專題15,三角函數(shù)圖象與性質(zhì)（知識(shí)精講）（原卷版）

1、本文格式為word版，下載可任意編輯專題15,三角函數(shù)圖象與性質(zhì)（知識(shí)精講）（原卷版） 專題十五 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 學(xué)問(wèn)精講 一 一 學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)圖 內(nèi) 容 考點(diǎn) 關(guān)注點(diǎn) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 三角函數(shù)的圖象 五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 正弦、余弦、正切型函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 三角函數(shù)值比較大小 三角函數(shù)單調(diào)性 二 二. 學(xué)法指導(dǎo) 1解決正、余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題，關(guān)鍵是要正確的畫(huà)出正、余弦曲線 2正、余弦曲線的外形相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過(guò)相互平移得到 3用"五點(diǎn)法'畫(huà)函數(shù) yasin xb(a0)或 yacos xb(a0)在0,2上簡(jiǎn)圖的步驟 (1)列表

2、： x 0 2 、 32 2 sin x (或 cos x) 0(或 1) 1(或 0) 0(或1) 1 (或 0) 0(或 1) y b (或 ab) ab (或 b) b (或ab) ab (或 b) b (或 ab) (2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出五個(gè)點(diǎn)(0，y 1 )， èæøö2 ，y 2，(，y 3 )， èæøö32，y 4 ，(2，y 5 )，這里的 y i (i1,2,3,4,5)值是通過(guò)函數(shù)解析式計(jì)算得到的 (3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正(余)弦函數(shù) yasin x

3、b(yacos xb)(a0)的圖象 4.用三角函數(shù)的圖象解 sin xa(或 cos xa)的方法 (1)作出 ya，ysin x(或 ycos x)的圖象 (2)確定 sin xa(或 cos xa)的 x 值 (3)確定 sin xa(或 cos xa)的解集 5.求三角函數(shù)周期的方法： (1)定義法：即利用周期函數(shù)的定義求解 (2)公式法：對(duì)形如 yasin(x)或 yacos(x)(a， 是常數(shù)，a0，0)的函數(shù)，t 2| . (3)圖象法：即通過(guò)觀看函數(shù)圖象求其周期 6.對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的推斷，有時(shí)可依據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再推斷 7、與三角函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論 (1)要使

4、yasin(x)(a0)為奇函數(shù)，則 k(kz)； (2)要使 yasin(x)(a0)為偶函數(shù)，則 k 2 (kz)； (3)要使 yacos(x)(a0)為奇函數(shù)，則 k 2 (kz)； (4)要使 yacos(x)(a0)為偶函數(shù)，則 k(kz) 8.求形如 yasin(x)b 或形如 yacos(x)b 或形如 yatan(x)+b(其中 a0，0，b為常數(shù))的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，留意兩點(diǎn)：要把 x 看作一個(gè)整體，若 0，先用誘導(dǎo)公式將式子變形，將 x 的系數(shù)化為正；在 a0，0 時(shí)，將"x'代入正弦(或余弦或正切)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以解得與之單調(diào)性全都的單調(diào)區(qū)間；當(dāng) a

5、0，0 時(shí)同樣方法可以求得與正弦(余弦或正切)函數(shù)單調(diào)性相反的單調(diào)區(qū)間 9、三角函數(shù)值大小比較的策略 (1)利用誘導(dǎo)公式，對(duì)于正弦函數(shù)來(lái)說(shuō)，一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到 ëéûù 2 ，2或 ëéûù2 ，32內(nèi)；對(duì)于余弦函數(shù)來(lái)說(shuō)，一般將兩個(gè)角轉(zhuǎn)化到，0或0，內(nèi). (2)不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù). (3)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間化至同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，借助正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小. 10、三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解方法： (1)yasin 2 xbsin xc(a0)，利用換元思想設(shè) tsin x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

6、yat 2 btc 求最值，t 的范圍需要依據(jù)定義域來(lái)確定. (2)yasin(x)b，可先由定義域求得 x 的范圍，然后求得 sin(x)的范圍，最終得最值. 11、求正切型函數(shù) yatan(x)(a0，0)的定義域時(shí)，要將"x'視為一個(gè)"整體'令 xk 2 ，kz，解得 x. 三 三. 學(xué)問(wèn)點(diǎn)貫穿 點(diǎn) 學(xué)問(wèn)點(diǎn) 1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步熟悉 1.正弦函數(shù) ysin x，xr 的圖象叫正弦曲線 2.余弦函數(shù) ycos x，xr 的圖象叫余弦曲線 例 1.(1)下列敘述正確的是( ) ysin x，x0,2的圖象關(guān)于點(diǎn) p(，0)成中心對(duì)稱； ycos

