分界面的銜接條件邊值條件

1、 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-101授課計劃授課計劃chap1-2重點內(nèi)容回顧重點內(nèi)容回顧及疑難解答及疑難解答教教學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)容容主主要要知知識識點點 重點重點難點難點 思考題思考題與作業(yè)與作業(yè) 備注備注 預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)1-4，1-51-3 靜電場基本方程與分界面上的銜接條件 積分方程、微分方程、分界面的銜接條件積分方程、微分方程、分界面的銜接條件1-4 靜電場邊值問題 位函數(shù)方程；位函數(shù)方程； 邊值問題的概念、分類、建立、求解。邊值問題的概念、分類、建立、求解?？偨Y(jié) 1.微分方程微分方程 2.分界面的

2、銜接條件分界面的銜接條件 3.邊值問題的建立邊值問題的建立 4.簡單位函數(shù)方程的求解簡單位函數(shù)方程的求解 1. 場點、源點的概念場點、源點的概念 2. 場源與電荷的對應(yīng)關(guān)系場源與電荷的對應(yīng)關(guān)系 3. 電場強度與電位的計算電場強度與電位的計算 4. 參考電位的選取參考電位的選取 5. 導(dǎo)體與電介質(zhì)的特性導(dǎo)體與電介質(zhì)的特性 測驗：測驗：電場強度與電位的計算公式電場強度與電位的計算公式 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-102本講主要內(nèi)容本講主要內(nèi)容nnDD12ttEE21)(12DDn0)(12EEn或

3、或2121tantan21nn11221. 分界面銜接條件分界面銜接條件2. 邊值問題及其分類邊值問題及其分類3. 邊值問題的建立（難點邊值問題的建立（難點*）4. 邊值問題分析方法概述邊值問題分析方法概述 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-103上一講主要內(nèi)容回顧上一講主要內(nèi)容回顧1. 源點、場點的概念源點、場點的概念2. 電場強度、電位的積分公式電場強度、電位的積分公式3. 電場強度與電位的對應(yīng)關(guān)系電場強度與電位的對應(yīng)關(guān)系4. 導(dǎo)體、電介質(zhì)在電場中的性質(zhì)。導(dǎo)體、電介質(zhì)在電場中的性質(zhì)。5. 極化電

4、荷的作用及其分布。極化電荷的作用及其分布。6. 真空與電介質(zhì)中的高斯定理及其應(yīng)用。真空與電介質(zhì)中的高斯定理及其應(yīng)用。EVRVdr )(410VdRerrEVR20) (41)(PPnPPqsdDs 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-104 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1051-3 靜電場基本方程 與分界面上的銜接條件1. 積分形式的基本方程（物理中學(xué)積分形式的基本方程（物理中學(xué)過）過）2. 微分形式

5、的基本方程（重點）微分形式的基本方程（重點）3. 3. 兩種介質(zhì)分界面的銜接條件兩種介質(zhì)分界面的銜接條件（難點）（難點） 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1061. 積分形式的基本方程積分形式的基本方程qSdDsll dE0)()(rErD 靜電系統(tǒng)的守恒定律。靜電系統(tǒng)的守恒定律。 表明基本變量表明基本變量E在閉合回路在閉合回路上的環(huán)流特性，說明靜電上的環(huán)流特性，說明靜電場是一種守恒性的矢量場。場是一種守恒性的矢量場。 高斯定律。高斯定律。 表明基本變量表明基本變量D在閉合面在閉合面S上的通量特性

6、。上的通量特性。介質(zhì)特性方程。介質(zhì)特性方程。 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1072. 微分形式的基本方程微分形式的基本方程VVSdVdVDSdD D由高斯散度定理可得由高斯散度定理可得SlSdEldE00E由斯托克斯定理有由斯托克斯定理有 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-108 D0EED 它表明基本變量它表明基本變量E在閉在閉合回線上的環(huán)量特性。合回線上的環(huán)量特性。 表明源（電荷）與場表明源（電

