高考數(shù)學(xué)必考題型解答策略函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答策略命題趨勢(shì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程,在近幾年的高考中, 函數(shù)類試題在試題中所占分值一般為22-35分.一般為2個(gè)選擇題或2個(gè)填空題,1個(gè)解答題 ,而且?？汲Ｐ隆?在選擇題和填空題中通常考查反函數(shù)、函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的圖象、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及從函數(shù)的性質(zhì)研究抽象函數(shù)。 在解答題中通?？疾楹瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用。其主要表現(xiàn)在:  1.通過(guò)選擇題和填空題,全面考查函數(shù)的基本概念,性質(zhì)和圖象。2.在解答題的考查中,與函數(shù)有關(guān)的試題常常是以綜合題的形式出現(xiàn)。3.從數(shù)學(xué)具有高

2、度抽象性的特點(diǎn)出發(fā),沒(méi)有忽視對(duì)抽象函數(shù)的考查。4.一些省市對(duì)函數(shù)應(yīng)用題的考查是與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來(lái)考查的。 5.涌現(xiàn)了一些函數(shù)新題型。6.函數(shù)與方程的思想的作用不僅涉及與函數(shù)有關(guān)的試題,而且對(duì)于數(shù)列,不等式,解析幾何等也需要用函數(shù)與方程思想作指導(dǎo)。7.多項(xiàng)式求導(dǎo)(結(jié)合不等式求參數(shù)取值范圍),和求斜率(切線方程結(jié)合函數(shù)求最值)問(wèn)題。8.求極值, 函數(shù)單調(diào)性,應(yīng)用題,與三角函數(shù)或向量結(jié)合，預(yù)計(jì)2012年基本上還是這個(gè)考查趨勢(shì)，具體為：(1)以選擇題或者填空題的形式考查集合的基本關(guān)系和基本運(yùn)算，考查中涉及函數(shù)的定義域、不等式的解、方程的解等問(wèn)題，要特別注意一些新定義試題 (2)以選擇題或者

3、填空題的方式考查邏輯用語(yǔ)的知識(shí)，其中重點(diǎn)是充要條件的判斷和含有一個(gè)量詞的命題的否定 (3)以選擇題或者填空題的方式考查基本初等函數(shù)及其應(yīng)用，重點(diǎn)是函數(shù)定義域、值域，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)判斷，簡(jiǎn)單的函數(shù)建模，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，定積分的計(jì)算及其簡(jiǎn)單應(yīng)用(4)以解答題的方式考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)是使用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及能夠轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題的不等式和方程等問(wèn)題，考查函數(shù)建模和利用導(dǎo)數(shù)解模備考建議基本初等函數(shù)和函數(shù)的應(yīng)用：在掌握好基本知識(shí)的前提下重點(diǎn)解決函數(shù)性質(zhì)在解決問(wèn)題中的綜合應(yīng)用

4、、函數(shù)性質(zhì)在判斷函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：要掌握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點(diǎn)解決導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，特別是含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(這是高考考查分類與整合思想的一個(gè)主要命題點(diǎn))，在解決好上述問(wèn)題后，要注意把不等式問(wèn)題、方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進(jìn)行研究性訓(xùn)練，這是高考命制壓軸題的一個(gè)重要考查點(diǎn)解答策略1討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則.對(duì)于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對(duì)定

5、義域的影響.2運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短.3對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)，研究其性質(zhì)時(shí)，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，全面考慮.如對(duì)二次項(xiàng)含參數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)分a0和a0兩種情況討論，指、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有字母參數(shù)a時(shí)，需按a1和0a1分兩種情況討論.4解答函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.5在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)；若在（a，b）內(nèi)有極值，那么在（a，b）絕不是單調(diào)函數(shù)；極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系；一般的情況，當(dāng)函數(shù)在a，b上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)在a，b內(nèi)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的；導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的