7、 x，x0,2的圖象關(guān)于直線 x 成軸對(duì)稱； 正、余弦函數(shù)的圖象不超過(guò)直線 y1 和 y1 所夾的范圍 a0 b1 個(gè) c2 個(gè) d3 個(gè) （2）函數(shù) ysin|x|的圖象是( ) 學(xué)問(wèn)點(diǎn)二 用 用" 五點(diǎn)法' 作三角函數(shù)的圖象 1.正弦曲線在0,2上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)， èæøö2 ，1 ，(，0)， èæøö32，1 ，(2，0)，。 2.余弦曲線 ycos x 在0,2上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)，èæøö2 ，0 ，(，1)

8、， èæøö32，0 ，(2，1)。 題 例題 2 ：用"五點(diǎn)法'作出函數(shù) y1cos x(0x2)的簡(jiǎn)圖 學(xué)問(wèn)點(diǎn)三 三角函數(shù)的周期問(wèn)題及簡(jiǎn)潔應(yīng)用 1.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù) f(x)，假如存在一個(gè)非零常數(shù) t，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有 f(xt)f(x)，那么這個(gè)函數(shù)的周期為 t. (2)最小正周期：假如在周期函數(shù) f(x)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性 函數(shù) ysin x ycos x 周期 2k(kz 且 k0) 2k(kz

9、 且 k0) 最小正周期 2 2 題 例題 3 .求下列函數(shù)的周期： (1)ysin èæøö2x 4； (2)y|sin x|. 學(xué)問(wèn)點(diǎn)四 三角函數(shù)奇偶性的推斷 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性 函數(shù) ysin x ycos x 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 題 例題 4 推斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)sin èæøö 12 x2；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)； 學(xué)問(wèn)點(diǎn)五 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 解析式 ysin x ycos x 圖象 單調(diào)性 在 ëé 2

10、2k，22k，kz 上單調(diào)遞增， 在 ëé 2 2k，322k，kz 上單調(diào)遞減 在2k，2k，kz 上單調(diào)遞增， 在2k，2k，kz 上單調(diào)遞減 例題 5.(1)函數(shù) ycos x 在區(qū)間，a上為增函數(shù)，則 a 的取值范圍是_ (2)已知函數(shù) f(x) 2sin èæøö4 2x 1，求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 學(xué)問(wèn)點(diǎn)六 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值問(wèn)題 解析式 ysin x ycos x 圖象 值域 1,1 1,1 最值 x 2 2k，kz 時(shí)，y max 1；x2 2k，kz 時(shí)，y min 1 x2k，kz 時(shí)，y max 1

11、；x2k，kz 時(shí)，y min 1 例題 6 (1)函數(shù) ycos 2 x2sin x2，xr 的值域?yàn)開(kāi) (2)已知函數(shù) f(x)asin èæøö2x 3b(a0)當(dāng) x ëéûù0， 2時(shí)，f(x)的最大值為 3，最小值是2，求 a 和 b 的值 學(xué)問(wèn)點(diǎn)七 正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題 解析式 ytan x 圖象 定義域 îíìþýüx ïï xr，且x 2k，kz 值域 r 例題 7.(1)函數(shù) y1tan x è

12、30;øö 4 x4 且x0 的值域是( ) a(1,1) b(，1)(1，) c(，1) d(1，) (2)函數(shù) y3tan èæøö6 x4的定義域?yàn)開(kāi) 學(xué)問(wèn)點(diǎn)八 正切函數(shù)奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性 解析式 ytan x 圖象 周期 奇偶性 奇函數(shù) 對(duì)稱中心 èæøök2，0 ，kz 例題 8. (1)函數(shù) f(x)tan èæøö2x 3的周期為_(kāi) (2)已知函數(shù) ytan èæøöx 3，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱

13、中心坐標(biāo)為_(kāi) (3)推斷函數(shù) ycos èæøö2 x tan x.的奇偶性： 學(xué)問(wèn)點(diǎn)九 正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 解析式 ytan x 圖象 單調(diào)性 在開(kāi)區(qū)間 èæøö 2 k，2 k ，kz 內(nèi)都是增函數(shù) 例題 9.（1）求函數(shù) y3tan èæøö4 2x 的單調(diào)區(qū)間 （2）tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 從小到大的排列挨次為_(kāi) 五 五 易錯(cuò)點(diǎn)分析 易錯(cuò)一 利用函數(shù)圖象求方程的個(gè)數(shù) 題 例題 10.在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù) ysin x 和 ylg x 的圖象，依據(jù)圖象推斷出方程 sin xlg x 的解的個(gè)數(shù) 誤區(qū)警示 畫(huà)函數(shù)的圖象時(shí)，要留意關(guān)鍵點(diǎn)，找?guī)讉€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后連接，進(jìn)而可得函數(shù)的圖象。 易錯(cuò)二 比較大小 題 例題 11.利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小 (1)sin 196與 cos 156； (2)cos è