高考數(shù)學平面解析幾何時圓的方程更多資料關(guān)注微博高中學習資料庫

1、第九章 平面解析幾何第4課時圓 的 方 程1. 方程x2y26x0表示的圓的圓心坐標是_；半徑是_答案：(3，0)3解析：(x3)2y29，圓心坐標為(3，0)，半徑為3.2. 以兩點A(3，1)和B(5，5)為直徑端點的圓的方程是_答案：(x1)2(y2)225解析：設P(x，y)是所求圓上任意一點 A、B是直徑的端點，·0.又(3x，1y)，(5x，5y)由·0(3x)·(5x)(1y)(5y)0x22xy24y200(x1)2(y2)225.3. (必修2P111練習8改編)方程x2y24mx2y5m0表示圓的充要條件是_答案：(1，)解析：由(4m)244

2、×5m0得m或m1.4. (必修2P102習題1(3)改編)圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1，2)的圓的方程為_答案：x2(y2)21解析：設圓的方程為x2(yb)21，此圓過點(1，2)，所以12(2b)21，解得b2.故所求圓的方程為x2(y2)21.5. (必修2P112習題8改編)點(1，1)在圓(xa)2(ya)24內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(1，1)解析： 點(1，1)在圓的內(nèi)部，(1a)2(1a)24，1a1.1. 圓的標準方程(1) 以(a，b)為圓心，r (r>0)為半徑的圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2(2) 特殊的，x2y2r2(r>0

3、)的圓心為(0，0)，半徑為r2. 圓的一般方程方程x2y2DxEyF0變形為.(1) 當D2E24F>0時，方程表示以為圓心，為半徑的圓；(2) 當D2E24F0時，該方程表示一個點；(3) 當D2E24F0時，該方程不表示任何圖形3. 確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1) 設所求圓的標準方程或圓的一般方程；(2) 根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r的方程組或關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組；(3) 求出a，b，r或D，E，F(xiàn)的值，從而確定圓的方程4. 點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1) 若M(x0，y0)在圓外，則

4、(x0a)2(y0b)2>r2(2) 若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2(3) 若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2<r2題型1圓的方程例1已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示一個圓(1) 求實數(shù)m的取值范圍；(2) 求該圓半徑r的取值范圍；(3) 求圓心的軌跡方程解：(1) 方程表示圓的充要條件是D2E24F>0，即有4(m3)24(14m2)24(16m49)>0<m<1.(2) 半徑r0<r.(3) 設圓心坐標為(x，y)，則消去m，得y4(x3)21.由于<m<1，所以&

5、lt;x<4.故圓心的軌跡方程為y4(x3)21.已知tR，圓C：x2y22tx2t2y4t40.(1) 若圓C的圓心在直線xy20上，求圓C的方程；(2) 圓C是否過定點？如果過定點，求出定點的坐標；如果不過定點，說明理由解：(1) 配方得(xt)2(yt2)2t4t24t4，其圓心C(t，t2)依題意tt220t1或2.即x2y22x2y80或x2y24x8y40為所求方程(2) 整理圓C的方程為(x2y24)(2x4)t(2y)·t20，令故圓C過定點(2，0)題型2求圓的方程例2求過兩點A(1，4)、B(3，2)且圓心在直線y0上的圓的標準方程，并判斷點P(2，4)與圓

6、的關(guān)系解：(解法1)(待定系數(shù)法)設圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2.圓心在y0上，故b0.圓的方程為(xa)2y2r2.該圓過A(1，4)、B(3，2)兩點，解之得a1，r220.所求圓的方程為(x1)2y220.(解法2)(直接求出圓心坐標和半徑) 圓過A(1，4)、B(3，2)兩點，圓心C必在線段AB的垂直平分線l上 kAB1，故l的斜率為1，又AB的中點為(2，3)，故AB的垂直平分線l的方程為y3x2即xy10.又知圓心在直線y0上，故圓心坐標為C(1，0) 半徑r|AC|.故所求圓的方程為(x1)2y220.又點P(2，4)到圓心C(1，0)的距離為d|PC|>r.點P

