江蘇省宿遷市宿豫區(qū)陸集初級中學九年級數(shù)學下冊《方程思想在幾何解題中的運用》解題 蘇科版

1、方程思想在幾何解題中的運用方程思想是初中代數(shù)中最重要的數(shù)學思想，它貫穿于整個初中代數(shù)的始終通過設(shè)未知數(shù)，列方程（組），將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這是解決幾何問題的一種非常重要的方法現(xiàn)舉例說明如下一、一元一次方程例1 如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD求A的度數(shù)解 AB=AC，BD=BC=AD（已知）ABC=C=BDC，A=ABD（等邊對等角）設(shè)A=°，則BDC=A+ABD=2°從而ABC=C=BDC=2°在ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有+2+2=180解得=36A=36°評注 本道題的求解過程中，充分利用了等腰三角形性質(zhì)定理

2、以及三角形內(nèi)角和定理，最后通過設(shè)未知數(shù)，列一元一次方程，求出角的度數(shù)二、一元二次方程例2 如圖，在RtABC中，C=90°,D是BC的中點，DEAB于E，tanB=,AE=7.求DE的長.解 設(shè)DE=在RtBDE中，tanBBE=2，則BD=D為BC的中點，BC=2BD=又在RtABC中，tanB=，AC=在RtABC中，根據(jù)勾股定理有（2+7）=（）+（）解得=，=1（舍去）DE的長為評注 這是一道典型的利用一元二次方程知識求解的幾何題.首先我們要大膽地設(shè)要求的線段長為未知數(shù)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解；其次要充分利用已知條件tanB=.三、二元一次方程組例3 如圖，在梯形AB

3、CD中，ABCD,AB=18cm,CD=6cm,DM=MP=PA,CN=NQ=QB求MN和PQ的長解 設(shè)MN=,PQ=.根據(jù)梯形中位線性質(zhì)定理有解得MN=10cm，PQ=14cm評注 本題中，我們要求的線段不止一條，利用梯形中位線性質(zhì)定理找到的等量關(guān)系也不止一個這時，我們可以通過設(shè)兩個未知數(shù)列二元一次方程組來解四、二元二次方程組例4 如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的弧長AB為6,弧長CD為10，又AC=12，求陰影部分ABDC的面積解 設(shè)OA=,O=°根據(jù)弧長公式得解得陰影部分ABDC的面積為cm².評注 解這個題，除了要用到弧長公式，扇形面積公式之外，還要用到解二元二次方程組的知識.五、三元一次方程組例5 如圖，在ABC中，BC=14,AC=9,AB=13cm，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F.求AF、BD和CE的長.解 設(shè)AF=，BD=，CE=根據(jù)切線長定理有AF=AE，BF=BD，CD=CE.由題意有解得AF=4，BD=9，CE=5.評注 本題還可以通過列一元一次方程來求解.由以上幾例，我們?nèi)菀卓偨Y(jié)出用方程思想解幾何問題的一般步驟為：設(shè)未知數(shù)把要求的角度，線度的長度，幾何圖形的面積等設(shè)為未知數(shù)列出方程(組)把涉及到的其他量也用含