2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（上海卷解析版）

1、2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（上海卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼.2.本試卷共有23道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生必須在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.1、 不等式的解集為_；【解析】，故答案為：.或由或，解得，故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查分式不等式的解法，常規(guī)方法是化為整式不等式或不等式組求解.2、 若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則_；【解析】，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)概

2、念題3、 若動點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_；【解析】由拋物線定義知：P的軌跡為拋物線，易知焦參數(shù)，所以點(diǎn)P的軌跡方程為.【點(diǎn)評】本題考查拋物線定義和軌跡方程的求法之直接法，屬基礎(chǔ)概念題.4、 行列式的值為_；【解析】，答案為：.【點(diǎn)評】本題考查二階行列式的計算方法與和角的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值，符合在知識交匯處命題原則，屬基礎(chǔ)題.5、 圓C：的圓心到直線：的距離_；【解析】由，得，則圓心為，故，答案為：3.【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式以及計算能力，是課本習(xí)題的變式題.6、 隨機(jī)變量的概率分布率由下圖給出：x78910P()0.

3、30.350.20.15則隨機(jī)變量的均值是_；【解析】，故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查隨機(jī)變量的概率分布和均值（期望）的計算，屬常規(guī)題，無難度.7、2010年上海世博會園區(qū)每天9:00開園，20:00停止入園。在右邊的框圖中，表示上海世博會官方網(wǎng)站在每個整點(diǎn)報道的入園總?cè)藬?shù)，表示整點(diǎn)報道前1個小時內(nèi)入園人數(shù)，則空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 ；【解析】依題意，表示上海世博會官方網(wǎng)站在每個整點(diǎn)報道的入園總?cè)藬?shù)，表示整點(diǎn)報道前1個小時內(nèi)入園人數(shù)，可知程序的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填：.【點(diǎn)評】本題主要考查算法的程序框圖由題意確定算式是基礎(chǔ)，弄清算法流程圖的邏輯結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵8、對任意不等于1的正數(shù)，函數(shù)的反函數(shù)的圖像都過點(diǎn)

4、P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ；【解析】因函數(shù)圖象恒過點(diǎn)，所以其反函數(shù)的圖像都過點(diǎn)，故答案為：.【點(diǎn)評】反函數(shù)是高考?？嫉闹R點(diǎn)，一般難度都不大.當(dāng)與反函數(shù)圖像有關(guān)時，要注意反函數(shù)與原函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.9、從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率 （結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.【解析】事件表示從13張黑桃和一張紅桃K共14張中任取一張，故，故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查等可能事件的概率及其計算，與去年相比，難度有所降低.10、在行列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為.當(dāng)時， _；【解析】當(dāng)時，由矩陣的結(jié)構(gòu)可知：，故答案為：.【點(diǎn)評】矩陣是上海高考?？嫉?/p>

5、知識點(diǎn)，也是一大亮點(diǎn).本題考查矩陣元素的構(gòu)成規(guī)律和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.11、將直線：、：（，）軸、軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 ；【解析】直線：、：（，）軸、軸圍成的封閉圖形為四邊形，其中，則，故，于是，故答案為：1.【點(diǎn)評】本題將直線與直線的位置關(guān)系與數(shù)列極限結(jié)合，考查兩直線的交點(diǎn)的求法、兩直線垂直的充要條件、四邊形的面積計算以及數(shù)列極限的運(yùn)算法則，是本次考題的一個閃光點(diǎn).12、如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A（B）、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為_；【解析】在折疊過程中，始終沒有改變，所以最后形

6、成的四面體中，底面，故其體積，故答案為：.【點(diǎn)評】本題屬于典型的折疊問題，解題的關(guān)鍵是：抓住折疊前后哪些幾何元素的位置關(guān)系發(fā)生了改變，哪些位置關(guān)系沒有發(fā)生改變，本題中應(yīng)用正方形的性質(zhì)是解題的推手.13、如圖所示，直線與雙曲線：的漸近線交于，兩點(diǎn)，記，.任取雙曲線上的點(diǎn)，若（、），則、滿足的一個等式是 ；【解析】設(shè)，易知，由，得，即，代入整理得，故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量基本定理等知識，把向量與解幾結(jié)合命題，是全國各地高考題中的主流趨勢.14、以集合 的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1），都要選出；（2）對選出的任意兩個子集A和B