7、荷）與場 之間的對應(yīng)關(guān)系。之間的對應(yīng)關(guān)系。小結(jié)小結(jié)：靜電場是有源場。靜電場是有源場。靜電場是無旋場。靜電場是無旋場。介質(zhì)特性方程介質(zhì)特性方程例題 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-109 例解一：電場明顯具有球?qū)ΨQ性，D沿半徑方向 且大小只是r的函數(shù)。球的電荷總量為drrrQa024)(drarra)(40242030158a外的電通密度。為常數(shù)。試計算球內(nèi)的球形區(qū)域內(nèi)，其中為分布于一個半徑電荷按體密度02201)(aarr 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Tech

8、nology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1010 例 (解法一結(jié)果) 當(dāng)r=a時，應(yīng)用積分形式的高斯定律高斯定律，可求得QSdDs2drrarSdDrs2220014)1 (reraD2302152rearrD330153qSdDs30221584aDr 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10113.兩種介質(zhì)交界面的銜接條件兩種介質(zhì)交界面的銜接條件介質(zhì)中靜電場的基本方程介質(zhì)中靜電場的基本方程111110EDqSdDl dESil1111110EDDE222220EDqSdDl dES

9、il2222220EDDED2D112E1E212 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10121)交界面法線方向的銜接條件交界面法線方向的銜接條件柱面h=a), 有：有：0)(12222DrrrD222rCD對于球內(nèi)的點對于球內(nèi)的點(r=a)，散度方程為：，散度方程為：)1 ()(12201221arDrrrD21230153rCarrD 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-101421230153rCar

10、rD(r=a)由邊界條件可知，當(dāng)由邊界條件可知，當(dāng)r=a時，時，D1=D2222230153aCDaaaDararC1=0rearrD330153(r=a)確定系數(shù)C1、C2 由于由于r 0時電場應(yīng)為有限值時電場應(yīng)為有限值 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1015例 計算均勻電荷面密度為計算均勻電荷面密度為的的無限大平面的電場。平面的電場。解：如圖所示取柱形閉合面無限大平面電荷的的場無限大對稱、均勻0)(000zeDzeDDzz 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of T

11、echnology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1016 注意側(cè)面上注意側(cè)面上D0 的通量為零。因此求得的通量為零。因此求得D0=/2 ,用矢量式表示時，為用矢量式表示時，為SSDeeSDeeSDSdDzzzzs0002)()(0)(2020zezeDzz)2(2|0000zzDD根根據(jù)據(jù)高高斯斯定定律律 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10172)分界面切線方向的銜接條件E2nE1nE2tE1t電場強度在矩形回路上的環(huán)量為零電場強度在矩形回路上的環(huán)量為零02222212211lEh

12、EhEhEhElEl dEtnnnntclhlhE1E2ttEE210)(12EEn 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1018 導(dǎo)體表面是等位面，導(dǎo)體表面是等位面，E 線與導(dǎo)體表面垂直；線與導(dǎo)體表面垂直； 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面例例解解ttnnEEDD2112 ，nn221121 ，nC012 , 導(dǎo)體中導(dǎo)體中 E10 ，D1=0 導(dǎo)體表面上任一點的導(dǎo)體表面上任一點的 D 等于該點的等于該點的 。下 頁上 頁試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。試寫出導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。 分界面銜接條件分

13、界面銜接條件0 E 222tnnED，分解面介質(zhì)側(cè)分解面介質(zhì)側(cè)表明 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1019介質(zhì)分界面銜接條件小結(jié)當(dāng)分界面上沒有自由電荷時，有當(dāng)分界面上沒有自由電荷時，有nnDD21nnDD12ttEE21ttEE21)(12DDn0)(12EEn或或22221111cossincossinDEDE2121tantan折射定律 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1020忽略邊緣效應(yīng)忽略邊