6、必要條件，不是充分條件（對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言）.而充分條件是導(dǎo)數(shù)值在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào).6求函數(shù)的最值可分為以下幾步：求出可疑點(diǎn)，即0的解x0；用極值的方法確定極值；將（a，b）內(nèi)的極值與，比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值；當(dāng)在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)可疑點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處有極大（?。┲?，則可以確定在該點(diǎn)處了取到最大（小）值.7利用求導(dǎo)方法討論函數(shù)的單調(diào)性，要注意以下幾方面：0是遞增的充分條件而非必要條件（0亦是如此）；求單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定定義域；然后再根據(jù)0（或0）解出在定義域內(nèi)相應(yīng)的x的范圍；在證明不等式時(shí)，首先要構(gòu)造函數(shù)和確定定義域，其次運(yùn)用求導(dǎo)的方法來(lái)證明.8函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題往往以

7、壓軸題的形式出現(xiàn)，解決這類問(wèn)題要注意：(1)綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)分析解決問(wèn)題；(2)及時(shí)地進(jìn)行思維的轉(zhuǎn)換，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化； (3)不等式證明的方法多，應(yīng)注意恰當(dāng)運(yùn)用，特別要注意放縮法的靈活運(yùn)用；(4)要利用導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題.典型例題考點(diǎn)一.函數(shù)的解析式、定義域、值域求法例函數(shù)的定義域?yàn)锳BCD解：由.故選C【名師點(diǎn)睛】：函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.這里主要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法，并會(huì)應(yīng)用用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問(wèn)題.例用mina,b,c表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)=min, x+2,10-x (x 0),則的最大值為 （A

8、）4 （B）5 （C）6 （D）7【解析】：利用數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，很容易的得到函數(shù)的最大值是當(dāng)時(shí)，的最大值為6【名師點(diǎn)睛】：解決本題的最好方法是數(shù)形結(jié)合，本題考查學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用和對(duì)新定義問(wèn)題的快速處理考點(diǎn)二.函數(shù)的零點(diǎn)例函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3解:當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令解得，所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，選C。【名師點(diǎn)睛】：求函數(shù)的零點(diǎn)：（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)例設(shè)a為常數(shù)，試討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)。解：原方程等價(jià)于即構(gòu)造函數(shù)和，作出它們的圖像，易知

9、平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得：當(dāng)或時(shí)，原方程有一解；當(dāng)時(shí)，原方程有兩解；當(dāng)或時(shí)，原方程無(wú)解?！久麕燑c(diǎn)睛】：圖象法求函數(shù)零點(diǎn)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷。例已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為=2x -3，其零點(diǎn)x=不在區(qū)間-1，1上。當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間-1，1分為兩種情況：函數(shù)在區(qū)間1，1上只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)或解得1a5或a=函數(shù)在區(qū)間1，1上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí) 或解得a5或a<綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間1，1上有零點(diǎn)，

10、那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-, 1, +)【名師點(diǎn)睛】：函數(shù)零點(diǎn)（即方程的根）的應(yīng)用問(wèn)題，即已知函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，解決該類問(wèn)題關(guān)鍵是用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在實(shí)數(shù)集R上恒成立問(wèn)題可利用判別式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解.考點(diǎn)三.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性例已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根

11、,則解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù),所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以答案:-8【名師點(diǎn)睛】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對(duì)稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題例已知函數(shù)若則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A B C D 解：由已知，函數(shù)在整個(gè)定義遇上單調(diào)遞增的故 ，等價(jià)于，解得答案C【名師點(diǎn)睛】：在處理函數(shù)單調(diào)性時(shí)，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處

12、理，顯得更加簡(jiǎn)單、方便例已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）ABCD解：的圖象為橢圓上半部分，的圖象為兩條線段根據(jù)的周期T=4可知其圖象，由方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則有兩解 即 有兩解，所以解得；無(wú)解即無(wú)解，所以解得。故【名師點(diǎn)睛】：函數(shù)的圖象從直觀上很好地反映出了函數(shù)的性質(zhì)，所以在研究函數(shù)時(shí)，注意結(jié)合圖象，在解方程和不等式等問(wèn)題時(shí)，借助圖象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用圖象求交點(diǎn)個(gè)數(shù)或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，作圖要十分準(zhǔn)確，否則容易出錯(cuò).考點(diǎn)四.函數(shù)的圖象例單位圓中弧長(zhǎng)為，表示弧與弦所圍成弓形面積的2倍。則函數(shù)的圖像是（ ）C解：法一：定量分析?？闪谐?，知時(shí)，圖像在

