由無限多根無限長的外表面絕緣的細(xì)直導(dǎo)線緊密排列成的導(dǎo)線排橫截面，兩導(dǎo)線排相交成120°，O O 為其角平分線每根細(xì)導(dǎo)線中都通有電流 I ，兩導(dǎo)線排中電流的方向相反，其中Ml M2中電流的方向垂直紙面向里導(dǎo)線排中單位長度上細(xì)導(dǎo)線的根數(shù)為圖中的矩形abcd 是用 N 型半導(dǎo)體材料做成的長直半導(dǎo)體片的橫截面，（），長直半導(dǎo)體片與導(dǎo)線排中的細(xì)導(dǎo)線平行，并在片中通有均勻電流I0，電流方向垂直紙面向外已知 ab 邊與 O O 垂直，l，該半導(dǎo)體材料內(nèi)載流子密度為 n ，每個載流子所帶電荷量的大小為 q 求此半導(dǎo)體片的左右兩個側(cè)面之間的電勢差已知當(dāng)

27、細(xì)的無限長的直導(dǎo)線中通有電流 I 時，電流產(chǎn)生的磁場離直導(dǎo)線的距離為r處的磁感應(yīng)強度的大小為 ,式中k為已知常量參考解答1（1）如圖所示， （2）2m/s。2提示： （1）由xOyx （2），為拋物線， 和時，頂點為， 時，所以圖線如圖所示。3解：設(shè)某一時刻線框在磁場區(qū)域的深度為x，速度為，因線框的一條邊切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為，它在線框中引起感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的變化又引起自感電動勢設(shè)線框的電動勢和電流的正方向均為順時針方向，則切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動勢與設(shè)定的正方向相反，自感電動勢與設(shè) 定的正方向相同.因線框處于超導(dǎo)狀態(tài)，電阻，故有 （1）即 （2）或（3）即 （4）可見與x成線性關(guān)系，

28、有 （5）C為一待定常數(shù)，注意到時，可得，故有 （6）時，電流為負(fù)值表示線框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反，即在線框進(jìn)入磁場區(qū)域時右側(cè)邊的電流實際流向是向上的外磁場作用于線框的安培力 （7）其大小與線框位移x成正比，方向與位移x相反，具有“彈性力”的性質(zhì)下面分兩種情形做進(jìn)一步分析：（i）線框的初速度較小，在安培力的作用下，當(dāng)它的速度減為0時，整個線框未全部進(jìn)入磁場區(qū)，這時在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\動，最后退出磁場區(qū)線框一進(jìn)一出的運動是一個簡諧振動的半個周期內(nèi)的運動，振動的圓頻率（8） 周期（9）振動的振幅可由能量關(guān)系求得，令表示線框速度減為0時進(jìn)入磁場區(qū)的深度，這時線框的初始動能全部轉(zhuǎn)

29、換為“彈性力”的“彈性勢能”，由能量守恒可得（10）得（11）故其運動方程為， t從0到（12）半個周期后，線框退出磁場區(qū)，將以速度向左勻速運動因為在這種情況下的最大值是，即（13）由此可知，發(fā)生第（i）種情況時，的值要滿足下式即（14） （ii） 若線框的初速度比較大，整個線框能全部進(jìn)入磁場區(qū)當(dāng)線框剛進(jìn)入磁場區(qū)時，其速度仍大于0，這要求滿足下式（15）當(dāng)線框的初速度滿足（15）式時，線框能全部進(jìn)入磁場區(qū)，在全部進(jìn)入磁場區(qū)域以前，線框的運動方程與（12）式相同，但位移區(qū)間是到，所以時間間隔與（12）式不同，而是從0到 （16） 因為線框的總電動勢總是為0，所以一旦線框全部進(jìn)入磁場區(qū)域，線框的兩

30、條邊都切割磁感應(yīng)線，所產(chǎn)生的電動勢之和為 0，因而自感電動勢也為0此后線框中維持有最大的電流，磁場對線框兩條邊的安培力的合力等于零，線框?qū)⒃诖艌鰠^(qū)域勻速前進(jìn)，運動的速度可由下式?jīng)Q定即（17）4解：（1）由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球的半徑，故在所考察的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場和磁場都可視為勻強場.在該區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度 （1）引力加速度xOyzuxuyuzv0v0v圖1（2）考察等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為u的粒子，取粒子所在處為坐標(biāo)原點O，作一直角坐標(biāo)系Oxyz，Ox軸指向地球中心，Oz沿磁場方向，如圖1所示.該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個分量分別為ux、uy和uz.因作用于