14、緣效應(yīng)1221021ddUE1221012ddUE1121 EE22110SSq圖圖(a)圖圖(b)02211qSS2211 試求兩個平板電容器的電場強度。試求兩個平板電容器的電場強度。2211EE02211UdEdE下 頁上 頁平行板電容器例例解解 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10211-4 靜電場邊值問題靜電場邊值問題1.靜電場位函數(shù)方程2.邊值問題及其分類3.邊值問題的建立4.邊值問題的分析方法概述 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology

15、工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10221.靜電場位函數(shù)方程靜電場位函數(shù)方程 泊松方程與拉普拉斯方程泊松方程與拉普拉斯方程 由靜電場微分形式的基本方程由靜電場微分形式的基本方程EDDE2EEE)(時當(dāng)媒質(zhì)均勻時，即0靜電場泊松方程靜電場泊松方程靜電場拉普拉斯方程靜電場拉普拉斯方程02=0時時2是矢量算子，但是矢量算子，但 是標量算子。是標量算子。2 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1023拉普拉斯方程展開式拉普拉斯方程展開式2222221)(1z22222222sin1)(sinsin1

16、)(1rrrrrrLaplaces equation022222222zyxcartesiancylindricalspherical 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1024介質(zhì)分界面上位函數(shù)的銜接條件在不同的介質(zhì)分界面上在不同的介質(zhì)分界面上21nn1122nnDD12ttEE21電場強度的切向分量連續(xù)電場強度的切向分量連續(xù)的銜接條件用位函數(shù)表示為的銜接條件用位函數(shù)表示為nEDnn11111nEDnn22222電位移法向分量的銜接條件電位移法向分量的銜接條件用位函數(shù)表示為用位函數(shù)表示為 河北工業(yè)

17、大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1025例 半徑半徑為為a 的帶電導(dǎo)體球，已知球體電位的帶電導(dǎo)體球，已知球體電位為為U(無窮遠無窮遠處電位為零處電位為零)，試求球外空間的電位函數(shù)分布。，試求球外空間的電位函數(shù)分布。 0rUar邊界條件是01222drdrdrdr21CrC直接積分得解：解： 球坐標系位函數(shù)拉普拉斯方程為球坐標系位函數(shù)拉普拉斯方程為電場強度可由電位的負梯度求得到：電場強度可由電位的負梯度求得到：aUCaCUC112,0arUarraUararraUererrErr0)()(2 河北工業(yè)大學(xué)河

18、北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10262.邊值問題及其分類邊值問題及其分類第一類邊界條件：場域邊界上的電位值是給定的第一類邊界條件：場域邊界上的電位值是給定的 第二類邊界條件：場域邊界上電位的法向?qū)?shù)值是給定的第二類邊界條件：場域邊界上電位的法向?qū)?shù)值是給定的第三類邊界條件：混合邊界條件第三類邊界條件：混合邊界條件注：注：場域周界的邊界條件場域周界的邊界條件與與介質(zhì)分界面銜接條件介質(zhì)分界面銜接條件是是 兩個不同的概念兩個不同的概念邊值問題： 泛定方程+定解條件=邊值問題位函數(shù)方程 場域周界的邊界條件（介質(zhì)分界

19、面銜接條件） 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1027試寫出圖示靜電場的邊值問題。試寫出圖示靜電場的邊值問題。 0z2222222yxV100)1S(0)(大地，下 頁上 頁返 回例例解解S1 100VS2 50VV50)2S(大地以上空間：大地以上空間： 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1028試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。 根據(jù)場分布的對稱性根據(jù)場分布

20、的對稱性確定計算場域，邊值問題確定計算場域，邊值問題022222yx（陰影區(qū)域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx0),0(aybxx0),0(axbyy下 頁上 頁返 回纜心為正方形的同軸電纜例例解解 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10292.2.靜電場的靜電場的唯一性定理唯一性定理（Uniqueness Theorem)研究給定怎樣的條件研究給定怎樣的條件靜電場解是唯一的。靜電場解是唯一的。下 頁上 頁返 回唯一性定理唯一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的