7、，必有或.那么共有_36_種不同的選法.【解析】由于，都要選出，又或，則對選出的子集A中的元素個數(shù)分類：A是元子集，則滿足條件的子集A和B共有種；A是二元子集，則滿足條件的子集A和B共有種；故共有36種不同的選法?！军c(diǎn)評】本題考查子集的有關(guān)概念，兩個計數(shù)原理的靈活應(yīng)用.注意到條件“對選出的任意兩個子集A和B，必有或”，所以分類時A中元素個數(shù)最多2個，這是解題的突破口.二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案?？忌仨氃诖痤}紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分。15 “（）”是“”成立的 答（ ）（A）充分不必要條件. （B）必要不充分條

8、件.（C）充分條件. （D）既不充分也不必要條件.【解析】當(dāng)（）時，反之，當(dāng)時，（），所以“（）”是“”成立的充分不必要條件，選A.【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)以及終邊相同的角等基礎(chǔ)知識，考查簡易邏輯中充要條件的判斷.記錯誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)，混淆條件的充分性和必要性，是這類問題出錯的重要原因16 直線的參數(shù)方程是，則的方向向量可以是 答（ ） （A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）【解析】取參數(shù)的兩個值，得直線上的對應(yīng)兩點(diǎn)，則的一個方向向量是，可以是，選C.【點(diǎn)評】本題主要考查直線的參數(shù)方程、方向向量、數(shù)與向量的積的幾何意義以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，

9、是一道數(shù)形結(jié)合的優(yōu)秀試題.17.若是方程的解，則屬于區(qū)間 答（ ）（A）（）. （B）（）. （C）（） （D）（）【解析】，設(shè)，則，所以，選C.【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等知識的考查，把對方程的根的研究轉(zhuǎn)化為對函數(shù)零點(diǎn)的考察是解題的關(guān)鍵.18.某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，:，則此人能答（ ）（A）不能作出這樣的三角形.（B）作出一個銳角三角形.（C）作出一個直角三角形. (D) 作出一個鈍角三角形.【解析】設(shè)三角形三條高對應(yīng)的三邊長為、，面積為，所以，則邊最長，且，故角為鈍角，則此人能作出一個鈍角三角形

10、，選D.【點(diǎn)評】本題考查余弦定理在解斜三角形中的應(yīng)用，即判斷三角形的形狀，由于條件中是三角形三條高的長度，則需轉(zhuǎn)化為三邊長度，從而考查運(yùn)動變化觀、數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19.（本題滿分12分）已知，化簡：.【解析】，原式.【點(diǎn)評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的余弦、對數(shù)的概念和運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，同時考查基本運(yùn)算能力.20. (本題滿分13分)本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通

11、項(xiàng)公式，并求出為何值時，取得最小值，并說明理由.【解析】（1）由已知得，當(dāng)時，兩式相減得，變形，得，又，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知， 解不等式SnSn+1，得，當(dāng)n15時，數(shù)列單調(diào)遞增；同理可得，當(dāng)n15時，數(shù)列單調(diào)遞減；故當(dāng)n=15時，取得最小值【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和公式、不等式的解法以及方程和函數(shù)思想.本題的實(shí)質(zhì)是：已知遞推公式（，為常數(shù)）求通項(xiàng)公式.21.(本題滿分13分)本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分。如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用平方米塑

12、料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.(1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;(2)在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）. 【解析】(1) 設(shè)圓柱形燈籠的母線長為l，則l=1.2-2r(0r0，即，設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，由方程組，消y得方程(k2-k1)x=p，又因?yàn)?，所以，故E為CD的中點(diǎn)；(3) 求作點(diǎn)P1、P2的步驟：1求出PQ的中點(diǎn)，2求出直線OE的斜率，3由知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得CD的斜率，