13、下方；時(shí)，圖像在上方。選D法二：定性分析。當(dāng)從增至?xí)r，變化經(jīng)歷了從慢到快，從快到慢的過(guò)程，選D法三：觀察滿足：，故圖像以為對(duì)稱中心。選D【名師點(diǎn)睛】：函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題目還很好的考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想.考點(diǎn)五.函數(shù)綜合問(wèn)題例設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)若，求的取值范圍； (2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)，直接寫(xiě)出(不需給出演算步驟)不等式的解集.解：（1）若，則（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，綜

14、上（3）時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，>0,得：討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為;當(dāng)時(shí)，解集為.【名師點(diǎn)睛】：函數(shù)綜合問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.例設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.證明：由題意可知.， 當(dāng)時(shí)，.又，綜上可知，所給問(wèn)題獲證. 【名師點(diǎn)睛】：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式.例已知函數(shù)x-1，1，函數(shù)g(x)=f（x）2-2af(x)+3的最小值為h(a). （1）求h(a); (2)是否存在實(shí)數(shù)m，n,同時(shí)滿足以下條件： m>n>3;當(dāng)h(a)的定義域?yàn)?/p>

15、n,m時(shí)，值域?yàn)?？若存在，求出m，n的值，否則，說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)?1x1,（2）因?yàn)閙>n>3,故h(a)=12-6a,且h(a)在(3,+)上單調(diào)遞減，假設(shè)h(a)定義域?yàn)閚，m，值域?yàn)?，則有 兩式相減得6（m-n)=(m-n)(m+n), 又m>n>3,所以m+n=6. 這與“m>n>3m+n>6”矛盾，故滿足條件的實(shí)數(shù)m,n不存在.【名師點(diǎn)睛】：（1）復(fù)合函數(shù).可設(shè)t=f(x)并求出t的范圍， 將g(x)化為關(guān)于新元t的二次函數(shù)，再求h(a). （2）探索性問(wèn)題，往往先假設(shè)成立，并依此探求，如能求出合適的值m,n，說(shuō)明“假設(shè)成立”是正確的

16、，否則，不成立.例設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而，函數(shù)在上的最小值為；若，則函數(shù)在上的最小值為，且；當(dāng)時(shí)，函數(shù)；若，則函數(shù)在上的最小值為，且若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)在上的最小值為綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是【名師點(diǎn)睛】：函數(shù)奇偶性的討論問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題會(huì)有較大幫助.因?yàn)閤R，=|a|+10，由此排除是奇函數(shù)的可能性.運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng)a=0時(shí)，是偶函數(shù)

17、，第2題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想?？键c(diǎn)六 抽象函數(shù) 例：已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值是A.0 B.C.1 D.解：當(dāng)時(shí)有，即 又是偶函數(shù) 當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，又當(dāng)時(shí)有， ，故選（ A ）【名師點(diǎn)睛】：所謂抽象函數(shù)問(wèn)題，是指沒(méi)有具體地給出函數(shù)的解析式，只給出它的一些特征或性質(zhì)。解決這類問(wèn)題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質(zhì)，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點(diǎn)。例：定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足=log3且對(duì)任意x，yR都有= +(1)求證為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0對(duì)任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)：= +

18、 (x，yR)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20對(duì)任意xR成立令t=30，問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+20對(duì)任意t0恒成立R恒成立【名

19、師點(diǎn)睛】：利用抽象條件，通過(guò)合理賦值(賦具體值或代數(shù)式)、整體思考、找一個(gè)具體函數(shù)原型等方法去探究函數(shù)的性質(zhì)。如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性等，再運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)去解決有關(guān)問(wèn)題，是求解抽象函數(shù)問(wèn)題的常規(guī)思路。其中合理賦值起關(guān)鍵性的作用。對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的考查在近幾年高考中有逐年增加數(shù)量的趨勢(shì)?？键c(diǎn)七：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線例：曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）（A）（B）（C）（D）解 ：因?yàn)?，所以，在點(diǎn)處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.【名師點(diǎn)睛】求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：當(dāng)曲線在點(diǎn)處