31、粒子的引力沿x軸正方向，作用于粒子的洛倫茲力與z軸垂直，故粒子在z軸方向不受力作用，沿z軸的分速度保持不變. 現(xiàn)設(shè)想在開始時刻，附加給粒子一沿y軸正方向大小為v0的速度，同時附加給粒子一沿y軸負(fù)方向大小為v0的速度，要求與其中一個v0相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒子所受的地球引力相平衡，即 得 （3）用v表示ux與沿y軸的速度的合速度（對質(zhì)子取正號，對電子取負(fù)號），有 （4）這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分：沿z軸的分速度其大小和方向都保持不變，但對不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無規(guī)則運動的速度分量沿y軸的速度對帶正電的粒子，速度的方向沿y軸的負(fù)方向，對帶負(fù)電的粒子，速度的方向沿y軸的

32、正方向與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率沿y軸運動由（3）式可知，的大小是恒定的，與粒子的初速度無關(guān)，且對同種的粒子相同在平面內(nèi)的速度與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在平面內(nèi)作速率為的勻速率圓周運動，若以R表示圓周的半徑，則有得（5）由（4）、（5）式可知，軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x分量 和y分量有關(guān)圓周運動的速度方向是隨時間變化的，在圓周運動的一個周期內(nèi)的平均速度等于0由此可見，等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子的運動雖然相當(dāng)復(fù)雜，但每個粒子都具有由（3）式給出的速度，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對電子，方向向西，對質(zhì)子，方向向東電子、質(zhì)子這種運動稱為漂移

33、運動，對應(yīng)的速度稱為漂移速度漂移運動是粒子的定向運動，電子、質(zhì)子的定向運動就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流由（3）式和（1）、（2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為 （6） （7）由于電子、質(zhì)子漂移速度的方向相反，電荷異號，它們產(chǎn)生的電流方向相同，均為沿緯度向東.根據(jù)電流密度的定義有 （8）代入有關(guān)數(shù)據(jù)得（9）電流密度的方向沿緯度向東.（2）上一小題的討論表明，粒子在平面內(nèi)作圓周運動，運動的速率由（4）式給出，它與粒子的初速度有關(guān)對初速度方向指向地心的粒子，圓周運動的速率為（10）由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入題給的有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子、質(zhì)子的軌道半徑分別為 （1

34、1） （12）以上的計算表明，雖然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子還受到磁場的作用，電子和質(zhì)子在地球半徑方向的最大下降距離分別為和，都遠(yuǎn)小于等離子層的厚度，所考察的電子和質(zhì)子仍在等離子層內(nèi)運動，不會落到地面上.5解：半徑為r、通有電流I的圓線圈（環(huán)形電流），在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 （k為已知常量）用半徑分別為r1（>a1），r2，ri，rn1（<a2）的n-1個同心圓把塑料薄圓環(huán)分割成n個細(xì)圓環(huán)第i個細(xì)圓環(huán)的寬度為，其環(huán)帶面積式中已略去高階小量，該細(xì)圓環(huán)帶上、下表面所帶電荷量之和為設(shè)時刻t，細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為w ，單位時間內(nèi)，通過它的“橫截面”的電荷量，即為電流由環(huán)形電

35、流產(chǎn)生磁場的規(guī)律，該細(xì)圓環(huán)的電流在環(huán)心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 （1）式中是一個微小量，注意到，有 （2）將各細(xì)圓環(huán)產(chǎn)生的磁場疊加，由（1）、（2）式得出環(huán)心O點處的磁感應(yīng)強度： （3）由于a0<<a1，可以認(rèn)為在導(dǎo)線圓環(huán)所在小區(qū)域的磁場是勻強磁場，可由O點的場表示磁場對導(dǎo)線環(huán)的磁通量（4）由于是變化的，所以上述磁通量是隨時間變化的，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的大小為 （5）由全電路歐姆定律可知，導(dǎo)線環(huán)內(nèi)感應(yīng)電流的大小為 （6）設(shè)題圖中薄圓環(huán)帶正電作逆時針旋轉(zhuǎn)，穿過導(dǎo)線圓環(huán)的磁場方向垂直紙面向外，由于薄圓環(huán)環(huán)作減角速轉(zhuǎn)動，穿過導(dǎo)線圓環(huán)的磁場逐漸減小，根據(jù)楞次定律，導(dǎo)線圓環(huán)中的感應(yīng)電流亦為逆時針方向，導(dǎo)線圓環(huán)各元段Dl所受的安培力都沿環(huán)半徑向外現(xiàn)取對于y軸兩對稱點U、V，對應(yīng)