7、在圓外已知圓C的圓心與點P(2，1)關(guān)于直線yx1對稱，直線3x4y110與圓C相交于A、B兩點，且6，求圓C的方程解：設圓C的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)，則圓心C(a，b)，由題意得解得故C(0，1)到直線3x4y110的距離d3.AB6，r2d218，圓C的方程為x2(y1)218.例3在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)f(x)x22xb(xR)與兩坐標軸有三個交點記過三個交點的圓為圓C.(1) 求實數(shù)b的取值范圍；(2) 求圓C的方程；(3) 圓C是否經(jīng)過定點(與b的取值無關(guān))？證明你的結(jié)論解：(1) 令x0，得拋物線與y軸的交點是(0，b)，令f(x)0，得x22x

8、b0，由題意b0且>0，解得b<1且b0.(2) 設所求圓的一般方程為x2 y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，這與x22xb0是同一個方程，故D2，F(xiàn)b，令x0，得y2 Eyb0，此方程有一個根為b，代入得Eb1，所以圓C的方程為x2 y22x (b1)yb0.(3) 圓C必過定點(0，1)，(2，1)證明：將(0，1)代入圓C的方程，得左邊 02 122×0(b1)×1b0，右邊0，所以圓C必過定點(0，1)；同理可證圓C必過定點(2，1)已知直線l1、l2分別與拋物線x24y相切于點A、B，且A、B兩點的橫坐標分別為a、b(a、bR)(1) 求直線l

9、1、l2的方程；(2) 若l1、l2與x軸分別交于P、Q，且l1、l2交于點R，經(jīng)過P、Q、R三點作圓C.當a4，b2時，求圓C的方程；當a，b變化時，圓C是否過定點？若是，求出所有定點坐標；若不是，請說明理由解：(1) A，B，記f(x)，f(x)，則l1的方程為y(xa)，即yx；同理得l2的方程為yx.(2) 由題意ab且a、b不為零，聯(lián)立方程組可求得P，Q，R.經(jīng)過P、Q、R三點的圓C的方程為 x(y1)(yab)0，當a4，b2時，圓C的方程為x2y2x7y80，顯然當ab且a、b不為零時，圓C過定點F(0，1)題型3圓與方程(軌跡)例4如圖，已知直角坐標平面上點Q(2，0)和圓C：

10、x2y21，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于.求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么解：設直線 MN切圓于N，則動點M組成的集合是PM|MN|MQ|. 因為圓的半徑|ON|1，所以|MN|2|MO|21.設點M的坐標為 (x，y)，則，整理得(x4)2y27.它表示圓，該圓圓心的坐標為(4，0)，半徑為.如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O24，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點)，使得PMPN，試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點P的軌跡方程解：以O1O2的中點O為原點，O1O2所在的直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則O1(2，0)，O2(2，0)由已知P

11、MPN，得PM22PN2.因為兩圓的半徑均為1，所以PO1 2(PO1)設P(x，y)，則(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233, 所以所求軌跡方程為(x6)2y233(或x2y212x30)題型4與圓有關(guān)的最值問題例5P(x，y)在圓C：(x1)2(y1)21上移動，試求x2y2的最小值解：由C(1，1)得OC，則OPmin1，即()min1.所以x2y2的最小值為(1)232.已知實數(shù)x，y滿足(x2)2(y1)21，則2xy的最大值為_，最小值為_答案：55解析：令b2xy，則b為直線2xyb在y軸上的截距的相反數(shù)，當直線2xyb與圓相切時，b取得最值由1.解得b5&#

12、177;，所以2xy的最大值為5，最小值為5.1. 已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1，0)且被x軸分成兩段弧長之比為12，則圓C的方程為_答案：x2解析：由題可知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為，設圓心(0，b)，半徑為r，則rsin1，rcos|b|，解得r，|b|，即b±.故圓的方程為x2.2. 過點P(1，1)的直線，將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為_答案：xy20解析：當圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件圓心O與P點連線的斜率k1，直線OP垂直于xy20.3. 已知AC、BD為圓O：x2y24的兩條相