20、的切線平行于軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為；當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解?？键c(diǎn)八：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性例：已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.解（1）當(dāng)所以因此,即曲線又所以曲線（2）因?yàn)?所以,令當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，>0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，<0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，即，解得.當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，由于,時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減：時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)

21、時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù) 在上單調(diào)遞增； 函數(shù)在上單調(diào)遞減.【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式0或0。若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式0或0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題求解?？键c(diǎn)九：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值例：請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)LED霓虹燈燈箱?，F(xiàn)有一批LED霓虹燈箱材料如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形LED散片，邊CD上有一以其中點(diǎn)M為圓心，半徑為2cm的半圓形缺損，因此切去陰影部分（含半圓形缺損）所示的四

22、個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于空間一點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀有蓋的LED霓虹燈燈箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.（1）用規(guī)格長(zhǎng)寬高=外包裝盒來(lái)裝你所設(shè)計(jì)的LED霓虹燈燈箱，燈箱彼此間隔空隙至多0.5cm，請(qǐng)問(wèn)包裝盒至少能裝多少只LED霓虹燈燈箱（每只燈箱容積V最大時(shí)所裝燈箱只數(shù)最少）?（2）若材料成本2元/cm2,霓虹燈燈箱銷售時(shí)以霓虹燈燈箱側(cè)面積S（cm2）為準(zhǔn)，售價(jià)為2.4元/cm2.試問(wèn)每售出一個(gè)霓虹燈燈箱可獲最大利潤(rùn)是多少？解（1），所以，當(dāng)時(shí)，V遞增，當(dāng)時(shí)，V遞減，所以，當(dāng)x=20時(shí)，V最大.此時(shí)正

23、四棱柱形燈箱底面邊長(zhǎng)，高為.用規(guī)格為外包裝盒來(lái)裝燈箱，彼此間隔空隙至多0.5cm，至少裝下=125個(gè)燈箱.答：至少裝下125個(gè)燈箱.（2）（）,所以x=15cm時(shí)側(cè)面積最大，最大值是（cm2）此時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為（元）.答：每個(gè)燈箱最大利潤(rùn)720元.【名師點(diǎn)睛】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：（1）確定定義域。（2）求導(dǎo)數(shù)。（3）或求極值，則先求方程=0的根，再檢驗(yàn)在方程根左右值的符號(hào)，求出極值。（當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論）若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程=0的根的大小或存在情況，從而求解。2求函數(shù)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。考

24、點(diǎn)十：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象例： ()已知函數(shù)=x3-x，其圖像記為曲線C.（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (ii)證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2,f(x2).曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3 （x3 f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值：（）對(duì)于一般的三次函數(shù) =ax3+bx2+cx+d(a0)，請(qǐng)給出類似于()(ii)的正確命題，并予以證明?！久}立意】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化

25、歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想。解（) (i)，令得到，令有，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為；(ii)，因此過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進(jìn)而有，用代替，重復(fù)上面的計(jì)算，可得和，又，因此有。（）【命題】若對(duì)于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(I)(ii)的命題為：若對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另外一點(diǎn)，線段、與曲線所圍成面積為，則?！咀C明】對(duì)于曲線，無(wú)論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，因此過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，聯(lián)立，得到：，化簡(jiǎn)：得到從而所以同樣運(yùn)用(i)中方法便可以得到所以?！久麕燑c(diǎn)睛】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷屆

26、高考中主要切線方程、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識(shí)的聯(lián)系，類型有交點(diǎn)個(gè)數(shù)、恒成立問(wèn)題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用。突破訓(xùn)練1、已知函數(shù) ()證明：曲線（）若求a的取值范圍?！窘馕觥?)，故x=0處切線斜率，又即，當(dāng)，故曲線（），令，故2、設(shè)函數(shù)（）求單調(diào)區(qū)間（）求所有實(shí)數(shù)，使對(duì)恒成立，注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)【解析】：（）因?yàn)樗杂捎谒缘脑鰠^(qū)間為，減區(qū)間為。（）由題意得即。由（）知在單調(diào)遞增，要使對(duì)恒成立，只要解得3、設(shè)=的導(dǎo)數(shù)為,若函數(shù)=的圖象關(guān)于