21、電位微分方在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是唯一的。程的解是唯一的?；颍悍匠桃欢?，邊界條件一定，解就是一定的?；颍悍匠桃欢?，邊界條件一定，解就是一定的。唯一性定理的證明唯一性定理的證明 ：證明（反證法） 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1030201 axdU3. 3. 唯一性定理的意義唯一性定理的意義圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？ 給出了唯一確定靜電場問題的解所需滿足的條件。給出了唯一確定靜電場問題的解所需滿足的條件。002 bUxdU

22、003 cUxdU下 頁上 頁 平板電容器外加電源U0例例 可用以判斷靜電場問題解的正確性?？捎靡耘袛囔o電場問題解的正確性。0222xdx0 x00 ,U 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1031RRRURRUE RR21212lnlndlnd22圖示無限長同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體加電壓圖示無限長同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體加電壓U，外，外導(dǎo)體接地，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場分布。導(dǎo)體接地，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場分布。eE212ln222121RRddEURRRR下 頁上 頁例例 R1 1R2 2U解解一一應(yīng)用高斯定律應(yīng)用高斯定

23、律12lnU2RReRRUE12ln任一點的電位任一點的電位 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1032下 頁上 頁 R1 1R2 2U解解二二解邊值問題，場為軸對稱，取圓柱坐標解邊值問題，場為軸對稱，取圓柱坐標dddd1022100RR ,U通解通解BAln邊界條件邊界條件BRAU1lnBRA2ln021lnRRUA 221lnlnBRRRURRRU 212lnlneRRUE12lne 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場

24、導(dǎo)論2022-1-1033圖示長度為圖示長度為l 的同軸電纜（的同軸電纜（lR），內(nèi)外導(dǎo)體帶電荷），內(nèi)外導(dǎo)體帶電荷 Q，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場分布。，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場分布。eeEl2Q22lnl2Ql2Q22RddERR下 頁上 頁返 回例例解解一一應(yīng)用高斯定律，以外導(dǎo)體為電位參考應(yīng)用高斯定律，以外導(dǎo)體為電位參考 R1 1R2 2Q- -Q解解二二解邊值問題，解邊值問題，通解通解BA ln l2QA lRQ lRQ RR212122 或或BRA 20ln邊界條件邊界條件22RlQBln 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁

25、場導(dǎo)論2022-1-1034圖示充以兩種介質(zhì)的無限長同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體加電圖示充以兩種介質(zhì)的無限長同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體加電壓壓U，外導(dǎo)體接地，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場分布。，外導(dǎo)體接地，求內(nèi)外導(dǎo)體間的電場分布。下 頁上 頁返 回例例 1 1 2 2R1 1R2 2R3 3解解解邊值問題，解邊值問題，002212 111BA ln 222BA ln 通解通解310201RR ,U 221R 22211R 邊界條件邊界條件 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-10350)dd(dd122222rrrr)(ra通解通解

26、43221021)( 16)(CrCrCrCrr試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。采用球坐標系采用球坐標系, ,分區(qū)域建立方程分區(qū)域建立方程邊界條件邊界條件arar21ararrr2010有限值01 r參考電位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar下 頁上 頁返 回 體電荷分布的球體 例例解解 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué) Hebei University of Technology 工程電磁場導(dǎo)論工程電磁場導(dǎo)論2022-1-1036電場強度（球坐標梯度公式）：電場強度（球坐標梯度公式）：11)(rErararrreerE2022223)(得到得到rarararrar03222013)(0)3(6)( 隨r變化曲線E，errrsin11eerarrrrr0301ee下 頁上 頁返 回 河北工業(yè)大學(xué)河北工業(yè)大學(xué)