13、互垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD的面積的最大值為_答案：5解析：設圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有dd3.由平面幾何知識知|AC|2，|BD|2， S四邊形ABCD|AC|·|BD|2·(4d)(4d)8(dd)5，即四邊形ABCD面積的最大值為5.4. 若直線l：axby40(a>0，b>0)始終平分圓C：x2y28x2y10，則ab的最大值為_答案：1解析：圓C的圓心坐標為(4，1)，則有4ab40，即4ab4.所以ab(4ab)×1.當且僅當a，b2取得等號5. 如圖，已知點A

14、(1，0)與點B(1，0)，C是圓x2y21上的動點，連結(jié)BC并延長至D，使得CDBC，求AC與OD的交點P的軌跡方程解：設動點P(x，y)，由題意可知P是ABD的重心由A(1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x01，2y0)，由重心坐標公式得則代入x2y21，整理得y2(y0)，故所求軌跡方程為y2(y0)6. 已知圓M過兩點A(1，1)，B(1，1)，且圓心M在xy20上(1) 求圓M的方程；(2) 設P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值解：(1) 設圓M的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)，根

15、據(jù)題意得解得ab1，r2.故所求圓M的方程為(x1)2(y1)24.(2) 由題知，四邊形PAMB的面積為SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|.又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x4y80上找一點P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四邊形PAMB面積的最小值為S222.1. 圓x2y24x0在點P(1，)處的切線方程為_答案：xy20解析：圓的方程為(x2)2y24，圓心坐標為(2，0)，半徑為2，點P在圓上，設切線方程為yk(x1)，即kxyk0，所以2，解得k.所以切線

16、方程為y(x1)，即xy20.2. 若方程ax2ay24(a1)x4y0表示圓，求實數(shù)a的取值范圍，并求出半徑最小的圓的方程解：方程ax2ay24(a1)x4y0表示圓，a0.方程ax2ay24(a1)x4y0可以寫成x2y2xy0.D2E24F>0恒成立，a0時，方程ax2ay24(a1)x4y0表示圓設圓的半徑為r，則r22，當即，a2時，圓的半徑最小，半徑最小的圓的方程為(x1)2(y1)22.3. 如圖，在平面斜坐標系xOy中，xOy60°，平面上任一點P關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若xe1ye2(其中e1、e2分別為與x軸、y軸同方向的單位向量)，則P點斜坐標為

17、(x，y)(1) 若P點斜坐標為(2，2)，求P到O的距離|PO|；(2) 求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程解：(1) P點斜坐標為(2，2)，2e12e2.|2(2e12e2)288e1·e288×cos60°4.|2，即|OP|2.(2) 設圓上動點M的斜坐標為(x，y)，則xe1ye2.(xe1ye2)21.x2y22xye1·e21.x2y2xy1.故所求方程為x2y2xy1.4. 已知圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為31；圓心到直線l：x2y0的距離為，求該圓的方程解：設圓P的圓心為P(a，b)，半

18、徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.由題設知圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，知圓P截x軸所得的弦長為r.故2|b|r，得r22b2，又圓P被y軸所截得的弦長為2，由勾股定理得r2a21，得2b2a21.又因為P(a，b)到直線x2y0的距離為，得d，即有a2b±1，綜上所述得或解得或于是r22b22.所求圓的方程是(x1)2(y1)22，或(x1)2(y1)22.5. 已知圓C：x2y29，點A(5，0)，直線l：x2y0.(1) 求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；(2) 在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點B的坐標解：(1) 設所求直線方程為y2xb，即2xyb0，直線與圓相切，3，得b±3，所求直線方程為y2x±3.(2) (解法1)假設存在這樣的點B(t，0)，當P為圓C與x軸左交點(3，0)時，；當P為圓C與x軸右交點(3，0)時，依題意，解得，t5(舍去)，或t.下面證明點B對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)設P(x，y)，則y29x2，從而為常數(shù)(解法2)假設存在這樣的點B(t，0)，使得為常數(shù)，則PB22PA2，(xt)2y22(x5)2y2，將y29x2代入得，x22