27、直線=對(duì)稱，且=0.()求實(shí)數(shù),的值;()求函數(shù)的極值.【解析】()=, 若函數(shù)=的圖象關(guān)于直線=對(duì)稱，且=0,=且，解得=3，=12.()由()知=，=，的變化如下：（，2）2（2,1）1（1，+）+00極大值21極小值6當(dāng)=2時(shí)，取極大值，極大值為21，當(dāng)=1時(shí)，取極小值，極小值為6.4、設(shè)。（）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）討論與的大小關(guān)系；（）求的取值范圍，使得對(duì)任意0成立。解（）由題設(shè)知，令0得=1，當(dāng)（0，1）時(shí)，0，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間。當(dāng)（1，+）時(shí)，0，故（1，+）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為(II)設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，

28、當(dāng)時(shí)，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即（III）由（I）知的最小值為1，所以，對(duì)任意，成立即從而得。5、已知函數(shù).（）設(shè)函數(shù)F(x)=18 f(x)-x2 h(x)2,求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)aR,解關(guān)于x的方程lgf(x-1)-=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);（）設(shè)n*,證明：f(n)h(n)-h(1)+h(2)+h（n） .解析：（），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，在時(shí)，函數(shù)取得極大值.（）由方程lgf(x-1)-=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x)，得，即，即，方程可以變?yōu)?，?dāng)，方程，；當(dāng)，方程，；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)方程無(wú)解.（）當(dāng)時(shí)

29、，不等式成立；假設(shè)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，不等式成立，綜上，對(duì)一切，不等式都成立.6、設(shè),討論函數(shù) 的單調(diào)性【解析】7、某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.（）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的.【解析】（）因?yàn)槿萜鞯捏w積為立方米，所以,解得,所以圓柱的側(cè)面積為=,兩端兩個(gè)半球的表面積之和為,所以+,定義域?yàn)?0,).

30、（）因?yàn)?=,所以令得:; 令得:,所以米時(shí), 該容器的建造費(fèi)用最小.8、已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，（1）求的值（2）證明：當(dāng)時(shí)，解：（），由題意知：即（）由（）知，所以，設(shè)則，當(dāng)時(shí)，而故，當(dāng)?shù)茫簭亩?，?dāng)時(shí)，即點(diǎn)評(píng)：這道題考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（證明不等式）；考查分析問(wèn)題解答問(wèn)題的能力；其中構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是解答導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的常用策略之一。9、設(shè)函數(shù)(I)討論的單調(diào)性；（II）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，問(wèn)：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（I）的定義域?yàn)榱睿?）當(dāng)故上單調(diào)遞增（2）當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增（3）當(dāng)

31、的兩根為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因?yàn)椋杂钟?I)知，于是若存在，使得則即亦即再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得10、設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)，已知曲線與在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線.()求的值，并寫(xiě)出切線的方程； ()若方程有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，其中，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想.解析：（1）由于曲線與在點(diǎn)（2，0）處有相同的切線.故有，由此得解得 所以a=-2, b=5, 切線l的方

32、程為x-y-2=0.（2）由（1）得，所以依題意，方程有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2， 故x1、x2是方程的兩相異的實(shí)根.所以=9-4（2-m）>0，即又對(duì)任意的成立.特別地，取時(shí)，成立，得m<0.由韋達(dá)定理，可得故對(duì)任意的，有，x>0.則又所以函數(shù)在的最大值為0.于是當(dāng)m<0時(shí)，對(duì)任意的，恒成立.綜上，m的取值范圍是（）.11、設(shè)（1）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值解：（1）由當(dāng)令所以，當(dāng)上存在單調(diào)遞增區(qū)間（2）令所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)在1，4上的最大值為又所以在1，4上的最小值為得，從而在1，4上的最大值為12、設(shè)函數(shù)=，曲線y=過(guò)P（1,0），且在P點(diǎn)處的切斜線率為2.（I）求a，b的值；（II）證明：2x-